精品解析：北京交通大学附属中学2026－2027学年第一学期期中练习初二数学

北京交大附中2026—2027学年第一学期期中练习 初二数学 考生须知 1．本题共6页，共三部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面1—10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意； B. ，故B选计算错误，不符合题意； C. ，故C选计算错误，不符合题意； D. ，故D选计算错误，不符合题意． 故选：A． 4. 若点与关于轴对称，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴， ∴． 5. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可． 【详解】解：∵， ∴BC=CE，∠ACB=∠DCE， ∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE， ∵， ∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 6. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质和求出底角为，再由求出，证明，最后利用含角的直角三角形性质得． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∵在中，，， ． 7. 如图，是的角平分线，且，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质及内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，证得，得到，，根据线段的和差可推出，得到，从而，，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在上取点E，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：， 故选：D． 9. 如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 10. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 二．填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 已知，则a的取值范围是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零指数幂的运算，根据可直接得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分这个内角是顶角和底角两种情况，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当这个内角是顶角时，则顶角的度数是， 当这个内角是底角时，则顶角的度数是， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是． 13. 已知ax=3 ，ay=4，a2x+y 的值是________________． 【答案】36 【解析】 【分析】首先根据已知条件可得a2x的值，然后利用同底数幂的乘法运算法则求出代数式的值即可． 【详解】解：∵ax=3，ay=4， ∴a2x=（ax）2=9， ∴a2x+y=a2x•ay=9×4=36． 故答案为36． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，利用性质把a2x+y转化成a2x•ay的形式是解题的关键． 14. 如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，通过角平分线的性质得到，接着证明，在中，利用角求得，最后得到的长． 【详解】解：如图，过作于， 平分，，， ，，， ． ， ， ． ， ， ． 16. 陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 【答案】 ①. 75 ②. 【解析】 【分析】（1）（2）工序同一时间只能进行一项，静置工序，不需要理发师操作，合理安排工序顺序，利用静置等待时间完成其他人工工序，计算不同顺序的总时间，选取最短总时间即可． 【详解】解：（1）仅爸爸和妈妈理发，分两种情况讨论： 情况1：先完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置工序，结束最早为； 在妈妈静置期间，理发师完成爸爸的人工工序，耗时，结束时间为； 理发师等待至，完成妈妈的工序，耗时，总时间为． 情况2：先完成爸爸的工序，耗时，再完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置，结束最早为，再完成妈妈的工序，总时间为． 因为，所以最短时间为． （2）一家三口理发，最优工序安排如下（按理发师操作顺序）： ①：完成陈老师的工序，耗时，结束后陈老师开始第一次静置，第一次结束最早为． ②：完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置，妈妈结束最早为． ③：完成陈老师的工序，耗时，结束后陈老师开始第二次静置，第二次结束最早为． ④：完成爸爸的工序，耗时，爸爸理发完成． 此时，妈妈静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑤：完成妈妈的工序，耗时，妈妈理发完成． 此时，陈老师静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑥：完成陈老师的工序，耗时，陈老师理发完成． 总时间为，该安排为最优安排，故最短时间为． 三．解答题（本题共58分，第17、20题6分，第18、21、22题5分，第19题4分，第23至25题7分，第26题6分） 17. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式进行化简，再由已知条件将整体代入求解得到结果． 【详解】解：原式 ． 代入，原式． 19. 如图，点，在上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴≌ ∴． 【解析】 【分析】利用SAS定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC． 小路的作法如下： ① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q； ② 连结AP． 请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵ PQ是AB的垂直平分线 ∴ AP= ， （依据： ）； ∴ ∠ABC= ， （依据： ）． ∴ ∠APC=2∠ABC． 【答案】 如图， ∵ PQ是AB的垂直平分线 ∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）； ∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）． ∴ ∠APC=2∠ABC． 【解析】 【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可. 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键. 21. 如图所示，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上， （1）作关于x轴的对称图形，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F）；并写出点D坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中面出使的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，其中点D坐标为． （2） 如图所示，点P即为所求，其坐标为． 【解析】 【分析】此题主要作图轴对称变换， 关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质 ． （1） 分别作出点，，关于轴的对称点， 再顺次连接即可得； （2） 由是定值知的周长最小即最小， 据此连接，与轴的交点即为所求 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知：如图，在等边和等边中，点在的延长线上，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明三角形全，即，得到，再根据计算得到的度数． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，，， ，即， 在和中，， ， ． 23. 已知：如图，中，，点为的中点，点在上，点在的延长线上，，交于点． （1）求证： （2）若，，，求的长． 【答案】（1）， ． ，为中点， ， ， ． （2） 【解析】 【小问1详解】 解：证明略． 【小问2详解】 解：设，则，， ， ． ，为中点， ，． ， ，，即， ． ， ， ． 24. 定义：设一个整式，把的一次项系数改为，其余不变，所得整式称为的伴随式，记作，即． （1）已知，计算的结果为________； （2）已知，且展开式的二次项系数为，求的值； （3）已知，的二次项系数恰好等于常数项，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，表示出的伴随式，再代入计算的结果； （2）根据题目定义，表示出的伴随式，再代入计算的结果，根据展开式的二次项系数为，列出关于的方程，最终解得的值； （3）根据题目定义，表示出的伴随式，再代入计算的结果，根据展开式的二次项系数恰好等于常数项，得到，由可知，，最终解得实数的取值范围． 【小问1详解】 解：由定义可得的伴随式， ． 【小问2详解】 解：由定义可得的伴随式， ． 由题意得，的二次项系数为，即， 解得． 【小问3详解】 解：由定义可得的伴随式， ． 的二次项系数恰好等于常数项， ，即． ， ， ，化简得， ，解得， （舍去）或（符合题意）， 综上． 25. 如图，射线射线，点在射线上，点在射线上，．连接，以线段为边在内作等边，点关于的对称点为点，连接，，交射线于点． （1）若， ①依题意补全图形； ②直接写出的度数________； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①补全图形如图所示． ② （2） 理由如下： 由，如图，在上截取， 是等边三角形， ，． 设， ． 由对称性可知，，， ，， ． ， 又， 是等边三角形， ． ，． 在和中， ， ， ， ，． ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①作图略；②由对称性可知，接着证明，最终通过求得的度数； （2）利用已知条件证明是等边三角形，进一步证明得到，则有，在直角中，利用得到，最终证得． 【小问1详解】 解：①作图略； ②是等边三角形， ，． ， ． 由对称性可知，，， ，， ． 【小问2详解】 解：猜想，证明略． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，，将点关于直线对称得到点，当时，将点向上平移个单位，当时，将点向下平移个单位，得到点，我们称点为点关于点的对称平移点． 例如，如图已知点，，点关于点的对称平移点为． （1）已知点，， ①点关于点的对称平移点为________． ②若点为点关于点的对称平移点，则点的坐标为________． （2）已知点在第一、三象限的角平分线上，点的横坐标为，点的坐标为．将点向右平移个单位得到点，点向右平移个单位得到点，以为一边向上作正方形，以为一边向上作正方形，点为正方形的边上的一个动点，在点运动过程中，若点关于点的所有对称平移点都在正方形的内部或边上，请直接写出的取值范围________． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）先把对称平移点的坐标规律写成，再分别代入已知点与逆向解方程组； （2）写出动点的横、纵坐标范围，把关于的对称平移点全部落在正方形内转化为横、纵坐标的不等式组，求的取值范围． 【小问1详解】 解：设，则点关于直线的对称点为． ∵当时向上平移个单位，当时向下平移个单位， ∴点关于点的对称平移点为． ∵， ∴点关于点的对称平移点为． ∵点为点关于点的对称平移点，设， ∴． ∴，即． 【小问2详解】 解：∵点在第一、三象限的角平分线上，横坐标为， ∴． ∵，点向右平移个单位得，向右平移个单位得， ∴． ∵正方形的边长为，正方形的边长为，且均向上作， ∴点的横坐标满足，纵坐标满足． ∵点关于点的对称平移点为， ∴其横坐标范围是，纵坐标范围是． ∵正方形内部及边上点的横坐标满足，纵坐标满足， ∴． ∴． 【点睛】本题考查新定义坐标变换、轴对称与平移以及正方形边界的坐标表示；关键是把对称平移点统一写成，再把所有对称平移点落在正方形内转化为横、纵坐标的不等式组；易错点是忽略点在正方形边上时坐标能取到端点值，或把的长误算成． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2026—2027学年第一学期期中练习 初二数学 考生须知 1．本题共6页，共三部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面1—10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）. A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点与关于轴对称，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 6. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，是的角平分线，且，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 已知，则a的取值范围是__________________． 12. 已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是_________． 13. 已知ax=3 ，ay=4，a2x+y 的值是________________． 14. 如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为______． 15. 如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为________． 16. 陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 三．解答题（本题共58分，第17、20题6分，第18、21、22题5分，第19题4分，第23至25题7分，第26题6分） 17. 计算 （1） （2）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，点，在上，，，，求证：． 20. 数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC． 小路的作法如下： ① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q； ② 连结AP． 请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵ PQ是AB的垂直平分线 ∴ AP= ， （依据： ）； ∴ ∠ABC= ， （依据： ）． ∴ ∠APC=2∠ABC． 21. 如图所示，边长为1的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上， （1）作关于x轴的对称图形，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F）；并写出点D坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中面出使的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标． 22. 已知：如图，在等边和等边中，点在的延长线上，．求的度数． 23. 已知：如图，中，，点为的中点，点在上，点在的延长线上，，交于点． （1）求证： （2）若，，，求的长． 24. 定义：设一个整式，把的一次项系数改为，其余不变，所得整式称为的伴随式，记作，即． （1）已知，计算的结果为________； （2）已知，且展开式的二次项系数为，求的值； （3）已知，的二次项系数恰好等于常数项，直接写出实数的取值范围． 25. 如图，射线射线，点在射线上，点在射线上，．连接，以线段为边在内作等边，点关于的对称点为点，连接，，交射线于点． （1）若， ①依题意补全图形； ②直接写出的度数________； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，，将点关于直线对称得到点，当时，将点向上平移个单位，当时，将点向下平移个单位，得到点，我们称点为点关于点的对称平移点． 例如，如图已知点，，点关于点的对称平移点为． （1）已知点，， ①点关于点的对称平移点为________． ②若点为点关于点的对称平移点，则点的坐标为________． （2）已知点在第一、三象限的角平分线上，点的横坐标为，点的坐标为．将点向右平移个单位得到点，点向右平移个单位得到点，以为一边向上作正方形，以为一边向上作正方形，点为正方形的边上的一个动点，在点运动过程中，若点关于点的所有对称平移点都在正方形的内部或边上，请直接写出的取值范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $