精品解析：北京市陈经纶中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试卷

2026-2027年度第一学期陈经纶中学 八年级数学学科期中练习 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，27道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分6分，计入总分，但卷面总分不超过100分． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡、草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图，，分别为 的中线和高，，，，则面积为( ) A. B. C. D. 7. 如图，点在射线上，在射线上截取，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点．连接，，则的大小为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（ ） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 10. 如图，是中点，，则判断的根据是____. 11. 在中，，，则这个三角形是_______三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）． 12. 如图，，，，则图中阴影部分的面积为___________． 13. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 14. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______，它是______命题（填真或假） 15. 如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为_______厘米． 16. 如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论： ①与的面积相等；②；③； ④；⑤． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（本题共52分，第17—24题，每题5分；第25—26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 18. 如图，，，．求证：． 19. 已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 20. 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，先在平地上取一个点，从点不经过池塘直接到达点和；再连接，并分别延长到点，，使，；连接．求证． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称． （1）点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的， （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点，使得与全等，请写出所有点的坐标（点与点不重合）． 22. 如图，与相交于点，，，． 求证：垂直平分． 23. 如图，在中，，点D，E分别在，上，F是的中点．连接和，若，，求的长． 24. 小明同学通过学习，知道一般情况下，要证明一个几何命题，需要明确命题中的已知和求证，根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，再写出证明过程．小明准备用上述步骤，证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．他已经画出如图的图形，请你帮他用符号表示已知，求证，并写出证明过程． 已知： 求证： 证明： 25. 实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： （1）如图（1），在中，如果，那么将折叠，使边落在上，点C落在上的点，折线交于点D，则可以得出． 请根据这个思路，结合图（1），写出证明过程． （2）在探究中同学们画图发现：当时，分别是的中线、角平分线和高线，则点D在直线上的位置始终处于点M和点H之间． 你认为这个结论是否一定成立？如果成立，请结合图（2）进行证明：如果不成立，请举出反例． 26. 如图，是等边三角形，，两点是边和上的动点（点不与点重合），满足，与交于点． （1）求的度数； （2）作点关于直线的对称点，连接、，点为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②用等式表示，和之间的数量关系，并证明． 四、选做题（共6分） 27. 在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的，双反图形． 例如：点的轴，轴双反图形是点． 解决下面问题： 已知，，，直线经过点． （1）当，且直线与轴平行时，点的轴，双反图形点，则点的坐标为__________； （2）当直线经过原点时，若的轴，双反图形上只存在两个与轴的距离为1的点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度第一学期陈经纶中学 八年级数学学科期中练习 考生须知 1．本试卷共8页，共四道大题，27道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分6分，计入总分，但卷面总分不超过100分． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡、草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，逐一比对四个运动图标，只有B图标存在这样的对称轴，其余图标均无法找到符合要求的对称轴，因此选出对应的正确选项． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 选项能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形． 选项头部不能左右重合，不是轴对称图形； 选项、均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形． 故选：． 2. 如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】比较每组中较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，能组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，不能组成三角形． 4. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，作边上的高需过点且垂直于． 【详解】：三角板直角边垂直于，作出的是边上的高，故本选项错误； ：三角板直角边未经过点，无法作出边上的高，故本选项错误； ：三角板一条直角边与重合，另一条直角边经过点，符合定义，故本选项正确； ：三角板直角边经过点，作出的是过点垂直于的直线，故本选项错误． 故选：． 5. 如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 6. 如图，，分别为 的中线和高，，，，则面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的性质，根据三角形的面积公式求得即可求解． 【详解】解：，是高线，根据“三线合一”的性质，， 是中线， 是中点， ， ∴ 故选：D． 7. 如图，点在射线上，在射线上截取，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点．连接，，则的大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程可知是等边三角形，从而得到，，由点在射线上，在射线上截取可知、、三点共线，结合可得，利用等腰三角形性质及邻补角定义即可求解． 【详解】解：如图： 由作图可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点在射线上，在射线上截取， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8. 如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（ ） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 10. 如图，是中点，，则判断的根据是____. 【答案】SSS. 【解析】 【分析】由已知条件AD=CE，CD=BE，和AC=CB，根据三角形全等的判定定理SSS可证得△ACD≌△CBE． 【详解】∵点C是AB的中点， ∴AC=CB． 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SSS）． 故答案为SSS 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11. 在中，，，则这个三角形是_______三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理应用，三角形形状的判断．根据已知条件，利用三角形内角和定理，先求出的度数，再求出的度数，根据角度判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 12. 如图，，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，   故答案为：2． 13. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分腰长为和腰长为两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解： 分两种情况讨论： 情况1：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 情况2：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 因此这个等腰三角形的周长为或． 14. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______，它是______命题（填真或假） 【答案】 ①. 对应角相等的两个三角形是全等三角形 ②. 假 【解析】 【分析】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．先确定原命题的题设和结论，互换得到逆命题，再根据三角形全等的判定判断其真假． 【详解】解：原命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形全等”，结论是“对应角相等”；逆命题是将题设和结论互换，即“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，这是一个假命题，例如两个边长不同的等边三角形，满足三个角都对应相等，但是这两个等边三角形不全等． 故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形；假． 15. 如图①所示的是校门口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②所示，双翼边缘的端点与之间的距离为厘米，双翼的边缘厘米，且与闸机箱侧立面的夹角，则当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为_______厘米． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过A作于E，过B作.于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为10厘米，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过A作于E，过B作于F， ∵， ∴， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∵在中，厘米， ∴厘米， ∴厘米， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为60厘米． 故答案为：60． 16. 如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论： ①与的面积相等；②；③； ④；⑤． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】根据高相等但底不一定相等得到与的面积不一定相等，故①错误；根据三角形内角和以及等边对等角得到，故②正确；由等面积法可得③错误；设，则，证明，得到，则，求出，代入计算得到④说法正确；在上截取，连接，证明，得到，则，根据三线合一得到，最后根据证明，得到⑤说法正确． 【详解】解：∵与过点的高相同， ∴要使与的面积相等，必须有，即是的中线， ∵是的角平分线， ∴不一定是的中线， ∴与的面积不一定相等，故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故②正确； 设中上的高为，而， ∴， ∴， 而不一定是上的高， ∴错误，故③错误； 设，则， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④说法正确； 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故⑤说法正确； 综上：正确的是②④⑤． 三、解答题（本题共52分，第17—24题，每题5分；第25—26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，可得，即可求证． 【详解】略 19. 已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线1，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【答案】 （1）如图所示： （2）证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等　）（填推理的依据）． ∴∠A＝∠　DBA 　． ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A ∵BC＝BD ∴∠ACB＝∠BDC （ 　等腰三角形两底角相等 　）（填推理的依据）． ∴∠ACB＝2∠A． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应图形即可； （2）根据证明过程补全相应知识点即可． 【详解】略 【点睛】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，圆的任意半径相等，灵活运用性质定理是解题关键． 20. 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，先在平地上取一个点，从点不经过池塘直接到达点和；再连接，并分别延长到点，，使，；连接．求证． 【答案】 证明：由题意知，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】直接利用证明即可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称． （1）点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的， （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点，使得与全等，请写出所有点的坐标（点与点不重合）． 【答案】（1） （2） （3），，． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标关于轴对称变横坐标，即可求出点坐标． （2）根据点的坐标关于轴对称变纵坐标，求出的坐标，然后描点连线即可画出． （3）根据三角形全等，对应的点和对应的线段不一样，分情况讨论即可求出所有点坐标． 【小问1详解】 解：点与点关于轴对称，点的坐标为， ． 【小问2详解】 解：，，， ，，， 描点，连线，如图所示， 【小问3详解】 解：， ①时，， 两个点不重合， 在下方，且和关于对称， 如图所示，． ②时，，且点在下方时， 如图所示，． ③时，，且点在上方时， 如图所示，． 22. 如图，与相交于点，，，． 求证：垂直平分． 【答案】证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】先证明，则有，又，然后通过垂直平分线的判定方法即可求证． 【详解】略． 23. 如图，在中，，点D，E分别在，上，F是的中点．连接和，若，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、余角和补角、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，在中，由“等腰三角形三线合一”可得，由“等边对等角”可得，由“等角的余角相等”可得，由此可得，即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵，F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 小明同学通过学习，知道一般情况下，要证明一个几何命题，需要明确命题中的已知和求证，根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，再写出证明过程．小明准备用上述步骤，证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．他已经画出如图的图形，请你帮他用符号表示已知，求证，并写出证明过程． 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：如图，在和中，，，和分别是和的高，且， 求证： 证明：∵和分别是和的高， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】先证明，得出，再利用“”即可证明． 【详解】略． 25. 实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： （1）如图（1），在中，如果，那么将折叠，使边落在上，点C落在上的点，折线交于点D，则可以得出． 请根据这个思路，结合图（1），写出证明过程． （2）在探究中同学们画图发现：当时，分别是的中线、角平分线和高线，则点D在直线上的位置始终处于点M和点H之间． 你认为这个结论是否一定成立？如果成立，请结合图（2）进行证明：如果不成立，请举出反例． 【答案】（1） 证明：如图1，由折叠可知，是的角平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 解：一定成立，证明如下； 由题意知，要证明点D的位置处于点M和点H之间，只要证明． ∵分别是的中线、角平分线和高线， ∴，， ①证：如图，延长至点E，使，连接． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． ②证： 由题意知，， ∵， ∴， ∴． 综上可得，． ∴点D的位置处于点M和点H之间． 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，是的角平分线，则，证明，则，由，可得，即． （2）由题意知，要证明点D的位置处于点M和点H之间，只要证明即可；①证：延长至点E，使，连接．证明，则，，，即，由，可得．②证：由题意知，，由，可得，即，进而结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线，中线，高线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，中线，高线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 26. 如图，是等边三角形，，两点是边和上的动点（点不与点重合），满足，与交于点． （1）求的度数； （2）作点关于直线的对称点，连接、，点为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②用等式表示，和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）① ②解：，证明如下： 由（1）知， 如图所示，延长到点Q，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴； 由轴对称的性质可得； ∵点N为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，延长到点P，使得，连接，则是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案； （2）①根据题意画出图形即可；②延长到Q，使得，连接，可证明，得到，，则可证明，得到；延长到P，使得，连接，则是等边三角形，证明，得到，则可证明是等边三角形，据此可得结论。 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 四、选做题（共6分） 27. 在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的，双反图形． 例如：点的轴，轴双反图形是点． 解决下面问题： 已知，，，直线经过点． （1）当，且直线与轴平行时，点的轴，双反图形点，则点的坐标为__________； （2）当直线经过原点时，若的轴，双反图形上只存在两个与轴的距离为1的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先确定点的初始坐标与直线的解析式，按双反图形的翻折顺序依次计算对称点坐标； （2）先求出直线的解析式，得到双反图形的顶点坐标，再根据与轴距离为的点的个数要求，讨论的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，点的坐标为， ∵ 直线与轴平行，且过点， ∴ 直线的解析式为． 根据双反图形定义，点先沿轴翻折得到，再沿直线翻折， 对称点的横坐标为，纵坐标不变， ∴ 点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵ 直线经过原点和点， ∴ 直线的解析式为 由先沿轴翻折得到， 则顶点坐标为，， 再沿翻折得到双反图形，顶点坐标为； 由题意得：或， 解得：或． 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $