精品解析：新疆和田地区部分校联考2026-2027学年高三上学期10月学情练习数学试卷

高三10月学情练习数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量的夹角为，且．若向量在向量上的投影向量的模为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知等差数列的公差为，且成等比数列，则（ ） A. 1 B. 5 C. 3 D. 3或-1 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2026的项的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 7. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点在边上，平分，且，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集为，集合，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，则 C. 若，且，则实数的取值范围为 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 10. 已知函数在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 的最大值为 D. 无最小值 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. 当取得最大值时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则实数的值为___________． 13. 若，则的最大值为___________． 14. 若数列的前项之积满足，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角的对边分别为，且． （1）证明：为等腰三角形或直角三角形； （2）若分别是边的中点，交于点，求的值． 16. 已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求． 17. 已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围． 18. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，. （1）若，为的垂心，，求的值； （2）求的值． 19. 已知函数. （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）证明：函数的图象关于点中心对称； （3）证明：，函数有三个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月学情练习数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于， 则． 2. 已知向量的夹角为，且．若向量在向量上的投影向量的模为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得向量在向量上的投影向量的模为， 即，解得． 由两边平方，得， 即，解得． 3. 已知等差数列的公差为，且成等比数列，则（ ） A. 1 B. 5 C. 3 D. 3或-1 【答案】C 【解析】 【详解】因为，公差为，所以． 由题意，得，即，化简得， 解得或．当时，，，满足； 当时，，等比数列的项不能为0，所以不满足，，成等比数列，舍去．所以． 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，故，解得． 检验当时，， 则函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故． 5. 已知函数在上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导数，由参变量分离法可知对任意恒成立，当时，求出的取值范围，即可得出正数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上单调递增，所以对任意，都有， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 当时，，所以，恒成立，所以正数的取值范围为． 6. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2026的项的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组求和法及等比数列前项和公式、等差数列前项和公式求出，再根据得到是递增数列，结合特殊值法进一步判断即可. 【详解】因为数列的通项公式为，数列的通项公式为， 所以． 所以． 因为， 所以数列是递增数列． 又，， 所以数列中不超过2026的项有10个． 7. 若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则． 由于对任意恒成立， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以函数的最小值为． 当时，；当时，，且． 函数的零点个数即函数的图象与直线的交点个数． 所以当时，无交点，即无零点； 当时，仅有1个交点，即有1个零点； 当时，有2个交点，即有2个零点； 当时，仅有1个交点，即有1个零点． 所以实数的取值范围是． 8. 在中，点在边上，平分，且，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由余弦定理，，，设，，根据三角形的几何性质，在中，利用正弦定理和余弦定理建立等式计算求解即可. 【详解】如图，在中，由余弦定理，得． 因为平分，所以， 所以，则． 在中，由余弦定理，得， 则， 因为，所以， 设，． 在中，由正弦定理，得， 即，整理得． 在中，由余弦定理，得， 整理得，解得． 当，即时，，点为的中点，，不成立，故， 当时，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集为，集合，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，则 C. 若，且，则实数的取值范围为 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【详解】集合． 对于A，要使，则须方程的判别式， 即，无解，故A错误． 对于B，或， ．故B正确． 对于C方程的两个根为，且． 或． 又，即，故C正确． 对于D或． 又”是“”的必要不充分条件，，则，解得． 实数的取值范围为，故D正确. 10. 已知函数在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 的最大值为 D. 无最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简表达式，计算判断A；求出单调区间，列出不等式得出范围判断BCD选项. 【详解】函数． 对于A，， 函数的图象关于直线对称，故A正确． 对于B，由，得， 因为在上单调递增，所以， 则得，解得，得不出，故B错误． 对于C，结合B选项可得，， 则， 即的最大值为，没有最小值，故CD正确． 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为3 C. 当取得最大值时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理及诱导公式求解即可；对于B，根据余弦定理及基本不等式求解即可；对于C，根据正弦定理得到，进而求解即可；对于D，根据正弦定理及辅助角公式求解即可. 【详解】对于A，由及正弦定理得， 即． 又，所以，故． 因为，所以，所以，即． 又，所以，A正确． 对于B，由及余弦定理得， 即，当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为，B错误． 对于C，由正弦定理得， 所以，当且仅当时，取得最大值， 此时，C正确． 对于D，由正弦定理得， 所以，， 所以 ． 又，所以，所以， 故，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则实数的值为___________． 【答案】或 【解析】 【详解】由题意，得 因为，所以，解得或． 13. 若，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】． 又由基本不等式得： ， 当且仅当，即时取等号. 的最大值为． 14. 若数列的前项之积满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由前项积的意义变形给定等式，再利用等差数列定义求出通项公式即可. 【详解】数列的前项之积满足，显然， 当时，，解得； 当时，则，即， 整理得，因此数列是首项为6，公差为5的等差数列， ，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角的对边分别为，且． （1）证明：为等腰三角形或直角三角形； （2）若分别是边的中点，交于点，求的值． 【答案】（1）证明：， 由正弦定理得， ． ， ，或， ，或， 为等腰三角形或直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）判定三角形形状，用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合二倍角公式化为同名三角函数相等，再根据角的范围解方程，由角的关系判断三角形形状; （2）求两条中线夹角的正弦值，先确定三角形的具体形状，建立平面直角坐标系用坐标表示向量，通过点积求夹角余弦，再利用同角关系转化为正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①若，则，，不满足三角形三边关系，舍去． ②若，则， ． 以为坐标原点，以所在的直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ， ， ． 16. 已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知含与的递推关系，先利用转化为的递推式，通过构造为等差数列求出，再求得数列的通项； （2）利用裂项相消法求和，先将通项拆分为两个分式的差，累加后中间项相互抵消，整理得到前n项和. 【小问1详解】 由，得， ，即 ，，， 数列是以为首项，6为公差的等差数列， ． ， ． 当时，满足上式， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 17. 已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求正弦型函数的解析式，先通过周期公式求出，再代入已知点坐标结合的取值范围确定，即可得到完整表达式； （2）解决平移后的三角函数方程有解问题，先按平移规则得到新函数，再求出函数在指定区间上的值域，将方程有解等价转化为参数表达式落在值域内，解不等式得到参数范围. 【小问1详解】 函数的最小正周期为 ，解得． 又函数的图象过点 ，解得． ， ． 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 方程在上有解， 与的图象在上有交点． ． 由余弦函数的性质，得当时，； 当，即时，， ，解得， 实数的取值范围是． 18. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，. （1）若，为的垂心，，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用垂心性质及向量垂直的坐标表示列式求解. （2）利用向量的线性运算及共线向量定理的推论列式求解. 【小问1详解】 在中，取线段的中点，连接，由，得， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系， 由，得，， 由为的垂心，得，且点在直线上， 设，则，，解得， 则， 由，得， 则，解得， 所以，即的值为. 【小问2详解】 由，得， 由是线段的中点，，得， 即， 由三点共线，得， 所以. 19. 已知函数. （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）证明：函数的图象关于点中心对称； （3）证明：，函数有三个零点. 【答案】（1） （2）证明：要证函数的图象关于点中心对称，只需证对任意，. ， 函数的图象关于点中心对称. （3）证明：，， 令，得，，且. 令，得或；令，得. 函数在上单调递减，在和上单调递增. 又，且在上单调递减，故，. 当时，；当时，. 结合单调性：在上，函数单调递增，时，，，存在1个零点； 在上，函数单调递减，，存在1个零点； 在上，函数单调递增，，时，，存在1个零点. ，函数有三个零点. 【解析】 【分析】（1）利用极值点与导函数根的关系，转化为二次方程判别式求解参数范围； （2）利用中心对称的定义验证证明图像中心对称； （3）求导确定单调区间，结合自变量大小与单调性判断极值正负，分区间讨论得到三次函数零点个数. 【小问1详解】 ，，. 令，得. 函数有两个极值点等价于方程有两个不等实根， 因此，，解得， 实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $