精品解析：河南省开封市金明中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试卷

金明中学2024-2025学年第一学期九年级月考数学试卷（11月） 考试时间：100分钟 满分：120分 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，理解二次函数图象平移的性质是解答关键． 根据二次函数的图象向右平移是减，向下平移是减来进行求解． 【详解】解：的顶点坐标是，的顶点坐标是， 顶点由到需要向右平移4个单位，向下平移5个单位， 平移的过程是向右平移4个单位，向下平移5个单位． 故选：D． 4. 圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， ∴这个圆锥的母线长， 则这个圆锥的侧面积． 故选：B． 5. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数关系、代数式求值，根据根据系数关系得到，再根据方程的解得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ∴ ， 故选：D． 6. 如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 7. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，由圆周角定理可得∠BCD＝∠A，∠ADB＝90°，最后利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵圆周角∠BCD和∠A都对着， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠BCD＝25°， ∴∠A＝25°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝65°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正确作出辅助线并灵活运用圆周角定理是解答本题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点A的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴旋转4次为一个循环． ∵， ∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选A． 【点睛】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键． 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列正确的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤当时，的取值范围是． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，由抛物线的图象及与轴的交点可判断①②③，由由时，可判断④，结合抛物线的对称轴可得抛物线与轴的另一个交点为，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴，，故①②符合题意； ∵图象与x轴两个交点， ∴方程有两个不相等的根， ∴，故③符合题意； 由时，，故④不符合题意； ∵抛物线的对称轴为，其中一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，的取值范围是，故⑤符合题意； 即正确的有4个， 故选：C． 10. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从A点出发，沿A→B→C方向匀速运动，过点P作PQ∥BD交菱形的另一边于点Q，设点P的运动路程为x，△PCQ的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分点在和上两种情况讨论，分别写出对应的函数解析式即可． 【详解】解：如图，连接，与交与点，与交与点， 当在上时， 四边形是菱形， ， 又， ， 是三角形在边上的高， 由菱形的性质得， ， 三角形是等边三角形， ，， ， ， 设， ， ， 该部分是开口向下的二次函数， 当在上时， 设菱形的边长为， 则，则， ， 该部分是开口向上的二次函数， 只有选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是要将三角形的底和高用含的式子表示出来，列出和之间的关系式． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称，则M点的坐标为___________． 【答案】（2，-3）． 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即可求得． 【详解】∵点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称 ∴a=2，b=-3 则M点的坐标为（2，-3） 故答案为：（2，-3） 【点睛】解题关键是理解并掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程． 【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）． ∴． 故答案为：9． 13. 如图，中，，，将线段绕点旋转至，当时，的度数是______． 【答案】或 ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质可以求出，当点在点左侧时，根据平行线的性质可求，再根据等腰三角形的两个底角相等可求；当点在点右侧时，根据平行线的性质可求，再根据等腰三角形的两个底角相等可求． 【详解】解：中，，， ， 如下图所示，当点在点左侧时， ， ， ， 又， 在中， ； 如下图所示，当点在点右侧时， ， ， 又， 在中， ； 故答案为：或 ． 14. 如图，在圆内接四边形中，，，若点，则圆的直径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理及推论，勾股定理．根据圆内接四边形性质求出是解答本题的关键． 由圆内接四边形，，得出，又因，所以，是圆的直径，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴圆的直径，， ∵点， ∴， 在中，由勾股定理得． 故答案为． 15. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴或 ∴， 17. 如图，都是的半径，，．求度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到优弧的度数，进而得到劣弧的度数，从而得到的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴优弧的度数为， ∴劣弧的度数为：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握弧，圆心角和圆周角之间的关系，是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，每个小正方形网格的边长为1． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并直接写出点旋转到点经过的路径长为______． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，原点对称作图，正确理解旋转的性质，原点对称性质是解题的关键． （1）根据原点对称，横坐标、纵坐标都变成原坐标的相反数，确定位置，作图即可． （2）根据旋转的性质画出图形，然后根据题意得到点A旋转到点经过的路径长为半径为的圆的周长的求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∴点旋转到点经过的路径长为． 故答案为：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）当该方程的一个根为2时，求的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：已知关于的一元二次方程， ∵， ∴该方程总有两个实数根． （2），方程的另一根为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入原方程得， ， 解得， 当时， 原方程化为，， 则有， 其中有一根为，则， 即：，方程的另一根为． 20. 如图，已知是的外接圆，连接，，过点作，交的延长线于，交于，． （1）求证：是的切线；； （2）若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，利用平行线的性质即可求出，从而可知是的切线； （2）设，由于，所以，在中，由勾股定理可知：，解得，所以半径；根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，圆周角定理，切线的判定，扇形面积公式等知识，需要学生灵活运用所学知识． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， ∵， 在中，由勾股定理可知：， ， ，（舍去）， ， 的半径为4，； ∴， ， 图中阴影部分的面积． 21. 某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为（元），每天的销售量为（瓶）． （1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）该超市要想获得最大利润，售价应定为每瓶多少元？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）当售价为19元时，每月销售利润最大，最大利润是360元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． （1）根据销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶，列出函数关系式，即可求解； （2）设每月销售利润为元，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意知， ∴每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式； 【小问2详解】 设每月销售利润为元， 则， ∵，∴开口向下， ∵，解得， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为360元． 答：当售价为19元时，每月销售利润最大，最大利润是360元． 22. 洛阳瀛洲大桥（图1）是一座飞鸟式倒三角形抛物线拱券桥，是一座通行兼景观大桥，主桥拱的创意源于洛阳八大景之一的“天津晓月”，整体景观如水上升明月．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，桥拱的跨度为，桥拱的最大高度为．以A为原点，线段所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，构建平面直角坐标系． （1）求主桥拱所在抛物线的表达式； （2）如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点A，B到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为360元，求图中所有景观灯的铺设成本． 【答案】（1） （2）35000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意设出二次函数顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出相邻景观灯之间的距离，再利用（1）中结论及二次函数图象的对称性求出5根杆状景观灯的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，顶点，， 设主桥拱ACB所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴主桥拱所在抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：． 当时，； 当时，； 当时，； 由对称性得，当时，；当时，． ∴5根杆状景观灯的总长度为． （元）． 答：图中所有景观灯的铺设成本为35000元． 23. [提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 【答案】提出问题：； 类比探究：． 证明：如图， 由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴； 迁移应用： 【解析】 【分析】提出问题：证明，得到，进而得，即可求解； 类比探究：由可得，， 进而得，得到，又由勾股定理得，即得； 迁移应用：作，使，连接，如图，可证，得到，又由可得，即得，进而由即可求解； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：提出问题：由旋转得，， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 类比探究：略 迁移应用：作，使，连接，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金明中学2024-2025学年第一学期九年级月考数学试卷（11月） 考试时间：100分钟 满分：120分 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ） A. 向右平移4个单位，向上平移11个单位 B. 向左平移4个单位，向上平移11个单位 C. 向左平移4个单位，向上平移5个单位 D. 向右平移4个单位，向下平移5个单位 4. 圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 6. 如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 无法确定 7. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 8. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列正确的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤当时，的取值范围是． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从A点出发，沿A→B→C方向匀速运动，过点P作PQ∥BD交菱形的另一边于点Q，设点P的运动路程为x，△PCQ的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称，则M点的坐标为___________． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是______． 13. 如图，中，，，将线段绕点旋转至，当时，的度数是______． 14. 如图，在圆内接四边形中，，，若点，则圆的直径长为______． 15. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，都是的半径，，．求度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，每个小正方形网格的边长为1． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并直接写出点旋转到点经过的路径长为______． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）当该方程的一个根为2时，求的值及该方程的另一个根． 20. 如图，已知是的外接圆，连接，，过点作，交的延长线于，交于，． （1）求证：是的切线；； （2）若，．求图中阴影部分的面积． 21. 某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为（元），每天的销售量为（瓶）． （1）求每天的销售量（瓶）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）该超市要想获得最大利润，售价应定为每瓶多少元？最大利润为多少？ 22. 洛阳瀛洲大桥（图1）是一座飞鸟式倒三角形抛物线拱券桥，是一座通行兼景观大桥，主桥拱的创意源于洛阳八大景之一的“天津晓月”，整体景观如水上升明月．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，桥拱的跨度为，桥拱的最大高度为．以A为原点，线段所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，构建平面直角坐标系． （1）求主桥拱所在抛物线的表达式； （2）如图，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点A，B到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为360元，求图中所有景观灯的铺设成本． 23. [提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________． [类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论． [迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $