精品解析：天津市海河中学2026-2027学年高三上学期10月质量调查数学试卷

2026—2027学年度第一学期高三年级数学10月质量调查 一、单选题（每小题5分，共9小题，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求奇偶性，排除BD，再由特殊区间的正负，排除A. 【详解】定义域为R， 且， 所以为偶函数，排除BD； 当时，，故排除A 故选：C 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，正弦函数的性质判断，，的范围，比较，，的大小即可. 【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得， 由正弦函数性质得，则，故B正确. 故选：B. 5. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或，解得或． 故应选：D． 6. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质可求解A，举反例即可求解BCD. 【详解】对于A, 若,则，又，则，A正确， 对于B,取，满足，但不满足，B错误， 对于C,取，满足，但不满足，C错误， 对于D,取，满足，，但不满足，D错误. 7. 若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以 ①， 又因为切点在直线上，所以，即 ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 8. 已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ） A. 9 B. 21 C. 45 D. 93 【答案】C 【解析】 【分析】先利用与的关系，得到，即可证明是公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为，所以当时，， 则，化简得到， 所以是公比的等比数列， 当时，，即，得到， 所以. 9. 若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（ ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦函数的性质结合题设条件列出关于的方程组，求解并利用单调性确定的值，再根据各选项要求，利用函数奇偶性定义，函数与方程思想等判断即得. 【详解】由题意，可得且， 即，则有， 解得， 因函数在区间上单调递增，则该函数的最小正周期满足， 即，故由（*）可得，则， 又由可得，则得， 即，因，则，故①错误； 由上分析，得，则，故②错误； 于是，因为，故为偶函数，故③正确； 当时，，要使函数在区间内有个零点，需使， 此时若，则函数有3个极大值，若，则函数有2个极大值，故④错误. 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 10. 是虚数单位，复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 11. ___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解. 【详解】 . 12. 已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】（－4，4] 【解析】 【分析】由题意可得≤2，且在[2，＋∞）上的最小值大于零，从而可得解不等式组可得答案 【详解】二次函数的对称轴为x＝， 由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0， 即解得－4<a≤4． 故答案为：（－4，4] 13. 的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解，进而由对勾函数的单调性求解最值. 【详解】令，当且仅当时取到等号， 故在单调递增，故当时，取到最小值，则最小值为. 14. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 【答案】 ①. 16 ②. ##0.25 【解析】 【分析】根据平面向量共线的性质以及基本不等式即可求得的最小值；结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】根据题意由为线段上的动点，可知，，三点共线， 又，可得， 因此，且，， 所以 ； 当且仅当时，等号成立，即的最小值为16； 取内切圆的圆心为，连接，如图所示： 易知弦的长度最大时，为直径，此时； 又 ； 显然当最大时，即在点处时，此时，取得最大值， 即. 15. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】先确定函数​的定义域，注意为间断点；再求导，根据导数正负判断不同区间的单调性，得到极小值点和极小值，分析在、的取值范围，为后续判断做基础. 对于②，利用在的单调性，结合和的等量关系，比较与的大小. 对于③，将有3个零点转化为有个不同实根，结合的图像，根据的取值范围求解的范围. 对于④，先对二次方程因式分解，得到或，结合的图像，判断两个方程的实根个数之和为时的取值范围. 对于⑤，将不等式在时变形为，构造新函数，通过研究单调性判断不等式是否恒成立. 【详解】先确定函数​的定义域为，求导得， 令，解得. 对于①，当时，单调递减；当时，单调递减； 当时，，单调递增. 且包含和两个不连续的单调递减区间，表述错误，故①错误. 对于②，，因为在单调递增，且， 因此，即，故②正确. 对于③，有个不同的零点,等价于方程有个不同实根. 在处取得极小值，在上， 因此在上的取值范围为，在上的最小值为. 要使方程有个不同实根，需，解得.故③错误. 对于④，对因式分解得， 即或. 结合图像可知有个不同实根，要使原方程共有个不同的实数根， 需也有个不同实根，因此且. 故④正确. 对于⑤，当时，，不等式等价于. 令，求导得. 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因此恒成立，在上单调递增， ，即恒成立.故⑤正确. 三、解答题（每题15分，共5小题，共75分） 16. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理求得的关系，然后结合已知条件求得的关系，最后根据余弦定理求解出的值； （2）先求解出，然后根据正弦定理求解出； （3）先根据二倍角公式求解出的值，然后根据两角和的正弦公式求解出结果. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， . 由余弦定理可得. 【小问2详解】 ， 由正弦定理，得， . 【小问3详解】 ， . 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间； （3）函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，再利用正弦型函数周期公式即得； （2）利用正弦函数的性质即可求出增区间； （3）利用正弦函数的性质，可得，即得． 【小问1详解】 ∵， ∴的最小正周期为； 【小问2详解】 ∵， 由，得， 所以的单调增区间是； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， 故实数m的取值范围为. 18. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与平行，求实数的值； （3）求与上的投影向量. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，结合模的计算公式，即可求解； （2）先求得，且，结合与平行，列出方程，即可求解； （3）根据题意，结合向量的投影向量的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，可得且， 又因为与的夹角为，可得， 解得或， 因为，所以，所以， 则，所以. 【小问2详解】 解：因为， 所以，， 又因为与平行，所以，解得. 【小问3详解】 解：因为，可得， 可得，且， 所以在上的投影向量为. 19. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）讨论函数在上的单调性. （3）设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：点，， ，切线斜率. 切线点斜式：. ，得 . 要证点在轴下方,即证. 构造函数 ， 则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ， 综上，时，恒有，即点纵坐标小于 0， 故点在轴下方，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，由极小值点处导数为0求出参数，再检验； （2）求导后对参数分类讨论，判断导数正负，得到函数单调性； （3）求出切线方程，得到点纵坐标，构造函数证明纵坐标恒小于 0. 【小问1详解】 ，定义域为，求导得. 因为在处取得极小值，则，，解得. 检验：当时，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故是极小值点，符合题意. 【小问2详解】 . 当时，，故恒成立， 所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 所以时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 【点睛】方法归纳：（1）可导函数极值点处导数等于0，但要检验左右导数符号； （2）含参导数问题，按参数范围分类讨论导函数符号； （3）切线交坐标轴问题，代入坐标轴条件求出交点坐标，转化为不等式证明，常用构造函数求最值. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对时，，求正实数的最大值； （3）若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 方程实数根有且只有一个，理由如下： ， 所以，令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，使得，即， 两边同时取对数得，， 而在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以，在上单调递减，所以 因为，且， 所以方程的实数根等价于的实数根， 设，其中，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 两边取对数得，，即， 又，且， 所以， 设，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即函数只有唯一零点， 故方程的实数根有且只有一个，即方程实数根有且只有一个. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求解即可；（2）两次求导后，分和两种情况，结合隐零点问题，分析的单调性，确定使得对恒成立时正实数的值即可； （3）先结合隐零点问题的处理方法，求得的取值范围，再将原问题转化为求方程的实数根的个数，然后构造函数，并再次运用隐零点证明有唯一零点，进而得解. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 则曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 由题意知，，令， 所以， 因为，所以，而为正实数， 所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增，且， ①当时，在区间上恒成立， 所以函数在上单调递减，此时，符合题意； ②当时，，， 由零点存在定理知，，使得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，有，不符合题意， 综上，正实数的最大值为 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第二问的关键是两次求导得当的单调性，结合隐零点以及零点存在定理分类讨论得到的单调性， 第三问的关键是将方程的实数根等价于的实数根，构造函数，结合导数研究根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高三年级数学10月质量调查 一、单选题（每小题5分，共9小题，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. e 8. 已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ） A. 9 B. 21 C. 45 D. 93 9. 若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（ ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 10. 是虚数单位，复数________． 11. ___________. 12. 已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________． 13. 的最小值为______________． 14. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 15. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 三、解答题（每题15分，共5小题，共75分） 16. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调增区间； （3）函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围； 18. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与平行，求实数的值； （3）求与上的投影向量. 19. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求的值； （2）讨论函数在上的单调性. （3）设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对时，，求正实数的最大值； （3）若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $