精品解析：广东省深圳市宝安中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试卷

宝安中学2023-2024学年第一学期期中测试卷 高二数学 本测试卷时间120分钟，满分150分. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 向量，，在直线l方向向量上投影向量相等，则直线l的斜率为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 4. 设，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ） A. 圆 B. 射线 C. 长轴为4的椭圆 D. 长轴为2的椭圆 6. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，设函数的零点为，的零点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 已知点在圆上，点,，则（ ） A. B. 点到直线的距离大于2 C. 点到直线的距离小于10 D. 当时，最大 11. 设点，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个命题： ①点的轨迹方程为；②； ③存在4个点，使得的面积为；④. 则正确命题的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 12. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ） A. 若，则平面ACD B. 当最小时， C. 若，则 D. 当最大时， 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是_____________. 14. 在平行六面体中，，，，，则___________． 15. 已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为_______________．（写出其中之一即可） 16. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是__________；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求的值； （2）若，且的面积为，求的周长． 18. 已知直线：和圆C：. （1）直线恒过一定点M，求出点M坐标； （2）当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长. 19. 如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，. （1）已知点G为上一点，，求证：与平面不平行； （2）已知点F到平面距离为，求平面与平面的夹角的余弦值. 20. （1）证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直． 已知：如图，，，，．求证：； （2）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 如图，四边形平行四边形.求证：. 21. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程． （2）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 22. 马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上. （1）当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直； （2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置. 第1页