精品解析：黑龙江哈尔滨市第六十九中学校2026－2027学年度上学期期中学情调研数学试题

哈尔滨市第六十九中学校2026—2027学年度上学期学情调研 数学试题 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值为( ) A. 11 B. 16 C. 18 D. 24 5. 如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A. B. C. D. 6. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 8. 如图，在中，已知，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 下列说法错误的是（ ） A. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是( ) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 计算：__________． 12. 计算：的结果是______． 13. 已知，则__________． 14. 在中，若，，则的面积等于______． 15. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为．若，则的度数为________． 16. 如图，在中，点，，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是2，则的面积为__________ 17. 如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有_______________个. 18. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到矩形的边时的点为，第次碰到矩形的边时的点为，，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 19. 已知，在等腰三角形中，，，为直线上一点，，则的度数为______． 20. 如图，在中，，，以为边向上作等边三角形，连接，若，作平分线交于点，以下说法：①；②；③四边形的面积为16；④在上取点，在上取一点，连接、，则的最小值为4．正确的有___________．（填序号） 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简．再求值．，其中，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请按下列要求画图并填空： （1）在轴上找出点，点在小正方形的格点上，且使的面积为6，请直接写出点的坐标为__________； （2）利用无刻度直尺作图，在上找一点，连接，使为的中线，并保留作图痕迹； （3）利用无刻度直尺作图，画的高线，并保留作图痕迹． 23. 已知的三边长分别为，，，且三边长均为整数． （1）若，，满足，则是___________三角形； （2）若，，且的周长为偶数，则___________； （3）化简：． 24. 如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE，AD＝AC． （1）求证：∠DEC＝∠BAE； （2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，延长DE、AB交于点G，请直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形． 25. “以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．如图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，可以得到等式：______； （2）利用中所得结论，解决问题：已知，，求ab的值； （3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 26. 如图，已知为等边三角形，为射线上一点，为射线上一点，满足． （1）如图（1），当点在线段延长线上，点在线段上时，求证：； （2）如图（2），当点在线段上，点在线段延长线上时，求证：； （3）如图（3），在（1）的条件下，交于点，连接，并延长至点，使，连接，交延长线于点，若、，求的长度． 27. 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴，连接，三角形面积为． （1）求点的坐标； （2）为线段上一点，，过点作轴平行线交于点，用含的式子表示的长； （3）在（2）问条件下，为中点，为轴上一点，连接，把线段逆时针旋转(旋转角度为)得到线段，当点刚好落在线段上时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2026—2027学年度上学期学情调研 数学试题 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则和合并同类项；根据同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方以及合并同类项的规则，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，故A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ∴ ，故B错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，故C错误； ∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ ，故D错误； 故选：A． 2. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中对称的特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：∵ 点关于x轴对称， ∴ 横坐标不变，为2，纵坐标变为， ∴ 对称点为， 故选：A． 4. 已知，，则的值为( ) A. 11 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】逆用同底数幂乘法与幂的乘方的运算法则，将变形为含和的形式，代入求值． 【详解】解：． ∵，， ∴原式． 5. 如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，涉及了三角形的外角的定义及性质，由题意得：，求出，推，进而得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 7. 年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 8. 如图，在中，已知，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方式可知，MN为AB的垂直平分线，进而可知AD=BD，在计算周长时只需将BD转化为AD即可． 【详解】 解：由作图方式可知，MN为AB的垂直平分线， ∴AD=BD， 所以△BDC的周长为：BD+DC+BC= AD+DC+BC=AC+BC=5+3=8， 故选：C． 【点睛】本题考查，做线段的垂直平分线，三角形的周长，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，∴A表述正确． ∵等边三角形三个内角均为，均为锐角，∴等边三角形是锐角三角形，B表述正确． ∵有一个角是的等腰三角形是等边三角形，∴C表述正确． ∵等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，并非所有角平分线、中线、高线都重合，∴D表述错误． 10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是( ) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，分为底边和为腰两种情况，结合网格特点寻找符合条件的格点． 【详解】解：如图， 分情况讨论：  ①当为底边时，，点在的垂直平分线上． 观察网格，符合条件的格点有4个． 当为腰时，或． 若，以为圆心，为半径画弧，经过的格点除外还有3个，其中1个与共线，舍去，剩2个． 若，以为圆心，为半径画弧，经过的格点除外还有3个，其中1个与共线，舍去，剩2个． 综上所述，点的个数是． 非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 计算：的结果是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，将变形为，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先移项、计算多项式乘法，然后合并同类项，即可得出，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， ， 整理得， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是关键. 14. 在中，若，，则的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作边上的高，利用含角的直角三角形的性质求出高的长度，再代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∵ ∴的面积为． 15. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到和的度数，然后即可得到的度数． 【详解】解：由折叠的性质可得： ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，在中，点，，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是2，则的面积为__________ 【答案】8 【解析】 【分析】因为三角形的中线可将三角形分为两个面积相等的部分，所以先从已知的面积出发，结合是中点的条件，推导的面积．因为D是的中点，是的中线，可求出．因为是的中点，所以可利用中线的面积等分性质，推导的面积，进而求解的面积． 【详解】解：∵F是的中点，是的中线，中线将三角形分为面积相等的两部分， ∴， ∴． ∵D是的中点，是的中线， ∴．​ ∵E是的中点，根据中线性质，在中，是中线， ∴． ∵D是的中点，是的中线， ∴． 17. 如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有_______________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向和斜向三种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有3个． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，难点在于确定出对称轴的不同位置． 18. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到矩形的边时的点为，第次碰到矩形的边时的点为，，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反射角等于入射角画出小球运动的轨迹，可得小球每次反弹为一个循环，经过次反弹后回到出发点，再根据规律解答即可． 【详解】解：根据反射角等于入射角作图如下： 由图可得：小球每次反弹为一个循环，经过次反弹后回到出发点， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 19. 已知，在等腰三角形中，，，为直线上一点，，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的画出图形是解题的关键．如图1，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，，由等腰三角形的性质得到，于是求得，如图2，同理求得，于是求得． 【详解】解：如图1，，， ， ， ， ， ， 如图2，，， ， ， ， ， ． 综上所述：的度数为或， 故答案为：或 20. 如图，在中，，，以为边向上作等边三角形，连接，若，作平分线交于点，以下说法：①；②；③四边形的面积为16；④在上取点，在上取一点，连接、，则的最小值为4．正确的有___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】因为是等腰直角三角形，是等边三角形，所以可先通过边相等关系推导的形状，进而计算的度数，判断结论①． 在上截取，因为是的角平分线，可求出，得是等边三角形，结合已得的角度关系，证明，验证与的数量关系，判断结论②． 因为已知的长度，结合前面推导的角度和边长关系，可先求出等腰直角三角形和等边三角形的边长，再分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积，判断结论③． 因为求的最小值属于最短路径问题，所以可利用轴对称的性质，作点N关于的对称点，将折线距离转化为直线距离，结合已得的边长和角度关系计算最小值，判断结论④． 【详解】解：①∵，， ∴是等腰直角三角形，． 又∵是等边三角形， ∴，， ∵ ∴， 即是等腰三角形，， ∴． ∴．①正确． 在上截取， ∵是的角平分线，， ∴， 由①知，， ∴， ∴是等边三角形， 即，． ∵，， ∴， ∴， ∴， 得， ∴，故②正确． ③过点D作交延长线于点G，作交延长线于点H， 则， 设， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ．故③正确． ④作点N关于的对称点J，连接，过点A作于点K，交于点L，设， 则，， ∴， 其最小值为垂线段的长度． ∵， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 由③知， ∴， 解得或（舍去）， ∴，故④正确． 综上，正确的是①②③④． 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简．再求值．，其中，． 【答案】；64 【解析】 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 当，时， 原式 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，请按下列要求画图并填空： （1）在轴上找出点，点在小正方形的格点上，且使的面积为6，请直接写出点的坐标为__________； （2）利用无刻度直尺作图，在上找一点，连接，使为的中线，并保留作图痕迹； （3）利用无刻度直尺作图，画的高线，并保留作图痕迹． 【答案】（1） （2）如图所示： （3）如图所示： 【解析】 【分析】（1）把当作高，根据面积为求出的长，从而求得点的坐标． （2）根据已知条件，利用全等三角形找到的中点，连结即可； （3）根据已知条件，利用全等三角形的性质求得即可． 【小问1详解】 解：把当作高， ， ， ， ， 的坐标为或（无法在图中表示出来，舍去）， ． 【小问2详解】 解：由已知条件得：， ， ， ， 是的中线． 【小问3详解】 解：由已知条件得： ， ， ， ， ， ， ， 是的高线． 23. 已知的三边长分别为，，，且三边长均为整数． （1）若，，满足，则是___________三角形； （2）若，，且的周长为偶数，则___________； （3）化简：． 【答案】（1）等边 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值、完全平方的非负性，再根据三角形按边分类来确定是哪种三角形； （2）利用三角形的三边关系和已知条件解答即可； （3）根据三角形的三边关系去掉绝对值，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 是等边三角形． 【小问2详解】 解：在中， ，， ， ， 的周长为偶数，，， 为奇数， ． 【小问3详解】 解：在中，， ． 24. 如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE，AD＝AC． （1）求证：∠DEC＝∠BAE； （2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，延长DE、AB交于点G，请直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形． 【答案】 （1）如图1，∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE， 即∠BAC＝∠EAD， 在△AED与△ABC中， ∴△AED≌△ABC， ∴∠AED＝∠ABC， ∵∠BAE＋∠ABC＋∠AEB＝180°， ∠CED＋∠AED＋∠AEB＝180°， ∵AB＝AE， ∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠BAE＋2∠AEB＝180°， ∠CED＋2∠AEB＝180°， ∴∠DEC＝∠BAE； （2）△AEF、△ADG、△DCF、△ECD 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠AEB，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：（1） 略 （2）解：如图2， ①∵∠BAE＝∠CAD＝30°， ∴∠ABC＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝75°， 由（1）得：∠AED＝∠ABC＝75°， ∠DEC＝∠BAE＝30°， ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∴∠CAE＝30°， ∴∠AFE＝180°−30°−75°＝75°， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形， ②∵∠BEG＝∠DEC＝30°，∠ABC＝75°， ∴∠G＝45°， 在Rt△AGD中，∠ADG＝45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ③∠CDF＝75°−45°＝30°， ∴∠DCF＝∠DFC＝75°， ∴△DCF是等腰直角三角形； ④∵∠CED＝∠EDC＝30°， ∴△ECD是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25. “以形释数”是利用数形结合的思想解决代数问题的一种方法，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论．例如，对于同一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．如图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，可以得到等式：______； （2）利用中所得结论，解决问题：已知，，求ab的值； （3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）根据代入计算即可； （3）根据，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图2可得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 解：，， ∴阴影部分的面积为． 26. 如图，已知为等边三角形，为射线上一点，为射线上一点，满足． （1）如图（1），当点在线段延长线上，点在线段上时，求证：； （2）如图（2），当点在线段上，点在线段延长线上时，求证：； （3）如图（3），在（1）的条件下，交于点，连接，并延长至点，使，连接，交延长线于点，若、，求的长度． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， 又， ， ． （2） 证明：过点作交于点， ，， ∴， 为等边三角形， ， 又为等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，再利用外角的性质解答即可； （2）过点作交于点，先得到为等边三角形，再利用已知条件证明，得到对应边相等，进而得到证明； （3）过点作交于的延长线于点，根据已知条件分别证明，进而证得，最后把代入上面证得的结论，即可得到答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：过点作交于的延长线于点， ， ， 为等边三角形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴，连接，三角形面积为． （1）求点的坐标； （2）为线段上一点，，过点作轴平行线交于点，用含的式子表示的长； （3）在（2）问条件下，为中点，为轴上一点，连接，把线段逆时针旋转(旋转角度为)得到线段，当点刚好落在线段上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求出，再由点所在的半轴写出它的坐标； （2）用直角梯形与直角三角形的面积分割，得到与满足的关系式； （3）作造出等腰三角形，用把转移为，再借直角三角形斜边中线与勾股定理确定点的位置． 【小问1详解】 解：由点得． ∵． ∴． ∵点在轴正半轴上． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得． ∵． ∴． ∵轴，在轴上，． ∴四边形是直角梯形，，高为，且． ∵的面积等于直角梯形与的面积之和． ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：作，射线交于点，连接；取的中点，连接(如图)． 由（2）知，当为的中点时，故． 设，则． ∵、都在轴上，点在上． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵点、、、、都在上． ∴． ∵是的中点． ∴(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)． ∴． ∴． ∵点在与之间． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴，又点在线段上，故点是的中点． ∵． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $