广东广州市海珠区中山大学附属中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

中大附中2026学年第一学期期中质量监测 九年级数学科试卷 命题人：谢珂璇 考生注意事项： 1.试卷分第I卷和第Ⅱ卷，第I卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答 题卡上作答： 2.质量监测时间120.分钟，全卷满分150分： 第1卷选择题(.40.分) 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() % 2.用配方法解方程x2-8x+3=0,配方后正确的是() A.(x-4)2=13 B.（x-4)2=19 C.(x+4)2=13 D.(x-8)2=13 3.已知反比例函数y=k-3,当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是() A.k>3 B.k≠3 C.k<3 D.k≥3 4.若抛物线y=x2-4x-m的图象与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m≥-4 D.m>-4 5.由右表估算一元二次方程x2+12x=16的一个根的范围，正确的是() 1.0 1.1 1.2 1.3 A.1.0<x<1.1 B.1.1<x<1.2 x2+12x 13 14.41 15.8417.29 C.1.2<x<1.3 D.14.41<x<15 6.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决 定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件 应降价x元，下列方程正确的是() A.(65-x-45)(30+5x)=800 B.(60-x-45)30-5x)=800 C.(65-x)(30+5x)=800 D.(65-x)(30-5x)=800 7.下列说法中，不正确的是() A.过圆心的弦是圆的直径 B.长度相等的弧是等弧 C.周长相等的两个圆是等圆 D.经过圆内一定点可以作无数条弦 试卷第1页（共6页） 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=38°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△ABC”,当点 C的对应点C"恰好落在边AB上时，∠AA'C'的度数是() A.71° B.52° C.19 D.14° 9.函数y=ax2+bx+c与y2=二的图象如图所示，当>2时，x的取值范围是() A.x<-1或-1<x<1或x>2 B.x<-1或x>2 C.-1<x<0或1<x<2 D.x<-1或-1<x<0或x>2 B A 第8题图 第9题图 第10题图 10.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比 ≥0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、 D,连接OE、OF、EF,FD与OE相交于点G.下列结论：①OF=OE;②∠EOF=60°；③四边 形ADFE与△FOE面积相等；④EF=CF+AE;⑤若∠EOF=45°，EF=4,则直线FE的函数解析式为 y=-x+4+2√2.其中正确结论的个数是（) A.2 B.3 C.4 D.5 第卷 非选择题（.110.分) 11.抛物线y=-5(x-2)'的顶点坐标是 12.在平面直角坐标系中，已知点A(a-1)与点B(5,b)关于原点对称，则a+b= 13.如图，在直角坐标系中，点A(0,6)、B(0,-2)、C(-4,6),则△ABC外接圆 的圆心坐标为 14.某班一名化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课 教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这 个实验.若设每人每次都能教会x名同学，则x= 15.把抛物线y=-x2-4x+5在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象.若直线y=m与这个新图象恰好有4个公共点，则m的取值范围是」 答案第2页（共6页） 16.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2√2，点M是BC边上一动点，将线段AM绕点 A顺时针旋转60°，得到线段AN,连接MN,CN,则AN+CN的最小值是 A 三、解答题 17.(6分)解方程 (1)x2-2x-8=0: (2)(2x-5)2-(（x+4)2=0 18.(6分)如图，AB是⊙O的弦，半径OC,OD分别交AB于点E,F,且 AE=BF,求证：OE=OF. B 19.(6分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,4),B1,1),C(4,3). (1)请画出△ABC关于原点对称的图形△4B,C: (2)请画出△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A,B2C2: (3)按照(2)的旋转方式，若P(a,b)为△ABC边上一点，则点P对应的 点Q的坐标为 20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m2-4=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值. 21.(8分)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度U,得到△ADE,点B的对应点D恰好落在BC 边上.且点A、B、E在同一条直线上. (I)求证：DM平分∠BDE: (2)AC与DE交于点O,∠AOE=95°，求旋转角a的度数. 试卷第3页（共6页） 22.(12分)如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线 的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米.将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A, 点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙.若以点O为原 点，建立如图2所示的平面直角坐标系， 10 B 20 30x 图1 图2 (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式： (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB: (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离 23.(12分)教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100℃时停止加热， 水温自然冷却下降：当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热，重复上述过程.值日班长于7：20到校 接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为y℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： x(分 0 5 10 14 16 20 钟) y(℃) 30 50 80 100 70 50 43.75 35 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点： y水温（单位：℃） 100 90 80 70 60 50 40 30 20 -+---- 10 O δ 分 20x时间（单位：分） (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范 围 (3)上午第一节下课时间为8：45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明. 答案第4页（共6页） 24.(14分)(1)如图(1)，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D是BC上一点，连接AD,将 AD绕点A逆时针旋转120°得到AE,连接EC. ①求证：BD=EC ②如图(2)，若M为DE的中点，延长CM至点F,使FM=MC,连接FB,FD，试判断△FBD的形 状，并证明你的结论： (2)如图(3)，在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点，将BD绕点D逆时针旋转120°得到DE,取AE 的中点M,连接DM,CD,BE ①试探究线段CD,DM的数量关系，并证明你的结论： ②若BC=6,BD=2√2，∠DBC=45°，则DM的长为 （直接写出结果). F M A A D C D 图(1) 图(2) 图(3) 试卷第5页（共6页） 25.(14分)【课本再现】在人教版教材九上《25.2.4一元二次方程的根与系数的关系》的内容中，对一 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的根与系数的关系，探究了不同的推导方法： 如果一元二次方程m2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x)(x-x2),那么方程a2+bx+c=0的两个 根为x、x2.反过来，如果一元二次方程a2+bx+c=0的两个根为x、x2,那么 ax2+bx+c=a(x-x)(x-x2),即ar2+bx+c=a2-a(x+x2）x+axx2.由此可得 b -a(x1+x2）=b,x2=c.因此x+x2=-二，xx2=二 a a (1)【探究引申】类比一元二次方程，我们可以探究一元三次方程的根与系数的关系 请写出一个一元三次方程，使它的三根分别为2,1和-5： (化为一般形式). 观察各项系数，思考它们与方程三个根的关系： 一般地，若一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根为x,x2,x,则x+x2+x3= x2x3= ·(用含a,b,c,d的代数式表示) (②【灵活运用】已知反比例函数y=的图象在第一、三象限 O若直线：一x-1+2m与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，且线段PQ10,求m的值： ②若抛物线y=22+a-2k+2与反比例函数y=的图象有三个交点，从左至右依次为A、B、C, 其中点B、C关于原点对称，且AB LAC,求抛物线的解析式. 答案第6页（共6页） 中大附中 2026 学年第一学期期中质量监测 九年级 数学 科 试 卷 命题人：谢珂璇 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分； 第Ⅰ卷 选择题（40 分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】A 项五角星是轴对称图形，但它不是中心对称图形（正五角星有 5 条对称轴，旋转 180° 后不能与自身重合）；C 项螺旋形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D 项花瓣（贝壳）形关于一条竖直直线对称，是轴对称图形，但旋转 180° 不能与自身重合，不是中心对称图形；B 项八角星有 4 条对称轴，且绕中心旋转 180° 后与自身完全重合，既是轴对称图形又是中心对称图形。故选 B。 2．用配方法解方程 x²−8x+3=0，配方后正确的是（　　） A．(x−4)²=13　　B．(x−4)²=19　　C．(x+4)²=13　　D．(x−8)²=13 【答案】A 【解析】移项得 x²−8x=−3；两边同时加上一次项系数一半的平方 4²=16，得 x²−8x+16=−3+16，即 (x−4)²=13。B 项把等式右边错算为 −3+16+6；C 项括号内的符号错（−8x 配方后应是 x−4）；D 项把一次项系数的一半当成 8，属于常见错误。故选 A。 3．已知反比例函数 y=(k−3)/x，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（　　） A．k>3　　B．k≠3　　C．k<3　　D．k≥3 【答案】C 【解析】y=(k−3)/x 中比例系数为 k−3。反比例函数 y=m/x：当 m>0 时，图象在第一、三象限，每一支上 y 随 x 的增大而减小；当 m<0 时，图象在第二、四象限，每一支上 y 随 x 的增大而增大。题设“x>0 时 y 随 x 增大而增大”，说明 k−3<0，即 k<3。D 项把不等号取等，此时 k−3=0，函数退化为 y=0，不再是反比例函数。故选 C。 4．若抛物线 y=x²−4x−m 的图象与 x 轴有两个公共点，则实数 m 的取值范围是（　　） A．m≤4　　B．m<4　　C．m≥−4　　D．m>−4 【答案】D 【解析】抛物线与 x 轴有两个公共点，等价于对应方程 x²−4x−m=0 有两个不相等的实数根，即 Δ>0。Δ=(−4)²−4×1×(−m)=16+4m>0，解得 m>−4。A、C 取到等号时 Δ≤0，只有一个或没有公共点，故舍去。故选 D。 5．由右表估算一元二次方程 x²+12x=16 的一个根的范围，正确的是（　　） A．1.0<x<1.1　　B．1.1<x<1.2　　C．1.2<x<1.3　　D．14.41<x<15 x 1.0 1.1 1.2 1.3 x²+12x 13 14.41 15.84 17.29 【答案】C 【解析】令 f(x)=x²+12x。方程 x²+12x=16 即 f(x)−16=0，也就是找 f(x) 与 16 的大小关系发生变化的区间。由表：f(1.2)=15.84<16，f(1.3)=17.29>16，所以方程的一根在 1.2 与 1.3 之间，即 1.2<x<1.3。A、B 两个区间内 f(x) 均小于 16，D 不是区间与 16 的比较（14.41 是函数值而不是 x 的取值）。故选 C。 6．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（　　） A．(65−x−45)(30+5x)=800　　B．(60−x−45)(30−5x)=800 C．(65−x)(30+5x)=800　　D．(65−x)(30−5x)=800 【答案】A 【解析】每天的总利润＝每件利润×每天销售量。降价 x 元后：每件售价为 (65−x) 元，每件利润为 (65−x)−45 元；每天销量为 (30+5x) 件。故方程为 (65−x−45)(30+5x)=800。B 项把原价 65 误写成 60，且把销量写成 30−5x；C 项漏减进货价 45，算的是销售额而不是利润；D 项既漏减成本又把销量写错。故选 A。 7．下列说法中，不正确的是（　　） A．过圆心的弦是圆的直径　　B．长度相等的弧是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆　　D．经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【解析】A 项：过圆心的弦经过圆心，其两个端点在圆上，长度等于直径，正确。B 项：等弧必须是“在同圆或等圆中能够完全重合的弧”，只说明长度相等，半径不同时弧的弯曲程度不同，不能完全重合，故缺少“同圆或等圆”这一前提，说法不正确。C 项：周长相等则半径相等，两圆为等圆，正确。D 项：过圆内一定点的直线有无数条，每条与圆有两个交点，都可截得一条经过该点的弦，正确。故选 B。 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=38°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，当点C的对应点C′恰好落在边AB上时，∠AA′C′的度数是（　　） A．71°　　B．52°　　C．19°　　D．14° 第 8 题图 【答案】C 【解析】由旋转可知旋转角为 ∠CBC′。因 C′ 落在边 AB 上，故旋转角 ∠C′BC=∠ABC=38°，且 A′B=AB。 在△ABA′中，AB=A′B，顶角 ∠ABA′=38°，所以 ∠AA′B=∠A′AB=(180°−38°)÷2=71°。 又 ∠A′C′B 是 ∠ACB 的对应角，故 ∠A′C′B=90°，即 A′C′⊥AB。 所以 ∠AA′C′=∠A′C′B−∠AA′B=90°−71°=19°。故选 C。 9．函数 y₁=ax²+bx+c 与 y₂=k/x 的图象如图所示，当 y₁>y₂ 时，x 的取值范围是（　　） A．x<−1 或 −1<x<1 或 x>2　　B．x<−1 或 x>2 C．−1<x<0 或 1<x<2　　D．x<−1 或 −1<x<0 或 x>2 第 9 题图 【答案】C 【解析】两图象的交点横坐标依次为 −1、1、2，它们把 x 轴分成若干区间，图象的高低关系在每个区间内不变。 当 x>0 时：0<x<1 段双曲线在抛物线上方（y₁<y₂）；1<x<2 段抛物线在双曲线上方（y₁>y₂）；x>2 段双曲线又回到上方（y₁<y₂）。 当 x<0 时：−1<x<0 段双曲线在第三象限、函数值为负且绝对值很大，而抛物线在该段位于 x 轴上方，故 y₁>y₂；x<−1 段双曲线函数值趋近于 0，抛物线位于双曲线下方，y₁<y₂。 综上，y₁>y₂ 时 −1<x<0 或 1<x<2。故选 C。 10．如图，在直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与原点重合，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，反比例函数 y=k/x（k≠0，x>0）的图象与正方形的两边 AB、BC 分别交于点 E、F，FD⊥x 轴，垂足为 D，连接 OE、OF、EF，FD 与 OE 相交于点 G。下列结论：①OF=OE；②∠EOF=60°；③四边形 ADFE 与△FOE 面积相等；④EF=CF+AE；⑤若∠EOF=45°，EF=4，则直线 FE 的函数解析式为 y=−x+4+2√2。其中正确结论的个数是（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 第 10 题图 【答案】B 【解析】设正方形边长为 a，则 A(a,0)、B(a,a)、C(0,a)，E(a,k/a)、F(k/a,a)。 ①OE²=a²+(k/a)²=OF²，故 OE=OF，正确。 ②由 E、F 关于直线 y=x 对称知 ∠EOA=∠FOC，而 ∠AOC=90°，所以 ∠EOF=90°−2∠EOA，它随 k 的变化而变化，不一定等于 60°，错误。 ③四边形 ADFE 的面积＝矩形 DABF 的面积−△BFE 的面积＝a(a−k/a)−½(a−k/a)²＝½(a²−k²/a²)；△FOE 的面积＝正方形面积−△OAE−△OCF−△BEF＝a²−½k−½k−½(a−k/a)²＝½(a²−k²/a²)。两面积相等，正确。 ④CF=a−k/a=AE，EF=√2(a−k/a)=√2·AE≠2AE，错误。 ⑤∠EOF=45° 时 ∠EOA=22.5°，k/a²=tan22.5°=√2−1；由 EF=√2(a−k/a)=4 得 a−k/a=2√2，解得 a=2√2+2，k/a=2，即 E(2√2+2，2)、F(2，2√2+2)，直线 FE 的斜率为 −1，解析式为 y=−x+4+2√2，正确。 综上，①③⑤正确，共 3 个。故选 B。 第Ⅱ卷 非选择题（110 分） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．抛物线 y=−5(x−2)² 的顶点坐标是______。 【答案】(2，0) 【解析】抛物线 y=a(x−h)²+k 的顶点为 (h，k)。本题 h=2、k=0，故顶点坐标为 (2，0)，对称轴为直线 x=2。 12．在平面直角坐标系中，已知点 A(a，−1)与点 B(5，b)关于原点对称，则 a+b=______。 【答案】−4 【解析】两点关于原点对称，则横、纵坐标都互为相反数：a=−5，b=1。所以 a+b=−5+1=−4。 13．如图，在直角坐标系中，点 A(0，6)、B(0，−2)、C(−4，6)，则△ABC 外接圆的圆心坐标为______。 【答案】(−2，2) 【解析】△ABC 外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点（到三点距离相等）。A、B 都在 y 轴上，其中点为 (0，2)，故 AB 的垂直平分线为直线 y=2；A、C 的纵坐标都是 6，其中点为 (−2，6)，故 AC 的垂直平分线为直线 x=−2。两条垂直平分线交于 (−2，2)，即外接圆圆心（此时半径 r=√[(−2)²+4²]=2√5）。 14．某班一名化学科代表在老师的指导下学会了某个化学实验操作，第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验。若设每人每次都能教会 x 名同学，则 x=______。 【答案】6 【解析】第一节课后，会做实验的人数为 1+x（科代表本人加上他教会的人）；第二节课，这 (1+x) 名同学每人又教会 x 名同学，新增 x(1+x) 人。故总人数为 1+x+x(1+x)=(1+x)²。由 (1+x)²=49 得 1+x=7（人数不能为负，故取正），x=6。 15．把抛物线 y=−x²−4x+5 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象。若直线 y=m 与这个新图象恰好有 4 个公共点，则 m 的取值范围是______。 【答案】0<m<9 【解析】y=−x²−4x+5=−(x+2)²+9，顶点为 (−2，9)，与 x 轴交于 (−5，0)、(1，0)。 在 −5≤x≤1 上，原抛物线位于 x 轴上方（0≤y≤9），翻折后不变；在 x<−5 与 x>1 上，原图象在 x 轴下方，翻折后成为射线状上升的曲线（y>0，且向两侧无限增大）。 所以新图象分三支：中间一段是顶点为 (−2，9) 的抛物线弧（最高点 9），两侧各一支从 (−5，0)、(1，0) 出发向上无限延伸。 直线 y=m：当 m=0 时与图象有 2 个公共点；当 0<m<9 时，中间弧上有 2 个、两侧各 1 个，共 4 个；当 m=9 时中间弧只与顶点相切（1 个），共 3 个；当 m>9 时只剩两侧各 1 个，共 2 个。故 m 的取值范围是 0<m<9。 16．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2√2，点 M 是 BC 边上一动点，将线段 AM 绕点 A 顺时针旋转 60°，得到线段 AN，连接 MN、CN，则 AN+CN 的最小值是______。 【答案】2√3+2 【解析】由旋转得 AM=AN，且 ∠MAN=60°，故 △AMN 是等边三角形，AN=AM。把点 C 绕点 A 沿同一方向旋转 60° 得点 C′（此时 AC′ 是 AC 旋转 60° 所得的线段），则旋转保持距离不变，有 CN=C′M。于是 AN+CN=AM+MC′。 以 BC 所在直线为 x 轴、BC 中点为原点建立坐标系：B(−2，0)、C(2，0)、A(0，2)（此时 AB=AC=2√2，∠BAC=90° 均满足）。取 A 关于 BC 的对称点 A′(0，−2)，则 AM=A′M，故 AM+MC′≥A′C′，当且仅当 A′、M、C′ 三点共线（且 M 在线段 BC 上）时取等号。 C(2，0) 绕 A(0，2) 逆时针旋转 60° 得 C′(1+√3，1+√3)。于是 A′C′=√[(1+√3)²+(3+√3)²]=√(16+8√3)=2√(4+2√3)=2(1+√3)=2√3+2，即 AN+CN 的最小值为 2√3+2。 三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解方程： （1）x²−2x−8=0； 【答案】x₁=4，x₂=−2 【解析】因式分解：寻找积为 −8、和为 −2 的两个数，得 −4 与 2，所以 (x−4)(x+2)=0，故 x−4=0 或 x+2=0，即 x₁=4，x₂=−2。（也可用配方：(x−1)²=9，x−1=±3。） （2）(2x−5)²−(x+4)²=0。 【答案】x₁=1/3，x₂=9 【解析】用平方差分解：[(2x−5)+(x+4)][(2x−5)−(x+4)]=0，即 (3x−1)(x−9)=0。 所以 3x−1=0 或 x−9=0，解得 x₁=1/3，x₂=9。 注意不能直接开方得 2x−5=±(x+4) 后丢弃其中一个符号的讨论，分解因式可避免漏根。 18．（6 分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，求证：OE=OF。 【答案】见解析 【解析】证明：过点 O 作 OM⊥AB，垂足为 M。 由垂径定理得 AM=BM。 因为 AE=BF，所以 AM−AE=BM−BF，即 EM=FM。 因为 OM⊥AB，所以 ∠OME=∠OMF=90°。 在△OME 和△OMF 中， 　　EM=FM，∠OME=∠OMF，OM=OM， 所以 △OME≌△OMF（SAS）， 所以 OE=OF。 19．（6 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2，4)、B(1，1)、C(4，3)。 （1）请画出△ABC 关于原点对称的图形△A₁B₁C₁； 【答案】画图要点：将 A、B、C 各点横、纵坐标都变为相反数，得 A₁(−2，−4)、B₁(−1，−1)、C₁(−4，−3)，顺次连接 A₁、B₁、C₁ 即得△A₁B₁C₁。 【解析】关于原点对称的点的坐标特征为 (x，y)→(−x，−y)。△A₁B₁C₁ 与△ABC 关于点 O 成中心对称，两三角形全等，且对应点连线都经过点 O。 （2）请画出△ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90° 后的图形△A₂B₂C₂； 【答案】画图要点：逆时针旋转 90° 的坐标变换为 (x，y)→(−y，x)，得 A₂(−4，2)、B₂(−1，1)、C₂(−3，4)，顺次连接即得△A₂B₂C₂。 【解析】绕原点逆时针旋转 90° 时，点 (x，y) 的对应点为 (−y，x)；顺时针旋转 90° 则为 (y，−x)。检验：A(2，4)→(−4，2) 与原点的距离不变且 OA 与 OA₂ 的夹角为 90°，符合要求。 （3）按照（2）的旋转方式，若 P(a，b) 为△ABC 边上一点，则点 P 对应的点 Q 的坐标为______。 【答案】(−b，a) 【解析】逆时针旋转 90° 的坐标变换把 (a，b) 变为 (−b，a)，所以 Q(−b，a)。由于旋转是图形整体的变换，边上的点仍对应到旋转后图形的对应边上。 20．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²−2mx+m²−4=0。 （1）求证：该方程总有两个实数根； 【答案】见解析 【解析】证明：Δ=(−2m)²−4×1×(m²−4)=4m²−4m²+16=16>0。 因为 Δ>0 对任意实数 m 都成立，所以该方程总有两个不相等的实数根（从而总有两个实数根）。 （2）若方程的一根恰为另一根的 2 倍，求 m 的值。 【答案】m=6 或 m=−6 【解析】由 x²−2mx+m²−4=0 得 (x−m)²=4，所以 x−m=±2，两根为 x₁=m+2，x₂=m−2。 若 m+2=2(m−2)，则 m+2=2m−4，m=6； 若 m−2=2(m+2)，则 m−2=2m+4，m=−6。 检验：m=6 时两根为 8 和 4；m=−6 时两根为 −4 和 −8，均满足“一根是另一根的 2 倍”。故 m=6 或 m=−6。 21．（8 分）如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一个角度 α，得到△ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上，且点 A、B、E 在同一条直线上。 （1）求证：DA 平分∠BDE； 【答案】见解析 【解析】证明：由旋转得 AD=AB，∠ADE=∠ABC。 因为 AD=AB，所以 ∠ADB=∠ABD。 又 D 在 BC 上，所以 ∠ABD=∠ABC，从而 ∠ADB=∠ABC=∠ADE。 因为 ∠ADB 与 ∠ADE 分别位于 DA 的两侧，且 ∠ADB=∠ADE，所以 DA 平分∠BDE。 （2）AC 与 DE 交于点 O，∠AOE=95°，求旋转角 α 的度数。 【答案】α=70° 【解析】由旋转得 AD=AB，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，且 ∠BAD=∠CAE=α。 ①在△ABD 中，AD=AB，顶角 ∠BAD=α，所以 ∠ABD=∠ADB=(180°−α)/2，即 ∠ABC=(180°−α)/2。 ②因为 A、B、E 在一条直线上，且 A 在 E、B 之间，所以 ∠BAE=180°，即 ∠BAC+∠CAE=180°，得 ∠BAC=180°−α。 于是 ∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−(180°−α)−(180°−α)/2=(3α−180°)/2。 ③在△AOE 中，O 在 AC 上、在 DE 上，故 ∠OAE=∠CAE=α，∠AEO=∠AED=∠ACB=(3α−180°)/2。 所以 ∠AOE=180°−α−(3α−180°)/2=270°−(5/2)α=95°， 解得 (5/2)α=175°，α=70°。 即旋转角 α 的度数为 70°。 22．（12 分）如图1所示的某种发石车，发射出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米。将发石车置于山坡底部 O 处，山坡上有一点 A，点 A 与点 O 的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB 是高度为3米的防御墙，以 O 为原点建立如图2所示的平面直角坐标系。 （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； 【答案】y=−(1/40)x²+x（0≤x≤40） 【解析】以 O 为原点、水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴。抛物线的最高点为 (20，10)，故设 y=a(x−20)²+10。 抛物线过点 O(0，0)：0=a(0−20)²+10，400a=−10，a=−1/40。 所以 y=−(1/40)(x−20)²+10=−(1/40)x²+x。 令 y=0 得 −(1/40)x²+x=0，x(1−x/40)=0，x=0 或 x=40，故石块落地点到 O 的水平距离为 40 米，自变量范围为 0≤x≤40。 （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙 AB； 【答案】能飞越。 【解析】点 A 的坐标为 (30，3)，防御墙 AB 高 3 米，故墙顶 B 的坐标为 (30，6)。 当 x=30 时，石块的高度 y=−(1/40)×900+30=−22.5+30=7.5（米）。 因为 7.5>6，即石块经过 x=30 处时高出墙顶 7.5−6=1.5 米，所以石块能飞越防御墙 AB。 （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面 OA 的最大距离。 【答案】8.1 米 【解析】坡面 OA 过 O(0，0) 与 A(30，3)，其解析式为 y=(1/10)x。 设石块与坡面在竖直方向上的距离为 d，则 d=[−(1/40)x²+x]−(1/10)x=−(1/40)x²+(9/10)x=−(1/40)(x−18)²+8.1（0≤x≤40）。 因为 a=−1/40<0，当 x=18（在 0≤x≤40 内）时 d 取得最大值 8.1。 所以石块飞行时与坡面 OA 在竖直方向上的最大距离为 8.1 米。 23．（12 分）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100℃时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热，重复上述过程。值日班长于7:20到校接通饮水机电源，记接通电源后第 x 分钟时对应的水温为 y℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： x（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … y（℃） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； 【答案】描点：在坐标系中依次描出 (0，30)、(2，50)、(5，80)、(7，100)、(10，70)、(14，50)、(16，43.75)、(20，35) 八个点。 【解析】描点时注意：先看横坐标（0、2、5、7…），再看纵坐标（30、50、80、100…），每一小格代表 1 个单位；可以观察到 0≤x≤7 时这些点近似在一条上升的直线上，7≤x≤20 时这些点近似在一条下降的曲线上。 （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围； 【答案】第一次加热：y=10x+30（0≤x≤7）；第一次降温：y=700/x（7≤x≤70/3） 【解析】第一次加热过程（0≤x≤7）：水温从 30℃ 升到 100℃，表中 (0，30)、(2，50)、(5，80)、(7，100) 各点均匀上升，y 与 x 成一次函数关系。设 y=kx+b，由 (0，30) 得 b=30；由 (7，100) 得 7k+30=100，k=10，故 y=10x+30（0≤x≤7）。 第一次降温过程（7≤x≤70/3）：检验 x·y 是否恒定：7×100=700，10×70=700，14×50=700，16×43.75=700，20×35=700，故 y 与 x 成反比例函数，y=700/x。 当 y=30 时，由 700/x=30 得 x=70/3≈23.3，故自变量范围为 7≤x≤70/3。 （3）上午第一节下课时间为8:45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明。 【答案】能喝到。 【解析】7:20 到 8:45 共 85 分钟，即 x=85。 每次循环：加热 7 分钟（30℃→100℃），降温从 100℃ 到 30℃ 需 70/3−7=49/3≈16.3 分钟，一个循环共 7+49/3=70/3≈23.3 分钟。 因为 85=3×(70/3)+15，所以第 85 分钟处在第 4 次循环中，该次循环从第 70 分钟开始；85−70=15>7，说明此时处于降温阶段。 由 y=700/x 的规律，此时 y=700/15≈46.7（℃）。 因为 46.7<50，所以同学们能喝到不超过 50℃ 的水。 24．（14 分）（1）如图（1），在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，将 AD 绕点 A 逆时针旋转 120° 得到 AE，连接 EC。 ①求证：BD=EC； 【答案】见解析 【解析】证明：由旋转得 AD=AE，∠DAE=120°。 因为 ∠BAC=120°，所以 ∠BAD=∠BAC−∠DAC=120°−∠DAC，∠CAE=∠DAE−∠DAC=120°−∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE。 在△BAD 和△CAE 中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， 所以 △BAD≌△CAE（SAS），故 BD=EC。 （也可以这样看：把△ABD 绕点 A 逆时针旋转 120°，AB 与 AC 重合、AD 与 AE 重合，△ABD 的像就是△ACE。） ②如图（2），若 M 为 DE 的中点，延长 CM 至点 F，使 FM=MC，连接 FB、FD，试判断△FBD 的形状，并证明你的结论。 【答案】△FBD 是等边三角形。 【解析】证明：因为 M 是 DE 的中点，又 FM=MC（即 M 是 CF 的中点），所以四边形 CDEF 的对角线 DE 与 CF 互相平分，四边形 CDEF 是平行四边形。 所以 DF∥CE，DF=CE。由①知 CE=BD，所以 DF=BD。 因为 AB=AC，∠BAC=120°，所以 ∠ABC=∠ACB=30°，又 ∠ACE=∠ABD=∠ABC=30°（由①的全等）， 所以 ∠BCE=∠BCA+∠ACE=30°+30°=60°。 因为 DF∥CE，且 D 在 BC 上（即 DB 与 CB 在同一条直线上），所以 ∠FDB=∠BCE=60°。 在△FBD 中，DF=BD 且 ∠FDB=60°，所以 △FBD 是等边三角形。 （2）如图（3），在等边三角形 ABC 中，D 是△ABC 内一点，将 BD 绕点 D 逆时针旋转 120° 得到 DE，取 AE 的中点 M，连接 DM、CD、BE。 ①试探究线段 CD、DM 的数量关系，并证明你的结论； 【答案】CD=2DM 【解析】证明：以 CD 为边作等边三角形 CDQ，使点 Q 与点 B 分别在直线 CD 的两侧，连接 AQ、DQ。 ∵ △ABC 与 △CDQ 都是等边三角形， ∴ 把点 B、点 D 同时绕点 C 沿同一方向旋转 60°，点 B 的像为点 A，点 D 的像为点 Q， ∴ 向量 AQ 就是 向量 BD 绕点 C 旋转 60° 所得的向量。 又 ∵ DE 是 DB 绕点 D 逆时针旋转 120° 所得的线段， 而 向量 DB 是 向量 BD 的反向量，把 向量 BD 反向后再旋转 120°，相当于把 向量 BD 旋转 −60°（即顺时针 60°）， ∴ 向量 DE 与 向量 AQ 相等。 由 向量 AQ=向量 DE 得 Q−A=E−D，即 Q+D=A+E， ∴ 线段 AE 与 DQ 的中点重合，也就是点 M 是 DQ 的中点。 又 △CDQ 是等边三角形，故 CD=DQ， ∴ DM=½DQ=½CD，即 CD=2DM。 （也可直接取特殊值验证：如 BC=6、BD=2√2、∠DBC=45° 时 CD=2√5、DM=√5，CD=2DM 成立。） ②若 BC=6，BD=2√2，∠DBC=45°，则 DM 的长为______（直接写出结果）。 【答案】√5 【解析】在△BCD 中，BC=6，BD=2√2，∠DBC=45°，由余弦定理： CD²=BC²+BD²−2·BC·BD·cos45°=36+8−2×6×2√2×(√2/2)=44−24=20，故 CD=2√5。 由①知 CD=2DM，所以 DM=½CD=√5。 25．（14 分）【课本再现】在人教版教材九上《25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系》的内容中，对一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0，b²−4ac≥0）的根与系数的关系，探究了不同的推导方法： 如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x−x₁)(x−x₂)，那么方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁、x₂。反过来，如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两个根为 x₁、x₂，那么 ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂)，即 ax²+bx+c=ax²−a(x₁+x₂)x+ax₁x₂。由此可得 −a(x₁+x₂)=b，ax₁x₂=c。因此 x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a。 （1）【探究引申】类比一元二次方程，我们可以探究一元三次方程的根与系数的关系。 请写出一个一元三次方程，使它的三根分别为 2，1 和−5：______（化为一般形式）。 观察各项系数，思考它们与方程三个根的关系： 一般地，若一元三次方程 ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）的三个根为 x₁，x₂，x₃，则 x₁+x₂+x₃=______， x₁·x₂·x₃=______。（用含 a，b，c，d 的代数式表示） 【答案】x³+2x²−13x+10=0；x₁+x₂+x₃=−b/a；x₁·x₂·x₃=−d/a 【解析】①写方程：若三根为 2、1、−5，则方程可写成 (x−2)(x−1)(x+5)=0。 先算 (x−2)(x−1)=x²−3x+2，再乘 (x+5)： (x²−3x+2)(x+5)=x³+5x²−3x²−15x+2x+10=x³+2x²−13x+10。 所以方程为 x³+2x²−13x+10=0（一般形式，且二次项、一次项、常数项均不为 0，便于观察）。 ②类比推导：若 ax³+bx²+cx+d=a(x−x₁)(x−x₂)(x−x₃)，右边展开后 x² 的系数为 −a(x₁+x₂+x₃)，常数项为 −ax₁x₂x₃。 比较系数得 −a(x₁+x₂+x₃)=b，−ax₁x₂x₃=d， 所以 x₁+x₂+x₃=−b/a，x₁x₂x₃=−d/a。 检验：对本例 x³+2x²−13x+10=0，a=1、b=2、d=10，−b/a=−2 恰为 2+1+(−5)=−2，−d/a=−10 恰为 2×1×(−5)=−10，与推导一致。 （2）【灵活运用】已知反比例函数 y=m/x 的图象在第一、三象限。 ①若直线 l：y=x−1+2m 与反比例函数 y=m/x 的图象交于 P、Q 两点，且线段 PQ=10，求 m 的值； 【答案】m=7/2 【解析】由 y=x−1+2m 与 y=m/x 得 x−1+2m=m/x，两边乘 x（x≠0）整理得 x²+(2m−1)x−m=0。 设 P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，则 x₁、x₂ 是该方程的两根，x₁+x₂=1−2m，x₁x₂=−m。 因为点 P、Q 在直线 y=x−1+2m 上（斜率为 1），所以 PQ=√2·|x₁−x₂|。 由 PQ=10 得 |x₁−x₂|=5√2，于是 (x₁−x₂)²=50。 而 (x₁−x₂)²=(x₁+x₂)²−4x₁x₂=(1−2m)²+4m=4m²+1， 所以 4m²+1=50，m²=49/4，m=±7/2。 又图象在第一、三象限，故 m>0，所以 m=7/2。 ②若抛物线 y=½x²+kx−2k+2 与反比例函数 y=m/x 的图象有三个交点，从左至右依次为 A、B、C，其中点 B、C 关于原点对称，且 AB⊥AC，求抛物线的解析式。 【答案】y=½x²+2x−2（此时 m=8） 【解析】由 ½x²+kx−2k+2=m/x（x≠0）两边乘 2x 得 x³+2kx²+(4−4k)x−2m=0。 ①设 B(p，m/p)、C(−p，−m/p)（B、C 关于原点对称），第三个交点 A 的横坐标为 r。 由根与系数的关系：r+p+(−p)=−2k，得 r=−2k；又 p·(−p)·r=2m，得 p²·2k=2m，即 p²k=m。 ②B、C 都在抛物线上： m/p=½p²+kp−2k+2， −m/p=½p²−kp−2k+2。 两式相加消去一次项：0=p²−4k+4，故 k=(p²+4)/4。 记 t=p²，则 m=tk=t(t+4)/4，r=−2k=−(t+4)/2。 ③把 A(r，m/r) 的坐标算出来：m/r=(tk)/(−2k)=−t/2，故 A(−(t+4)/2，−t/2)。 B、C 关于原点对称，O 是 BC 的中点，|OB|=|OC|；AB⊥AC 等价于点 A 在以 BC 为直径的圆上，即 |OA|=|OB|： |OA|²=(t+4)²/4+t²/4，|OB|²=p²+(m/p)²=t+t(t+4)²/16。 由 (t+4)²/4+t²/4=t+t(t+4)²/16，两边乘以 16 整理得 4(t²+8t+16)+4t²=16t+t³+8t²+16t，即 8t²+32t+64=t³+8t²+32t，所以 t³=64，t=4。 于是 k=(4+4)/4=2，m=4×(4+4)/4=8，r=−(4+4)/2=−4。 检验：y=½x²+2x−2 与 y=8/x 联立得 x³+4x²−4x−16=0，即 (x+4)(x²−4)=0，三个交点横坐标从左到右为 −4、−2、2，对应 A(−4，−2)、B(−2，−4)、C(2，4)：B、C 关于原点对称；向量 AB=(2，−2)，向量 AC=(6，6)，(2，−2)·(6，6)=12−12=0，AB⊥AC，条件全部满足。 故抛物线的解析式为 y=½x²+2x−2。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $