精品解析：广东省深圳市西乡中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

西乡中学2026—2027学年第一学期高二年级期中考试 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 3. 直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆两个焦点为，点P在椭圆C上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7. 已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 10. 已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（ ） A. B. 的方程为 C. 若圆心在上，则圆与相切 D. 若圆与相切，则圆心在上 11. 如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 椭圆C的离心率为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 13. 已知直线的斜率为1，且与双曲线相切于第一象限于点，则点的坐标为______. 14. 已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为______（请用表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： （1）与直线平行； （2）在两坐标轴上截距相等． 16. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求的外接圆的方程； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 17. 已知双曲线：. （1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值； （2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程. 18. 已知椭圆：（）经过，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西乡中学2026—2027学年第一学期高二年级期中考试 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线：化为斜截式得：， 所以斜率， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 因为， 所以， 所以直线的倾斜角为. 2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 【答案】C 【解析】 【详解】因为圆的方程可化为， 所以圆心坐标为，半径． 3. 直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线与的距离. 4. 已知椭圆两个焦点为，点P在椭圆C上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆的标准方程，可得，又，故. 根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值， 即对椭圆上的点，有. 因为，所以. 5. 已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8， 可得，，，则渐近线方程为，故B正确. 6. 若，则点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】将方程去根号、去绝对值，化简到最简形式，由方程形式，判断曲线类型即可． 【详解】由，即：＝|x﹣y+3|， 两边平方得：，化简得：y＝，方程表示双曲线. 故选C． 【点睛】本题考查双曲线的方程，把方程移项、平方、合并同类项，将方程化为函数形式，分析图象特征,属于中档题． 7. 已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果. 【详解】如下图所示： 设，则，因为，则， 由椭圆的定义可得，则， 所以，，则， 由勾股定理可得，则，则， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：B. 8. 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 【答案】ACD 【解析】 【详解】直线化为，斜率为2，A正确； 令，，直线在轴上的截距为4，B错误； 直线的斜率为2，且，所以向量是直线l的一个方向向量，C正确； 令，，则直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形的面积为，D正确. 10. 已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（ ） A. B. 的方程为 C. 若圆心在上，则圆与相切 D. 若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【解析】 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 11. 如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 椭圆C的离心率为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由正弦定理和角平分线得到；选项B，利用，可得，再由三角形的面积公式，求解即可；选项C，根据A选项与椭圆的定义可得，，再在中，利用余弦定理，结合离心率的计算公式，求解即可；选项D，由，，推出N是的中点，从而知，得解． 【详解】选项A，在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由于PM平分，故， 又，故， 所以，即选项A正确； 选项B，设椭圆的焦距，，故，， 由题意知，，， 所以， 所以， 所以，， 所以，即选项B正确； 选项C，由选项A知，， 由椭圆的定义知，， 所以，， 在中，由余弦定理知，， 所以， 整理得， 两边同时除以，得，解得离心率或，即选项C错误； 选项D，由选项A和B知，，， 所以， 又，所以直线l垂直平分，即N是的中点， 因为O是的中点，所以，即D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先把两圆一般方程配方求出圆心、半径，计算圆心距，对比圆心距与两半径和、差的大小，判断两圆位置为相交，再利用位置关系对应公切线数量的结论，得到公切线有条. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 圆心距， ，， 因为，所以圆和圆相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 13. 已知直线的斜率为1，且与双曲线相切于第一象限于点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线，代入双曲线方程，利用相切得到，求出的值，然后再得到在第一象限内切点的坐标，得到答案. 【详解】因为直线的斜率为1， 所以设 代入双曲线得 因为直线与双曲线相切，所以， 即 解得 当时，，解得， 当时，，解得 因为切点在第一象限， 所以点. 故答案为. 【点睛】本题考查根据直线与双曲线相切，求参数的值和切点坐标，属于中档题. 14. 已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为______（请用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由抛物线焦半径公式得，再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得， 所以该圆的圆心为，所以，， 所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为， 联立抛物线方程消去可得，所以， 又，两式相乘可得， 所以， 因，当且仅当时等号成立． 即时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： （1）与直线平行； （2）在两坐标轴上截距相等． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先联立两条已知直线的方程求解交点，再结合平行直线的方程特征推导所求直线方程. （2）先联立两条已知直线的方程求解交点，再结合截距相等的两类情况求直线方程. 【小问1详解】 联立方程组： ， 给第一个方程两边同乘得， 第二个方程两边同乘4得， 两式相加得，解得； 将代入，得，解得，即， 设与直线平行的直线方程为（）， 将代入方程得： 解得， 故所求直线方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，下面分两类情况讨论： ① 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线过原点，设方程为， 将代入得，即，此时直线方程为； ② 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线方程为（）， 整理得，将代入得，解得， 此时直线方程为， 综上，满足条件的直线方程为和. 16. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求的外接圆的方程； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程，利用待定系数法求解； （2）由对称性确定点关于轴的对称点，进而设反射光线所在的直线方程为，由位置关系列出等式求解即可； 【小问1详解】 设圆M的方程为，将，，三点代入得： ，所以圆的方程为， 标准方程为. 【小问2详解】 由光的反射性质知，经轴反射后的光线所在直线过点， 点关于轴的对称点， 由（1）知圆的标准方程为：. 当斜率不存在时，直线方程为与圆不相切， 设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，解得， 所以反射光线所在的直线方程为或． 17. 已知双曲线：. （1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值； （2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程. 【答案】(1) m=±2 (2) 4x﹣y﹣2=0 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），根据弦长公式即可求出， （Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，两式相减，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，化简整理可得MN的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程 试题解析： 解：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2） 由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0， ∴x1+x2=4m，x1•x2=2（m2﹣1）， ∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1）， ∴|AB|=•=4，解得m=±2， （Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1， 两式相减，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=（x3﹣x4）（x3+x4）， 由点P（1，2）为MN的中点， 可得x3+x4=2，y3+y4=4， ∴4（y3﹣y4）=×2（x3﹣x4），∴kMN==4 经检验 即直线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0 18. 已知椭圆：（）经过，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. 【小问2详解】 （i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $