微专题 《九章算术》与中考真题的关联（含7种题型） --2026学 解读【数学史】与中考试题的关联

【解析版】 微专题 《九章算术》与中考真题的关联 近年各地中考数学常以《九章算术》为文化背景命题，多以 “数学文化” 或 “阅读理解” 题形式呈现：题干引用一段古算原文，并配注释或译文，要求考生读懂情境、抽象出数量关系并建模求解，既考查知识，也考查阅读与转化能力。 涉及知识点相对集中： 一是勾股定理：如： “折竹抵地”、“圆材埋壁”、“引葭（读作 jiā）赴岸”、“荡杯”、“秋千” 等题，借直角三角形三边关系列方程； 二是方程与方程组：如 “盈不足的盈亏问题”、“共买物合伙经商” 等题，可列一元一次或二元一次方程组。三是比例与分配：出自 “粟米”、“衰分”、“均输” 诸章； 四是面积、体积与正负数：出自 “方田”、“商功” 章，如：圆田、方仓、堑堵等的计算。 命题意图在于融入中华优秀传统文化，考查数学建模与应用意识；难度多为中等，落脚点仍是常规解法，古文只是 “外壳”，数据常被简化或改用现代单位。 备考上宜熟悉常见古题模型与术语（”步”、“匹”、“钱”、“盈”、“不足”），练习把文言条件逐句翻译为代数式，注意单位统一与隐含的差量关系；整体把握 “读 — 译 — 设 — 解 — 答” 五步即可，不必钻研偏怪原文。 《九章算术》是中国古代最重要的一部数学经典，成书于东汉初年（约公元 1 世纪），为《算经十书》之一，历代均视之为数学教科书。全书以问题集形式编纂，共收 246 道题，按应用领域分为九章：方田（面积与分数）、粟米（比例交换）、衰分（按比例分配）、少广（开方）、商功（体积与土方工程）、均输（赋税运输）、盈不足（盈亏问题）、方程（线性方程组）、勾股（勾股定理及应用）。 其突出特点是 “以算为主、寓理于算”：每题给出答案与算法，算法化、程序化，紧扣实际生产、赋税与工程需求。书中最早系统论述了分数四则运算与比例算法，提出 “盈不足术” 这一通用解法，明确正负数加减法则，并给出线性方程组的消元解法（相当于高斯消元法）；同时载有勾股定理及多组整数勾股数，取圆周率近似为 “周三径一” 等； 《九章算术》奠定了中国传统数学以算法为中心的体系框架，后经魏晋刘徽作注、唐代李淳风等整理，成为隋唐以来国家数学教育的标准教材，并东传朝鲜、日本，在世界数学史上占有重要地位。 题型1、盈不足型问题 例1、（2025·四川省德阳市·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 古代问题(一元一次方程的应用) 【提示】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可； 【答案】D； 【解析】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D； 【说明】本题主要考查了一元一次方程的实际应用之古代问题，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变）建立方程求解是解题的关键； 例2、（2025·江苏省淮安市·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 【提示】根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可． 【答案】B； 【解析】由题意，设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得： ； 故选B； 【说明】本题考查了根据实际问题，根据实际问题列二元一次方程组；易错：把 “盈 或不足” 正负号搞反；把 “金价” 写成 “人数 × 出钱” 却忘了加或减差额。 【注解】“盈不足”（拼音：yíng bù zú），又作“赢不足”，是我国古代一种用于计算盈亏类问题的算术方法，其核心思想是借助“有余（盈）”和“不足”的情况，来推算出隐含的未知数； 历史上：“盈不足”本为《周礼》中记载的“九数”科目之一，在先秦时代已有其雏形；到了西汉时期，著名的数学著作《九章算术》将其系统整理，并作为第七章的章名，记载了盈不足、两盈、两不足、盈适足、不足适足五种情形的算法条文； 核心原理与应用：盈不足术的核心是通过两次假设，得出“盈（多）”或“不足（少）”的结果，进而推算出准确的未知量。其最典型的题目是“共买物”问题。 题型2、方程章与列方程组问题 例3、（2026·江苏省苏州市·中考真题）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡；雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤；问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重；聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同；已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）；则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（      ） A． B． C． D． 【提示】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案； 译文：5 只雀、6 只燕分别聚集称重，聚在一起的雀重、燕轻；把1只雀和1只燕互换位置，两边恰好平衡5只雀和6只燕共重 1斤（1 斤=16 两）；设每只雀x两、每只燕y两，请写出可列的方程组并求解； 【答案】A； 【解析】由题意，设每只雀重量为两，每只燕重量为两 因为，5只雀和6只燕总重1斤，且1斤=16两， 所以，可得方程 将1只雀和1只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀， 所以，可得方程 , 因此可列方程组为； 【说明】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组、二元一次方程组的应用之古代问题；易错：一是忘记 1 斤=16两，把右边写成1；二是互换后把两边只数写反，正确是“4雀1燕”对“1雀5燕”。 例4、（2026·江苏省扬州市·中考真题）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组 【提示】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可； 【答案】； 【解析】由题意，设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意：． 【说明】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组、二元一次方程组的应用之古代问题。 【注解】“方程章”是中国古代数学经典著作《九章算术》中的第八章，也是世界上最早系统论述线性方程组及其解法的文献。这一章不仅奠定了中国传统数学的基本框架，在世界数学史上也具有极其重要的地位； 以下是关于“方程章”的详细解释： 核心内容与解法：“方程章”主要收录了关于一次方程组（即线性方程组）的问题及其解法。其核心解法被称为“方程术”，采用分离系数的方法，将方程组中各个未知数的系数和常数项用算筹排列成矩阵的形式，然后通过“直除法”（即矩阵的初等变换）来求解；这种方法在本质上与现代线性代数中的“高斯消元法”不谋而合，比西方直到17世纪由莱布尼兹提出完整的线性方程组解法早了一千多年。 题型3、分数与比例和行程问题 例5、（2025·四川省资阳市·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（    ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【提示】设原本持金为斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得即可． 译文：有人带金过五个关，五关税率依次为：、、、、；五关所收税额合计恰好1斤（16 两）。问原来带金多少； 【答案】A； 【解析】由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得 故原本持金为斤， 故选：A． 【说明】本题主要考查了一元一次方程的应用之古代问题；理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键。 例6、（2025·江苏省连云港市·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 【提示】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可； 【答案】A； 【解析】由题意，设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， 所以，方程为， 故选：A； 【说明】本题考查了一元一次方程的应用之行程问题。 【注解】这一类的共同点是“把全程或全量看作 1”，用分数表示每一段所占的份额。比例题（如五关纳税）要连乘份额，行程题（如凫雁相逢）要用速度和； 这类问题通常不直接给出总路程或具体速度，而是通过分数、比例关系以及部分具体数量来隐藏条件，要求求出总路程、速度比或相遇时间等。 解决这类问题，通常需要综合运用以下三个数学思想：1、比例思想（统一份数）：将速度、时间或路程转化为“份数”，利用“路程比 = 速度比 × 时间比”进行转化。2、量率对应（找准单位“1”）：找到题目中给出的具体数量（量），并准确计算出它所对应的分数或比例（率），用“量 ÷ 率 = 单位‘1’”；3、画图辅助（线段图）：将抽象的分数和比例画在一条线段上，直观看出各部分的占比。 题型4、勾股定理及其应用问题 例7、（2025·江苏省镇江市·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【提示】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得； 【答案】5尺； 【解析】如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， 所以，四边形是矩形， 所以，尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺； 【说明】本题考查了勾股定理的应用，求大树折断前的高度、根据矩形的性质与判定求线段长； 例8、（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【提示】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案； 【答案】（1） （2），，，其中、、都是正整数，， 证明过程如下： 因为，，，， 所以，， ， ， 因为，， 所以，； （3）280； 【解析】（1）由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， 所以，， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2），，，其中、、都是正整数，， 证明过程如下： 因为，，，， 所以，， ， ， 因为，， 所以，； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 因为，仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， 所以，， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【说明】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键。 【注解】“勾股应用型”应用题通常需要运用以下三种数学思想： 建模思想：将生活实际、立体图形或测量场景抽象为直角三角形几何图形； 方程思想：当无法直接计算时，设未知线段长为，依托勾股定理（  ）建立方程求解； 转化思想：将立体图形展开为平面图形求解最短路径，或将折叠问题转化为寻找相等的线段。 题型5、面积与体积·问题 例9、（2024·山东省东营市·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 【提示】过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解； 【答案】； 【解析】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， 所以， 因为，，，解得： 所以， 所以，正八边形为 所以， 所以， 所以，的估计值为 故答案为：； 【说明】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键。 例10、（2025·河南省·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【提示】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可； 【答案】； 【解析】因为，所在圆的圆心为点O，边与相切于点， 所以，，， 因为，四边形为矩形， 所以，， 所以，， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 因为，，， 所以，， 所以，是等边三角形， 所以，， 所以，， 所以，阴影部分的面积， 故答案为：． 【说明】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键； 题型6、概念溯源型问题 例11、（2026·江苏省宿迁市·中考真题）《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（      ） A． B．0 C． D．2 【答案】A； 【解析】因为，小于0的数是负数，且， 所以，是负数； 【说明】本题考查了正负数的定义； 例12、（2026·海南省·中考真题）负数的概念最早出现在中国古代数学专著《九章算术》中．若向东走2米记为米，则向西走3米应记为（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B； 【解析】因为，向东走2米记为米，即向东为正， 又因为，向西与向东意义相反， 所以，向西走记为负， 所以，向西走3米记为米； 【说明】本题考查了相反意义的量、正负数的实际应用； 【注解】这类题只在题干里借《九章算术》“正负术”一句话，实质考查相反意义的量；判断方法：先找“进或出、盈或亏、升或降”的反义配对，再确定正负号；选项常用“亏损”“剩余”等措辞制造干扰。 题型7、阅读探究型问题 例13、（2023·江苏省南通市·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 【提示】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值； 【答案】； 【解析】由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， 所以，，为直角边，为斜边， 所以，， 所以，， 得到， 所以，， 所以，， 因为， 是大于1的奇数， 所以，． 故答案为：； 【说明】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键。 例14、（2026·安徽省·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： （1），对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； （2）勾股数对应的_____，_____； （3）序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 （4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【提示】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可； 【答案】（1）24，10，26，7 （2）6，1 （3）11，60，61 （4）不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； 因为，，， 所以，序号从10增加到11时，的值减小， 所以，他的猜想不正确； 【解析】（1）解∶当，时，，，， 所以，，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， 所以，，即， 又， 所以，， 把代入，得， 解得， 所以，勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， 所以，序号为15时，，， 所以，，，， 序号为15的勾股数是； （4）不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； 因为，，， 所以，序号从10增加到11时，的值减小， 所以，他的猜想不正确； 【说明】本题考查了数字类规律探索、因式分解法解一元二次方程、勾股树（数）问题、举反例； 【注解】近两年新增的高分题型：先给一组古典数据或公式，再要求“补全—归纳—证明—应用”，把文化阅读、规律探究、代数证明与应用建模串成一条链。它不考记忆，考的是从特例中抽象出通式。 复习建议可分四步推进： 一是建档归类：把近三年本地及省内真题中以《九章算术》为背景的题目集中整理，按知识点归档：勾股定理类（折竹抵地、圆材埋壁、引葭赴岸）、方程与方程组类（盈不足、共买物）、比例分配类（粟米、衰分）、面积体积类（方田、商功），明确每类题的设问方式与解法套路； 二是熟记模型：古题结构固定，如 “盈不足” 即两次分配一盈一亏，可用（盈＋亏）÷ 两次分配之差求人数；”折竹” 则用勾股定理列方程。记模型比背原文有用得多； 三是专练翻译：信息提取是关键，训练逐句圈出数据与关系，把 “步”“钱”“匹” 等术语换成代数符号，留意单位统一与隐含条件，不漏读 “不足”“余”“少” 等字眼； 四是规范作答：按 “读 — 译 — 设 — 解 — 答” 五步书写，设未知数、列方程、求解检验，答案带单位与结论句，防止过程分丢失； 五是限时演练与错题回看：周做两至三道同类题，限时五分钟；错题记明错因（读不懂、未知数设错、计算失误），一周后重做一遍。 不必钻研冷僻原文，重心应放在建模能力与阅读转子上，古文只是包装，方程才是核心。 1．（2026·重庆市·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由题意，设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， 因为，5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， 所以，， 因为，1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， 所以，， 因此可得方程组 ； 2．（2025·四川省广安市·中考真题）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， 所以，联立方程组为． 故选：B． 3．（2025·四川省巴中市·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】根据题意可得方程组， ， 故选：A． 4．（2024·海南省·水平考真题）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】若若零上记作，那么零下应记作， 故选：A． 5．（2024·青海省西宁市·水平考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（    ） A．元 B．60元 C．元 D．40元 【答案】A； 【解析】因为，若收入100元记为元，则支出60元应记为与其相反的符号，即元， 故选：A． 6．（2026·甘肃省兰州市·中考真题）《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】根据题意，得． 7．（2026·江苏省无锡市·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】由：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 8．（2026·四川省甘孜州·中考真题）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（      ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由题意，设有人，辆车， 因为，3人坐一辆车时，有2辆车是空的， 所以，被使用的车辆数为，总人数满足； 因为，2人坐一辆车时，有9人需要步行， 所以，坐上车的人数为，这部分人刚好坐满辆车，可得． 因此符合题意的方程组为． 9．（2026·天津市·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由题意，设人数为， 因为，每人出钱，还差钱， 所以，羊价可表示为钱， 因为，每人出钱，还差钱， 所以，羊价可表示为钱， 因为，羊价固定不变， 所以，可列方程为． 10．（2025·甘肃省兰州市·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得， ． 故选A． 第18页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 微专题 《九章算术》与中考真题的关联 近年各地中考数学常以《九章算术》为文化背景命题，多以 “数学文化” 或 “阅读理解” 题形式呈现：题干引用一段古算原文，并配注释或译文，要求考生读懂情境、抽象出数量关系并建模求解，既考查知识，也考查阅读与转化能力。 涉及知识点相对集中： 一是勾股定理：如： “折竹抵地”、“圆材埋壁”、“引葭（读作 jiā）赴岸”、“荡杯”、“秋千” 等题，借直角三角形三边关系列方程； 二是方程与方程组：如 “盈不足的盈亏问题”、“共买物合伙经商” 等题，可列一元一次或二元一次方程组。三是比例与分配：出自 “粟米”、“衰分”、“均输” 诸章； 四是面积、体积与正负数：出自 “方田”、“商功” 章，如：圆田、方仓、堑堵等的计算。 命题意图在于融入中华优秀传统文化，考查数学建模与应用意识；难度多为中等，落脚点仍是常规解法，古文只是 “外壳”，数据常被简化或改用现代单位。 备考上宜熟悉常见古题模型与术语（”步”、“匹”、“钱”、“盈”、“不足”），练习把文言条件逐句翻译为代数式，注意单位统一与隐含的差量关系；整体把握 “读 — 译 — 设 — 解 — 答” 五步即可，不必钻研偏怪原文。 《九章算术》是中国古代最重要的一部数学经典，成书于东汉初年（约公元 1 世纪），为《算经十书》之一，历代均视之为数学教科书。全书以问题集形式编纂，共收 246 道题，按应用领域分为九章：方田（面积与分数）、粟米（比例交换）、衰分（按比例分配）、少广（开方）、商功（体积与土方工程）、均输（赋税运输）、盈不足（盈亏问题）、方程（线性方程组）、勾股（勾股定理及应用）。 其突出特点是 “以算为主、寓理于算”：每题给出答案与算法，算法化、程序化，紧扣实际生产、赋税与工程需求。书中最早系统论述了分数四则运算与比例算法，提出 “盈不足术” 这一通用解法，明确正负数加减法则，并给出线性方程组的消元解法（相当于高斯消元法）；同时载有勾股定理及多组整数勾股数，取圆周率近似为 “周三径一” 等； 《九章算术》奠定了中国传统数学以算法为中心的体系框架，后经魏晋刘徽作注、唐代李淳风等整理，成为隋唐以来国家数学教育的标准教材，并东传朝鲜、日本，在世界数学史上占有重要地位。 题型1、盈不足型问题 例1、（2025·四川省德阳市·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 古代问题(一元一次方程的应用) 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、（2025·江苏省淮安市·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 题型2、方程章与列方程组问题 例3、（2026·江苏省苏州市·中考真题）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡；雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤；问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5只雀，6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重；聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同；已知5只雀和6只燕总重1斤（注：中国古代1斤两）；则1只雀和1只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y两，根据题意，可列出的方程组为（      ） A． B． C． D． 例4、（2026·江苏省扬州市·中考真题）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组 题型3、分数与比例和行程问题 例5、（2025·四川省资阳市·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（    ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 例6、（2025·江苏省连云港市·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 题型4、勾股定理及其应用问题 例7、（2025·江苏省镇江市·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 例8、（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 题型5、面积与体积·问题 例9、（2024·山东省东营市·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为_________． 例10、（2025·河南省·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 题型6、概念溯源型问题 例11、（2026·江苏省宿迁市·中考真题）《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（      ） A． B．0 C． D．2 例12、（2026·海南省·中考真题）负数的概念最早出现在中国古代数学专著《九章算术》中．若向东走2米记为米，则向西走3米应记为（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型7、阅读探究型问题 例13、（2023·江苏省南通市·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 例14、（2026·安徽省·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： （1），对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； （2）勾股数对应的_____，_____； （3）序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 （4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 复习建议可分四步推进： 一是建档归类：把近三年本地及省内真题中以《九章算术》为背景的题目集中整理，按知识点归档：勾股定理类（折竹抵地、圆材埋壁、引葭赴岸）、方程与方程组类（盈不足、共买物）、比例分配类（粟米、衰分）、面积体积类（方田、商功），明确每类题的设问方式与解法套路； 二是熟记模型：古题结构固定，如 “盈不足” 即两次分配一盈一亏，可用（盈＋亏）÷ 两次分配之差求人数；”折竹” 则用勾股定理列方程。记模型比背原文有用得多； 三是专练翻译：信息提取是关键，训练逐句圈出数据与关系，把 “步”“钱”“匹” 等术语换成代数符号，留意单位统一与隐含条件，不漏读 “不足”“余”“少” 等字眼； 四是规范作答：按 “读 — 译 — 设 — 解 — 答” 五步书写，设未知数、列方程、求解检验，答案带单位与结论句，防止过程分丢失； 五是限时演练与错题回看：周做两至三道同类题，限时五分钟；错题记明错因（读不懂、未知数设错、计算失误），一周后重做一遍。 不必钻研冷僻原文，重心应放在建模能力与阅读转子上，古文只是包装，方程才是核心。 1．（2026·重庆市·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 2．（2025·四川省广安市·中考真题）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川省巴中市·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·海南省·水平考真题）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（     ） A． B． C． D． 5．（2024·青海省西宁市·水平考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（    ） A．元 B．60元 C．元 D．40元 6．（2026·甘肃省兰州市·中考真题）《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏省无锡市·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（      ） A． B． C． D． 8．（2026·四川省甘孜州·中考真题）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（      ） A． B． C． D． 9．（2026·天津市·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出钱，少钱；每人出钱，少钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃省兰州市·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $