精品解析：黑龙江大庆市外国语学校2026-2027学年上学期初三（五四制）期中考试数学试卷

大庆外国语学校初三年级数学学科期中试卷 考试时间：2026年11月5日答卷时间：120分钟卷面分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 2. 下列不等式的变形中，错误的是（　　） A. 若a＞b，则2a＞2b B. ﹣2a＜﹣2b，则a＞b C. 若a＞b，则a﹣1＜b﹣1 D. 若a＞b，则1﹣a＜1﹣b． 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质，一一判断，即可得解. 【详解】A． B． C． 错误 D． 本题选C. 【点睛】本题主要考查了不等式性质，熟练掌握不等式性质是本题解题关键. 3. 下面四种正多边形的瓷砖图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形，A选项是错误的； B选项既是轴对称图形又是中心对称图形，B选项是正确的； C选项是轴对称图形不是中心对称图形，C选项是错误的； D选项不是轴对称图形而是中心对称图形，D选项是错误的； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合． 4. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断是否是因式分解，根据“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，逐项判断，选择答案即可． 【详解】解：A、，右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是因式分解，符合题意； C、，从左到右不是变成乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：B． 5. 分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，不是最简分式； ∵， ∴，不是最简分式； ∵14与21的最大公因数为7， ∴，不是最简分式； ∵，与分子无公因式， ∴是最简分式． 综上，最简分式共1个． 6. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．将三角形平移得到三角形，若点的对应点的坐标为，则三角形平移的方式可以为（ ） A. 向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 B. 向左平移5个单位长度，向上平移3个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 D. 向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】通过点与对应点的坐标变化确定平移规律； 【详解】解：点的对应点为， 横坐标变化：，即向左平移3个单位长度， 纵坐标变化：，即向上平移5个单位长度， 故的平移方式为向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度． 7. 不等式的最小整数解是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集，找出最小整数解即可． 【详解】解： 去括号得： 不等式移项合并得：， 所以，不等式最小的整数解为， 故选：B． 8. 若关于x的一元一次不等式的解都是的解，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到解集，由于的解都满足，即，即可解题． 【详解】解不等式得， ∵不等式的解都是的解， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查不等式的解集，掌握不等式的解法是解题的关键． 9. 若 ，则 ， 的值分别为 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】将等式右边按照完全平方公式展开，再与等式左边对应项的系数相等即可得解. 【详解】解：∵ ∴，， 解得： a=9，b=1. 故答案为：A。 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式，熟记完全平方公式的展开式是解题的关键. 10. 若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，利用旋转的性质得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理推出，在中，由勾股定理，即可求等边的面积． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，如下图： 由旋转的性质知，，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，由勾股定理得，， ， 又等边的面积， 等边的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质，及作出适当的辅助线进行求解． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 不等式组的解集是______________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式组，根据同大取大可以直接得到不等式组的解集. 【详解】解：因为不等式组为， 所以它的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法. 12. 分解因式： _______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：． 故答案为. 13. 当分式的值为零时，则x的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，利用平方根解方程，正确掌握分式的值为零，分子为零，分母不为零，是解题关键． 直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：当分式的值为零时，得 ， 即，且 解得，且， ∴． 故答案为：4． 14. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为________度． 【答案】135 【解析】 【分析】旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 【详解】解：根据旋转的性质可知，，那么旋转角度的大小为， 故答案为：135． 【点睛】本题考查旋转的性质，要注意旋转的三要素：定点﹣旋转中心；旋转方向；旋转角度． 15. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ． 17. 已知，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，利用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 18. 已知，则分式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减和分式的值，解题的关键是掌握分式的性质和整体代入求值．利用已知条件中的等式可变形为，再整体代入分式，然后合并同类项、约分求值． 【详解】解：∵， ，即， ， 故答案为：． 19. 如果关于的不等式只有三个正整数解，则的取值范围__________． 【答案】9≤a＜12 【解析】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可． 【详解】解：3x-a≤0的解集为x≤， 其正整数解为1，2，3， 则3≤＜4， 所以a的取值范围9≤a＜12， 故答案为：9≤a＜12． 【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 20. 如图，在中，，为上一点，为中点，，将绕点逆时针旋转至，连接，，若，，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：在上截取，连接，构造全等三角形得出及，结合已知条件推出，利用相似三角形的判定与性质可得，最后通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图：在上截取，连接，过点C作交的延长线于点H， ∵，，  ∴，， ∴，即， 由旋转得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，  ∴， ∵， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， 在中，． ∴． 三、解答题（共60分） 21. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先提出公因式-2，再运用完全公式分解因式； （2）先提公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了因式分解，利用了提取公因式法，再套用公式，注意分解要彻底． 22. 解一元一次不等式（组） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 23. 先化简，再求值：，在，，三个数中选择一个你喜欢的代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法并约分，最后代入合适的数值计算即可． 【详解】解：原式 ； ，， ，， ， 原式． 24. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． （1）画出三角形； （2）若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； （3）求三角形的面积． 【答案】（1） 如图，三角形即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图——平移变换，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移变换是解题的关键． （1）利用平移变化的性质分别作出点，，的对应点，，，再依次连接即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为， 故答案为：，； 【小问3详解】 = =． 25. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 甲，乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： （1）直接写出哪辆摩托车的速度较快． （2）何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ （3）求直线交点坐标． 【答案】（1）乙摩托车的速度较快 （2）当时，甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离 （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数图象求出甲、乙摩托车的速度即可； （2）设时，甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离，根据题意建立不等式，解不等式即可； （3）利用待定系数法求出两条直线的解析式，联立求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，甲摩托车的速度为， 乙摩托车的速度为， ∵， ∴乙摩托车的速度较快． 【小问2详解】 解：设时，甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离， 由题意得：， 解得， ∵， ∴当时，甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴两条直线的交点坐标为． 27. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案.在甲商场累计购物超过200元，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元，超出100元的部分按85%收费，已知小红在同一商场累计购物元，其中 (1)当时，小红在甲商场需花费_______元，在乙商场需花费________元； (2)分别用含的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费； (3)当小红在同一商场累计购物超过200元时，通过计算说明小红在哪家商场购物的实际花费少. 【答案】(1)280，270；(2)在甲商场所花费用为(0.8x+40)元；在乙商场所花费用为(0.85x+15)元；(3)见解析. 【解析】 【分析】(1)在甲商场累计购物超过200元，超出200元的部分按80%收费，则多出的100元按80%收费，于是得到小红在甲商场所花费用为200+(300-200)×80%；在乙商场累计购物超过100元，超出100元的部分按85%收费，则多出的200元按85%收费，于是得到小红在乙商场所花费用为100+(300-100)×80%； (2)与(1)的思路一样，用x代替300即可； (3)讨论：当0.8x+40＞0.85x+15时，小红在乙商场购物的实际花费少；当0.8x+40=0.85x+15时，小红在甲乙商场购物的实际花费一样；当0.8x+40＜0.85x+15时，小红在甲商场购物的实际花费少，然后分别解不等式或方程确定x的范围或值即可． 【详解】(1)当x=300时，小红在甲商场所花费用为200+(300-200)×80%=280(元)； 在乙商场所花费用为100+(300-100)×85%=270(元)， 故答案为280，270； (2)x＞200， 小红在甲商场所花费用为200+(x-200)×80%=(0.8x+40)元； 在乙商场所花费用为100+(x-100)×85%=(0.85x+15)元； (3)当0.8x+40＞0.85x+15时，解得x＜500， 所以当200＜x＜500时，小红在乙商场购物的实际花费少； 当0.8x+40=0.85x+15时，解得x=500， 所以当x=500时，小红在甲乙商场购物的实际花费一样； 当0.8x+40＜0.85x+15时，解得x＞500， 所以当x＞500时，小红在甲商场购物的实际花费少． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 28. 一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． （1）当　 　秒时，；当　 　秒时，； （2）在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求t的值； （3）当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）3；21 （2）当t为6或15或24时，有两个内角相等 （3）105 【解析】 【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间； （2）画出图形，分类讨论，①；②；③，求出旋转角，再求出值； （3）找出与，，，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论． 【小问1详解】 解：如图（1），当时， 平分，， ， 又为的一个外角， ， ； 如图（2），当时， ， ， ， ， ． 故答案为：3；21． 【小问2详解】 ①如图（3），当时， ， ， ； ②如图（4），当时， ，， ， ； ③如图（5），当时， ， ， 综上所述：当为6或15或24时，有两个内角相等． 【小问3详解】 是为定值105，理由如下： 是的一个外角，是的一个外角， ，， 又，， ， ， ． 【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆外国语学校初三年级数学学科期中试卷 考试时间：2026年11月5日答卷时间：120分钟卷面分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式的变形中，错误的是（　　） A. 若a＞b，则2a＞2b B. ﹣2a＜﹣2b，则a＞b C. 若a＞b，则a﹣1＜b﹣1 D. 若a＞b，则1﹣a＜1﹣b． 3. 下面四种正多边形的瓷砖图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．将三角形平移得到三角形，若点的对应点的坐标为，则三角形平移的方式可以为（ ） A. 向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度 B. 向左平移5个单位长度，向上平移3个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度 D. 向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度 7. 不等式的最小整数解是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 若关于x的一元一次不等式的解都是的解，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若 ，则 ， 的值分别为 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 不等式组的解集是______________． 12. 分解因式： _______. 13. 当分式的值为零时，则x的值为__________． 14. 如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为________度． 15. 计算：_____________． 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 17. 已知，则____． 18. 已知，则分式为__________． 19. 如果关于的不等式只有三个正整数解，则的取值范围__________． 20. 如图，在中，，为上一点，为中点，，将绕点逆时针旋转至，连接，，若，，，则的长为____． 三、解答题（共60分） 21. 因式分解 （1）； （2）． 22. 解一元一次不等式（组） （1）； （2）． 23. 先化简，再求值：，在，，三个数中选择一个你喜欢的代入求值． 24. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． （1）画出三角形； （2）若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； （3）求三角形的面积． 25. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 26. 甲，乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： （1）直接写出哪辆摩托车的速度较快． （2）何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ （3）求直线交点坐标． 27. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案.在甲商场累计购物超过200元，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元，超出100元的部分按85%收费，已知小红在同一商场累计购物元，其中 (1)当时，小红在甲商场需花费_______元，在乙商场需花费________元； (2)分别用含的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费； (3)当小红在同一商场累计购物超过200元时，通过计算说明小红在哪家商场购物的实际花费少. 28. 一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． （1）当　 　秒时，；当　 　秒时，； （2）在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求t的值； （3）当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $