第12章 因式分解 知识清单 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

第12章　因式分解　知识清单

依据上海教育出版社《义务教育教科书·数学》七年级上册（五·四学制）编写，供复习备考使用。

一、章知识概览

【学习内容】本章共两节：12.1 因式分解的意义；12.2 因式分解的方法。主要学习因式、公因式、因式分解等概念，以及提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法四种基本方法，并知道因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。

【考点地位】因式分解是整式乘法的逆变形，是分式约分与通分、解方程的基础，也是中考“数与式”的常考内容。考查重点在方法的选用、分解的彻底性与符号处理。

【学习目标】①理解因式分解的意义，能判断一个变形是不是因式分解；②会用提取公因式法分解因式；③会用平方差公式、完全平方公式分解因式；④会用十字相乘法分解二次三项式；⑤会用分组分解法分解四项式；⑥养成“一提二套三十字、分解到不能再分解”的习惯。

【知识结构图】本章按“章→节→方法”三层梳理，下表一图速查。

二、核心公式定理

【速查表】本章概念、方法与公式汇总如下，注意每种方法的适用特征。

三、考点知识梳理

（一）12.1　因式分解的意义

【因式】几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式。如 中，x＋1 与 x－1 都是积的因式。

【因式分解】把一个含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。因式分解与整式乘法是互逆的变形：整式乘法是把积展开成和，因式分解是把和化成积。

【分解要彻底】因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止。如 ，不能只写到 就停下。

【公因式】含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式，叫作这个整式的公因式。如 的公因式是 3ab：系数取 6 与 3 的最大公因数 3，字母取相同字母 a、b 的最低次幂。

（二）12.2　因式分解的方法

【提取公因式法】各项含有非常数的公因式时，把公因式提取出来。提公因式通常提各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的字母的最低次幂。如 ，。提完后括号内的项数与原式的项数相同，不能漏掉“1”。

【公式法】根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法，叫作公式法。平方差公式：；完全平方公式：，。如 ，。

图1　圆环的面积与平方差公式

【十字相乘法】通过适当地分解系数把二次三项式因式分解的方法，叫作十字相乘法。对于 ，若能找到两个数 a、b，使 ，，则 。如 。

【分组分解法】把多项式的项适当分组，各组分别提取公因式或运用公式，再在组与组之间提取公因式。如 ，。

四、重点知识记忆方法

【记忆口诀】一提二套三十字，四项分组试一试；提完看括号，项数不能少；平方差、两项异号，完全平方、三项成套；十字相乘凑中间，符号跟着常数跑。

【对比记忆】四种方法各有适用特征，对比如下表，先看项数与结构再选方法。