精品解析：天津市南开日新学校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

2026—2027南开日新高三第一次月考 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的交补运算求集合. 【详解】由题设，， 所以. 故选：C 2. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的分类，以及充分条件与必要条件的概念，即可求出结果. 【详解】因为， 若复数为纯虚数，则，，所以；即“复数为纯虚数”是“”的充分条件； 若，则，但复数不是纯虚数；即“复数为纯虚数”不是“”的必要条件； 综上，“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查判断命题的充分不必要条件，涉及复数的分类，属于基础题型. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，当时，有，利用排除法分析可得答案. 【详解】解：根据题意，对于函数， 有函数， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B ； 当时，，则恒有，排除D； 故选：C. 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 5. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较的大小，再根据单调性，即可得答案； 【详解】偶函数在上单调递增， 函数在上单调递减， ， 又，， ， ， 故选：D. 【点睛】根据偶函数的性质，结合函数的单调性是求解的关键. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换化将目标式化为，再由基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题意得， 由基本不等式得， 当且仅当，即，联立可得时取等号， 故的最小值为5． 故选：D 8. 已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案. 【详解】满足，， ，即， ， 在上单调， ，即， 当时最大，最大值为， 故选：B. 9. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造奇函数，判断其奇偶性与单调性，将原不等式转化为函数值大小关系问题，利用单调性去掉函数符号后转化为二次不等式求解. 【详解】令. ∵ ∴ ∴ ，故 ， 即为定义在上的奇函数. 又∵ 函数的导数，函数在上单调递增， ∴ 在上单调递增，故也在上单调递增. 原不等式可变形为： ，即 ∵ 单调递增，∴ ，整理得 解得，即原不等式解集为. 【点睛】本题考查利用函数性质解不等式，核心技巧是通过构造奇函数简化不等式结构，利用单调性去掉函数符号转化为常规代数不等式求解，解题时需注意函数定义域的隐含约束. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若，则________． 【答案】6 【解析】 【详解】由题意得， 所以. 11. 计算：________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 12. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，即当时，，则满足 解不等式组可得x的取值范围． 【详解】，不等式恒成立 即，不等式恒成立 设，即当时， 所以 ，即，解得或 故答案为： 13. 已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得出，不妨设，则，，利用余弦定理可求出角，结合三角形的面积公式可求出的值，进而可得出三边边长，再利用余弦定理可求出边上的中线长度. 【详解】因为在中，，由正弦定理可得， 不妨设，则，， 由余弦定理可得， 因为，则， 故，解得. 所以，，， 取线段的中点，连接， 由余弦定理可得. 因此，边上的中线长度为. 14. 已知平面向量，，满足：，，，，则_________；的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①求解向量模长先通过平方展开，将模长运算转化为向量点积与已知模长的计算；②含未知向量的二次方程可通过配方转化为圆的向量轨迹，把模长范围问题转化为定点到圆上点的距离最值问题. 【详解】①， 由，得； ②由，得，对等式进行配方，得， 即 的终点落在以 的终点为圆心、半径 的圆上， 的几何意义表示的终点到的终点的距离， ， 定圆上的点到定点的距离，介于“圆心距减半径”与“圆心距加半径”之间，所以， 即 的取值范围是 . 15. 已知定义域为的奇函数，当时，，则下列四个命题中正确的是__________ ①时，恒有； ②若当时，的最小值为，则的取值范围为； ③不存在实数，使函数有5个不相等的零点； ④若关于的方程所有实数根之和为0，则. 【答案】②③ 【解析】 【分析】先利用奇函数性质补全区间的解析式，明确各段函数的单调性、最值特征后逐命题分析： 1. 命题①：区间跨原点，正负区间单调性相反，取特殊值代入验证即可判断命题错误. 2. 命题②：先求时两段函数取最小值对应的左右边界横坐标，即可确定的取值范围，判断命题正确. 3. 命题③：将零点问题转化为方程的根的问题，结合在正负区间的值域特征，可知最多有3个零点，判断命题正确. 4. 命题④：拆分方程为和，结合奇函数根的对称性质，只有时所有根之和为0，判断命题正确. 【详解】∵ 是定义域为的奇函数，∴ ，当时，. 当时，，开口向上，对称轴为， 故在单调递减，在单调递增，，. 当时，，在单调递减，，令，解得. 当时，， 故，开口向下，对称轴为， 故在单调递增，在单调递减，，. 当时，，故，在单调递减，，令，解得. 画出的图像如下图所示： 逐一分析命题： ①取，，满足， 此时，，，故①错误. ② ∵ 时最小值为在处取得，时， 故需满足，即，故②正确. ③的零点即方程的根，显然是一个根. 当时，若，则，而，无交点； 若，当时，（对勾函数在时取值大于2）， 当时，，故时最多1个交点. 由奇函数对称性，时最多1个交点，故最多3个零点，不存在5个不相等零点，故③正确. ④ 方程的根为和的根. 的根为和，和为. 要所有根之和为0，需的根之和为. 当时，的根为和，和为，满足所有根之和为0. 当时，有一根，要想满足题意，则该根为，此时，满足要求. 若，在有两个根，由韦达定理和为，在有1个根，设为，三个根之和为（），和小于，不可能等于； 结合图象可知当或，均无法满足的根的和为，故或，④错误. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值. 【答案】（1）的最小正周期为； （2）最大值为，最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的余弦公式结合二倍角公式，辅助角公式化简，然后由最小正周期的公式求解即可； （2）由求出，然后利用正弦函数的性质求解的最值即可； （3）由，得，求出，将转化为，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当时，； 当时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以 . 18. 如图，圆的半径为3，圆心为，其中，为圆上的两点. （1）若，当为何值时，与垂直； （2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，，，求的最小值； （3）若的最小值为1，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出线段长度，再利用向量垂直的性质求出的值， （2）根据三角形重心性质和三点共线得到与的关系，求出的取值范围，最后利用基本不等式求出的最小值. （3）设，先求出.再将转化为含的函数，利用二次函数的性质，求得取最小值时的值，继而可求得的值. 【小问1详解】 因为，， 所以， 若与垂直，则， 所以，即，解得，故当时，与垂直． 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于三点共线，所以，整理得，所以， 因，由得，由，可得， 则 因，设，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增，且， 则，故， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，即的最小值为． 【小问3详解】 设，与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 19. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求； （2）求的最小值； （3）若，证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）证明:要证明， 即证明， 因为，且，所以， 故只需证明，即，即， 令，其中，则，即函数在上为增函数， 当时，；当时，，故，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 故，故所证不等式成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的极值点，可得出关于实数的等式，解之即可； （2）分析函数的单调性，可求出函数的最小值； （3）将不等式进行转化，在已知条件下，所以不等式转化为，令，将所证不等式变形为，令，利用导数证明出即可. 【小问1详解】 因为，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数在处取得极小值，故，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的最小值为. 【小问3详解】 略. 20. 已知函数，． （1）若函数与在处的切线平行，，求的极值； （2）当时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有2个零点； 当时，在上有3个零点； （3）5 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求解可得a的值，再根据极值与函数导数的关系，即可求解极值； （2）利用函数的导数判断函数的单调性，确定极值点，继而分类讨论a的取值范围，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数； （3）利用，可令，得，进而可推出，结合不等式恒成立，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，故，则， 由，得，则， 由函数与在处的切线平行，得， 此时，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值； 【小问2详解】 由（1）知， 因为，故时，，时，， 则在上均单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，知在上有一个零点； 当时，在上无零点， 故在上仅有一个零点； 当时，在上有一个零点， ，故在上有一个零点， 此时在上有3个零点； 当时，在上有一个零点， 此时在上有2个零点； 综上，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有2个零点； 当时，在上有3个零点； 【小问3详解】 由（1）知，对于任意，得，当且仅当时取等号， 令，则， 时，. 当时， 则， 故， 故， 又， 结合，且为正整数， 可得正整数m的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027南开日新高三第一次月考 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，， 则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 8. 已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 若，则________． 11. 计算：________. 12. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 13. 已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为______． 14. 已知平面向量，，满足：，，，，则_________；的取值范围是__________. 15. 已知定义域为的奇函数，当时，，则下列四个命题中正确的是__________ ①时，恒有； ②若当时，的最小值为，则的取值范围为； ③不存在实数，使函数有5个不相等的零点； ④若关于的方程所有实数根之和为0，则. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值. 18. 如图，圆的半径为3，圆心为，其中，为圆上的两点. （1）若，当为何值时，与垂直； （2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，，，求的最小值； （3）若的最小值为1，求的值. 19. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求； （2）求的最小值； （3）若，证明：当时，． 20. 已知函数，． （1）若函数与在处的切线平行，，求的极值； （2）当时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $