精品解析：北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期九年级期中考试数学试卷

燕山教育集团2026-2027学年第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据中心对称图形定义判断：一个图形绕某一点旋转后能和自身重合，就是中心对称图形． 【详解】解：A．半圆，旋转后不能与自身重合，不符合题意； B．矩形，绕对角线交点旋转后能与自身重合，符合题意； C．等边三角形，旋转后不能与自身重合，不符合题意； D．直角三角形，旋转后不能与自身重合，不符合题意． 2. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4. 若，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根， ∴． 5. 将抛物线沿轴向右平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线沿x轴向右平移1个单位，将中的替换为，得． 6. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合等腰三角形三线合一求出，再根据旋转的定义，就是旋转角． 【详解】解：，， 平分， ， 由旋转的性质可知，旋转角为， 旋转角的度数是． 7. 绿水村2023年的人均收入为18000元，2025年的人均收入为21780元，求人均收入的年平均增长率．设人均收入的年平均增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设人均收入的年平均增长率为， ∵2023年人均收入为18000元， ∴2024年人均收入为元， ∴2025年人均收入为元， ∵2025年人均收入为21780元， ∴可列方程． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的根是：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后直接开平方即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：． 10. 请写出一个关于的一元二次方程，其中是方程的一个根：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】需构造仅含未知数、最高次数为2的整式方程，且将代入方程时等式成立． 【详解】解：一元二次方程需满足只含一个未知数，的最高次数为2，且为整式方程， 根据方程根的定义，若是方程的根，则将代入方程时左右两边相等， 可构造因式乘积形式的方程， 展开整理得， 代入验证，左边为，与右边相等，符合要求． 11. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详解】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的定义可得，对应点连线的交点即为旋转中心，即可求得坐标． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的定义、坐标系中点的坐标，根据旋转的定义确定旋转中心的位置是解题的关键． 15. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为___________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】由图象可知抛物线对称轴及一个交点坐标，利用对称性求出另一交点坐标，交点横坐标即为方程的根． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴根据抛物线的对称性，抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的两根为，．  16. 某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 【答案】 ①. 乙 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，每个运维站至少1台，先确定已分配4台，剩余2台需全部投放到同一运维站，分别计算不同投放的总利润，比较得到最大值对应的运维站即可； （2）根据题意，自由分配6台机器人，每个运维站最多3台，列举所有可能使总利润较大的分配方案，计算总利润后比较得到最大值即可. 【详解】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润： 若追加给甲：总利润为； 若追加给乙：总利润为； 若追加给丙：总利润为； 若追加给丁：总利润为； 因为，因此应优先追加投放给乙； （2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况： ①投放甲台，乙台，总利润； ②投放甲台，乙台，丁台，总利润； ③投放甲台，乙台，丁台，总利润； ④投放甲台，乙台，丁台，总利润； ⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润； 故最大总利润为元. 三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 18. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ， ∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴， ， ， 在和中， ， ． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，即可得到结论． 【详解】略 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，-2 【解析】 【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可． 【详解】解：原式= ∵， ∴， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时方程的根． 【答案】（1） 的取值范围是； （2） 方程的根为，． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的个数与判别式的关系列不等式，求解的取值范围； （2）先确定的最大整数值，代入原方程后求解方程的根． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 解得； 【小问2详解】 解：∵，且为整数， ∴的最大整数值为， 将代入原方程， 得， 配方得， ∴， ∴，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕原点顺时针旋转得到（，分别是，的对应点）． （1）在图中画出，并直接写出点，的坐标； （2）点位于内（不含边界），将点绕原点顺时针旋转得到点，直接写出的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）如图，即为所求，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质画图即可，再根据点，所在位置可得坐标； （2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点C、D重合，然后作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵位于内（不含边界）， ∴， 将点绕原点顺时针旋转得到点，则在上，且不与点C、D重合， ∴． 22. 已知二次函数的图象过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出二次函数图像； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：二次函数图像如下图： （3） 【解析】 【分析】（1）把点和代入二次函数，求出b，c的值即可； （2）列表、描点、连线，即得； （3）根据二次函数的性质，求出函数y的最大值，再求出当时，y的值，当时，y的值，即可以得到时，函数值y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点和， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：， 列表： x … 0 1 2 3 4 5 … … 0 1 0 … 以表中每对x，y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数的图象 【小问3详解】 解：由（1）得，二次函数的解析式为：， ∴对称轴为直线， 当时，二次函数有最大值，； ∴当时，； 当时，； ∴当时， 函数值y的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，描点法画二次函数图象，二次函数的图象和性质，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点坐标代入两个函数解析式求出值即可； （2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点， ，， 正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值， ， 解得． 24. 某科技团队研发的机器人在进行舞蹈表演中，表演队形随音乐节奏变化调整．在开场阶段，参加表演的所有机器人排列成一个正方形方阵；在音乐高潮部分，表演队形发生变化：首先5个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人调整为一个长方形方阵，长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少5．求此次参加表演的机器人的总个数． 【答案】 此次参加表演的机器人总个数为100. 【解析】 【分析】设原正方形方阵每边有个机器人，根据剩余机器人数量等于长方形方阵总人数列方程，结合实际意义取舍解． 【详解】解：设原来正方形方阵每边有个机器人， 根据题意，得 ，  整理，得， 解得，，  ∵行数需为正整数，即，  ∴ 不符合题意，舍去 ， ∴， 总个数为（个）， 答：此次参加表演的机器人总个数为100个． 25. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线的一部分．在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米，现测量出如下数据： d/米 0.0 1.0 2.0 3.0 4.8 ．．． h/米 1.0 1.75 2.0 1.75 0.04 ．．． 请解决以下问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中数据与所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度及抛物线的解析式； （3）公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同） 【答案】（1）如图所示： （2）水柱最高点距离湖面的高度是2米， （3）应该将水枪高度调节到1.66米以上 【解析】 【分析】（1）利用描点法画出图象即可； （2）根据图象和待定系数法求解即可； （3）设水枪高度至少向上调节m米，由题意知，调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为 ，根据题意求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象知水柱最高点距离湖面的高度是2米； 根据图象，该抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴该抛物线的解析式为，即； 【小问3详解】 解：设水枪高度至少向上调节m米 由题意知，调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为 ， ∵对称轴为直线，游船宽度为1.6米， ∴当横坐标为时，纵坐标的值大于等于， 则，解得， ∴水枪高度至少向上调节0.66米， 即应将水枪高度调节到1.66米以上． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若，求点的坐标及抛物线的对称轴； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，抛物线的对称轴为直线 （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）由题意得，进而可得点M的坐标和对称轴； （2）先得到抛物线的对称轴为直线，分和两种情况，根据二次函数的图象与性质，结合不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴点M的坐标为，抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由题意可得抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线上的两点，，满足时，都有， ∴； 当时，抛物线的开口向下，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点关于直线的对称点为， ∵抛物线上的两点，，满足时，都有， ∴，解得， 综上， 满足条件的a的取值范围是或． 27. 在中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）解：，证明如下： 延长到点，使， 同（1）理，是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，推出，得到，得到是的中位线，根据三角形中位线的性质即可证明； （2）延长到点，使，同理得到和都是等边三角形，证明，得到，再证明是的中位线，根据三角形中位线的性质即可得到． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：，理由略． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：若存在直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分图象关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则称这个新函数为原函数关于直线的“镜面函数”．例如，图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； （2）若函数关于直线的“镜面函数”的图象与直线有三个公共点，求的值； （3）已知点，是抛物线关于直线的“镜面函数”图象上的两点，当时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图所示： （2）6或 （3） 【解析】 【分析】（1）先画出函数的图象，再根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的另一半图象即可； （2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与“镜面函数”相切两种情况求解即可； （3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t的不等式组，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴函数的图象经过点，， 根据“镜面函数”的定义，函数的“镜面函数”的图象还经过点， 描点、连线，图略； 【小问2详解】 解：对于函数，顶点坐标为， 当和时，， 当时，， ∴函数在时的图象经过，，， ∴当时，函数关于直线的“镜面函数”的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数关于直线的“镜面函数”的解析式为， 则函数关于直线的“镜面函数”的图象如图， 当直线经过点时，由得，此时直线与函数关于直线的“镜面函数”的图象有3个交点； 由得， 由得，此时直线与函数关于直线的“镜面函数”的图象有3个交点， 综上，满足条件的n的值为6或； 【小问3详解】 解：，则顶点坐标为， 则关于y轴对称的顶点坐标为， ∴该抛物线的“镜面函数”的解析式为， 函数图象如图， 当时，，如图，设，则Q关于直线的对称点为，点Q关于y轴的对称点为， 当时，均满足， 则，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山教育集团2026-2027学年第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 4. 若，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线沿轴向右平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 绿水村2023年的人均收入为18000元，2025年的人均收入为21780元，求人均收入的年平均增长率．设人均收入的年平均增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 方程的根是：______． 10. 请写出一个关于的一元二次方程，其中是方程的一个根：___________． 11. 抛物线的顶点坐标为______． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是____________． 15. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为___________． 16. 某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求此时方程的根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕原点顺时针旋转得到（，分别是，的对应点）． （1）在图中画出，并直接写出点，的坐标； （2）点位于内（不含边界），将点绕原点顺时针旋转得到点，直接写出的纵坐标的取值范围． 22. 已知二次函数的图象过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出二次函数图像； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． （1）求该正比例函数和反比例函数的解析式； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 24. 某科技团队研发的机器人在进行舞蹈表演中，表演队形随音乐节奏变化调整．在开场阶段，参加表演的所有机器人排列成一个正方形方阵；在音乐高潮部分，表演队形发生变化：首先5个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人调整为一个长方形方阵，长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少5．求此次参加表演的机器人的总个数． 25. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线的一部分．在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米，现测量出如下数据： d/米 0.0 1.0 2.0 3.0 4.8 ．．． h/米 1.0 1.75 2.0 1.75 0.04 ．．． 请解决以下问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中数据与所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度及抛物线的解析式； （3）公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若，求点的坐标及抛物线的对称轴； （2）若对于，都有，求的取值范围． 27. 在中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：若存在直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分图象关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则称这个新函数为原函数关于直线的“镜面函数”．例如，图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为也可以写成． （1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； （2）若函数关于直线的“镜面函数”的图象与直线有三个公共点，求的值； （3）已知点，是抛物线关于直线的“镜面函数”图象上的两点，当时，均满足，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $