精品解析：黑龙江省大庆市祥阁学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年黑龙江省大庆市祥阁学校九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的有（ ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 3. 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 长度相等的弧是等弧 C. 平面上的三个点可以确定一个圆 D. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，等弧，内心，确定圆的条件， 根据定义和性质逐项判断解答即可. 【详解】解：因为平分弦的直径不一定垂直于弦，如：两条直径互相平分，但是不一定垂直，所以A不正确； 因为在不同的圆中长度相等的弧不是等弧，所以B不正确； 因为平面上不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，所以C不正确； 因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以D正确. 故选：D. 5. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先把一般式化为顶点式，得出函数图象的对称轴为直线，开口向上，算出，，对应的函数值，即可得出y的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴y的取值范围是：， 故选：B． 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 7. 如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】连接BD， ∵AB是直径，∴∠ADB=90°, ∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC, ∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC， ∴cos∠BOC==， ∴cos∠A=cos∠BOC=， 又∵cos∠A= ，AB=4， ∴AD= ，故选B. ． 8. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有4个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主的图象与性质，一次函数、二次函数图象综合判断,抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出二次函数的图象与的交点、的坐标，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式，然后求出直线经过点时m的值和当直线与抛物线有唯一公共点时m的值，从而可确定m的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，， 解得：，， 则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时， ，解得：； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， ∴有相等的实数解， ∴， 解得：， 所以当直线与新图象有4个交点时， m的取值范围为． 故选：C． 9. 如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为． ①当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 【点睛】 10. 如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知的半径为4，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是______  ． 【答案】相交 【解析】 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，注意解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定 由的半径为4，圆心O到直线l的距离为，利用直线和圆的位置关系：若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离判断即可求得答案． 【详解】解：的半径为4，圆心O到直线l的距离为，， 直线l与的位置关系是：相交． 故答案为：相交． 12. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数，在时， ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，观察表格中的数据，得到和的函数值相等，进而得到抛物线的对称轴为直线，进而得到和的函数值相同，即可得出结果． 【详解】解：观察可知：和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， 由表格可知，的函数值为， ∴在时，； 故答案为：． 13. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 14. 如图，的半径为5，C是上一点，直线交于A，B两点，垂足为H，已知．若将直线l沿所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理．根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 在中，， 又∵将直线l通过平移使直线l与相切， ∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点， ∴当向下平移时，直线l平移的距离； 当向上平移时，直线l平移的距离． 故答案为：2或8． 15. 如图，是圆的直径，弦、相交于点，点是弧的中点．若，则的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，由圆周角定理可求出，从而得出，再解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧的中点． ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，量角器的0刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺的一边与量角器相切于点C，直尺的另一边交量角器于点A，D，点A在量角器上的读数是，点A在直尺上的读数是1，点D在量角器上的读数为，在直尺上的读数为，则该直尺的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，且交于点，利用切线的性质和平行线性质推出交于点，再结合直角三角形性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程求解，进而求得，即可解题． 【详解】解：如图，连接，且交于点， 由题知，，， ， 直尺的一边与量角器相切于点C， ， ， 交于点， ，， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． 17. 用大小相同的黑点按如图所示的规律拼成图案，其中第个图案有2个黑点，第个图案有7个黑点，第个图案有15个黑点，第个图案有26个黑点…按此规律，第n个图案中黑点的个数为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑点的个数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑点个数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图案中黑点的个数是； 第②个图案中黑点的个数是； 第③个图案中黑点的个数是； …， 所以第n个图案中黑点的个数是： 故答案为：． 18. 如图，P是矩形对角线上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作，若，且，当与矩形的边相切时，的长为______  ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握其性质并能灵活运用分两种情况讨论是解决此题的关键． 由锐角的余弦求出，的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：由题意知只能与，相切， 如图，作于M，于N， ，， ， ， 当与相切时，， 由矩形性质可知，，， ， ， ， ， ， ， 当与相切时，， ， ， ， ， ， ， 的长是或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 20. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； （3）若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）在图中作出的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)，圆心坐标为______； （2）若在x轴的正半轴上有一点D，设点D的横坐标为m，当时，则m的取值范围是 ． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作圆，三角形的外接圆，圆周角定理： （1）分别作边的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而画出的外接圆，并写出圆心坐标即可； （2）确定的外接圆与轴的另一个交点，根据圆周角定理和三角形的外角的性质，得到点在点和点之间，即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，圆即为所求； 由图可知：； 故答案为： 【小问2详解】 由图可知，圆与轴的另一个交点为， ∴， 当点在之间时，如图延长交圆于点，连接， 则：， ∵， ∴，满足题意， ∴． 22. 本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，如图所示，是直角三角形，，步，步，正好与相切于点D，也与相切，切点分别为点E，F，求的直径． （1）小军解决本题时，认为线段的长就是的半径，请你说明理由； （2）请你帮小军计算的直径． 【答案】（1）见解析 （2）的直径为240步 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，掌握切线的性质，矩形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，切线长定理是解决问题的关键， （1）如图1，连接，由切线的性质得出，由，得出四边形是矩形，由，得出四边形是正方形，得出，即可得出的长就是的半径； （2）由勾股定理求出步，设的半径为x步，则步，由切线长定理得出步，步，由，得出关于x的方程，解方程求出，即可求出的直径． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ，是的切线， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的长就是的半径； 【小问2详解】 解：，步，步， 步， 设的半径为x步，则步， ，是的切线， 步， ，是的切线， 步， ， ， 解得：， 的直径为步， 的直径为240步． 23. 某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． （1）求图（2）中这条抛物线的解析式； （2）如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 【答案】（1） （2）该大桥拱内实际桥长为388米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际问题，待定系数法求二次函数的解析式， 掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）结合图形，写出A，B，C三点的坐标，根据抛物线的顶点坐标为， 可设解析式为，再代入点，求出的值，可得抛物线的解析式； （2）根据，求出当时，方程的解， 由求出的长，再根据比例尺求出该大桥拱内实际桥长． 【小问1详解】 解：由图知，该抛物线经过点，，， 点为抛物线的顶点， 可设， 代入点，得， 解得， 图（2）中这条抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解方程得，， （）． 根据大桥截面的比例为，可得（）． 该大桥拱内实际桥长为388米． 24. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． （1）求的度数； （2）通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）． 【答案】（1）53° （2）粒子到的最远距离是 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）延长交于，根据切线长定理可得答案； （2）如图，过点作于点，延长交于点，连接，则此时当粒子运动到点时，离的距离最远，再结合垂径定理与解直角三角形可得答案． 【小问1详解】 解：延长交于， 由题意得：是的切线， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，延长交于点，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 如图，当粒子运动到点时，离的距离最远， ，即粒子到的最远距离是 25. 如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 26. 如图，某蔬菜种植大棚一侧框架，它的上半部分是一个等腰，其中腰长与底边的比是，它的下半部分是矩形，点F、H是边的三等分点，点G、I是边的三等分点．已知，制造这一侧框架的材料总长（图中所有黑线的长度和）为42米，设的长是x米，的长是y米． （1）请直接写出y与x的函数关系式______； （2）若该侧框架围成图形的面积用S表示，请求出S与x之间的函数关系； （3）当x等于多少时，此框架围成图形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当x等于时，此框架围成图形的面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】（1）先证明，则有，即，再根据矩形的性质得到，，然后得到方程，整理解题即可； （2）过点A作于点N，根据等腰三角形的性质和勾股定理可以得到，然后根据求出面积即可； （3）依据题意，由，从而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，，米， 米， 又、H是边的三等分点，点G、I是边的三等分点， ， 又是公共角， ， ， 米， 四边形是矩形， 米，米， 根据题意得：， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点A作于点N，如图， 则， ， ； 【小问3详解】 解：由题意，， 当时，S取最大值，最大值为． 答：当x等于时，此框架围成图形的面积最大，最大面积是平方米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用和二次函数的性质在实际生活中的应用，熟练掌握根据实际问题求函数关系式是解题的关键． 27. 如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义得到，由等腰三角形性质、角平分线定义，等量代换得到，由平行线的判定确定，从而得到，即可得证； （2）由直径所对的圆周角是直角，由互余定义得到，从而确定，利用相似比求解即可得证； （3）结合勾股定理、相似三角形的判定与性质求出相关线段长度，最后解直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂直定义、圆的基本性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理及其推论、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性强，熟练掌握圆的性质及相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 28. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； （3）若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）先求出点坐标，再求出直线的解析式，设，其中，则，可得是等腰直角三角形，得到，进而求出周长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）设点坐标为，点坐标为，分三种情况：①当为对角线时；②当为对角线时；当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组解答即可求解； 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用及性质，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，其中，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ， ， ∴当时，的周长有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点坐标为， ①当为对角线时，， 解得， ∴， ②当为对角线时，， 解得， ∴； ③当为对角线时，， 解得， 解得； 综上所述，存在点，以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年黑龙江省大庆市祥阁学校九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的有（ ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 3. 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 长度相等的弧是等弧 C. 平面上的三个点可以确定一个圆 D. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 5. 已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为( ) A. B. C. D. 8. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有4个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知的半径为4，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是______  ． 12. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数，在时， ______． 13. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是________． 14. 如图，的半径为5，C是上一点，直线交于A，B两点，垂足为H，已知．若将直线l沿所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为________． 15. 如图，是圆的直径，弦、相交于点，点是弧的中点．若，则的值是_______． 16. 如图，量角器的0刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺的一边与量角器相切于点C，直尺的另一边交量角器于点A，D，点A在量角器上的读数是，点A在直尺上的读数是1，点D在量角器上的读数为，在直尺上的读数为，则该直尺的宽度为______． 17. 用大小相同的黑点按如图所示的规律拼成图案，其中第个图案有2个黑点，第个图案有7个黑点，第个图案有15个黑点，第个图案有26个黑点…按此规律，第n个图案中黑点的个数为______  ． 18. 如图，P是矩形对角线上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作，若，且，当与矩形的边相切时，的长为______  ． 三、解答题：本题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 20. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； （3）若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）在图中作出的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)，圆心坐标为______； （2）若在x轴的正半轴上有一点D，设点D的横坐标为m，当时，则m的取值范围是 ． 22. 本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，如图所示，是直角三角形，，步，步，正好与相切于点D，也与相切，切点分别为点E，F，求的直径． （1）小军解决本题时，认为线段的长就是的半径，请你说明理由； （2）请你帮小军计算的直径． 23. 某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． （1）求图（2）中这条抛物线的解析式； （2）如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 24. 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． （1）求的度数； （2）通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）． 25. 如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 26. 如图，某蔬菜种植大棚一侧框架，它的上半部分是一个等腰，其中腰长与底边的比是，它的下半部分是矩形，点F、H是边的三等分点，点G、I是边的三等分点．已知，制造这一侧框架的材料总长（图中所有黑线的长度和）为42米，设的长是x米，的长是y米． （1）请直接写出y与x的函数关系式______； （2）若该侧框架围成图形的面积用S表示，请求出S与x之间的函数关系； （3）当x等于多少时，此框架围成图形的面积最大？最大面积是多少？ 27. 如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 28. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； （3）若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $