北京市第十三中学2026-2027学年第一学期高二数学期中测试试卷

北京市第十三中学20262027学年第一学期 高二数学期中测试 本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，第1卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第 2页至第4页，答题纸第1页至第3页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸上侧密封线内 书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回. 第I卷（选择题 共50分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） (1)已知直线1：x-√3y+2=0,则直线1的倾斜角为() (a)君 (B》3 (c) D)箬 (2)已知a=(2,3,-1),3=(6,t+1,1-1)若aL,则t=（) (A)-1 ..:(B)0 (C)1 (D)2 (3)如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，若BD=xAB+yAD+zAA,则 (xy,2=() (A)(-1,-1,-1) B (B)(1,-1,1) (c)(1,1,-1) (D)（-1,1,1) (4)圆C:xX2+y2-2x-3=0和圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的位置关系为( (A)外离 (B)内切 (C)外切 (D)相交 (5)“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y+7=0平行”的（) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (6)已知半径为2的圆C经过点(1,0)，则圆心C到直线4x-3y+11=0的距离的致小 值为() (x)0 (B)1 (C)2 (D)3 (7)若直线y=2x+m与曲线少=√4-x2有两个公共点，则实数m的取值范围是 ) (A)（-2W5,2W5) (B) [-2W5,-4) (c)「4,25) (D)[0,25) (8)若曲线|x+|y=a与圆x2+y2=1有8个公共点，则实数a的取值范围是() (A)(O,N2) B)[0,V2) (c)(1,V2) (D)[h,2] (9)若A(,,(,2)为单位圆2+y2=1上两个动点，+=号，则 2 +-+西+丛-1的最大值为( √2 2 (A)5+V2 (B)√6+2 (c)5-√2 (D)6-2 (10)在空间直角坐标系中，若平面a经过点B(,o,z),且以n=(a,b,c)为法向量， 设P(xy,z)为平面内的任意一点，则P见=0，即 a(x一)+b0y-yo)+c(z-z)=0，此即平面的点法式方程请利用材料解决以下 问题：若平面α的方程为2x+2y-z+3=0,直线1的方向向量a=(1,2,2),则直 线l与平面α所成角的正弦值为() (A) √65 (B) 4 9 9 (c) 2-3 (D) 3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分) 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.） (11)在空间直角坐标系0-3z中，点A(1,2,3)关于平面xOy对称的点的坐标是 (12)经过点M(L,2)且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程为 （13)唐代诗人李顺的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，貲昏饮马例交河”，诗 中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下莱处出发， 先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的 位置为A(-1,1),若将军从山脚下的点B(3,2)处出发，x轴为河岸所在直线，则将军你马”的 最短路程为 ;“饮马处的坐标为 (14)已知直线1：am-y+a-2=0,直线m:x-3y-3=0,直线1过定点 若直 线I与直线m的交点在第四象限，则a的取值范围是 (1S)如图，在楼长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，点M是CC的中点，点N是底面正 方形ABCD及其内部的动点，给出下列四个结论： D ①存在点N满足AN⊥NM: A ②满足|4N乍√5的点N的轨迹长度是花： 4 ⑨满足MN∥平面ABC,的点N的轨迹长度是√2： ④满足BN⊥AM的点W的轨迹长度是√2】 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （16)（本小题14分)如图，在直四棱柱ABCD-AB,C,D,中，四边形ABCD为梯形， AD∥BC,∠BAD=90°，且AA=AD=2,AB=V5,BC=1. (I)求异面直线AC与AB所成角的余弦值；。 (Ⅱ)求点A到平面ACD的距离。 (17)(本小题14分)已知圆C过点A(1,7）和点B(2,0),圆心在直线y=4上. (I)求圆C的方程： 3 (Ⅱ)直线1经过点 0. 2 且与圆C相切，求直线1的一般式方程。 3 P (18)(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点，点 F在PC上，且PF=,设点G是线段BP上（含端点）的一动点. F IPCI3 (I)求证：CD⊥平面PAD: (Ⅱ)是否存在点G,使得直线CG与平面ABF所成角的正弦为3 11 B 若存在，指出点G的位置，若不存在，说明理由 (19)（本小题14分)已知⊙M:2-4x+y2=0 (I)求⊙M的圆心坐标和半径r: (I)设点A(O,3),B(2,S),且⊙M上存在两点C,D,使得四边形ABCD为平行四边形，求直 线CD的一般式方程. (20)（本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面： ABCD,底面ABCD为菱形，E,F分别为AB，PD的中点. (I)求证：EF∥平面PBC: (Ⅱ)若AD=√5，PD=2,再从条件①，条件②这两个条件中 选择一个作为已知.求平面EFC与平面FCD夹角的大小 E B 条件①：PB=PC; 条件②：DE⊥PC. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。 4