广东广州市南武中学岭画校区2026学年高三上学期11月综合训练数学问卷

参考答案： 1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C 9.ACD 10.ABD 11.AC 12.7 13.0.82 9W2 14.2 15.(1)如图，设AC,BD交于点O,连接P0, D 因为正方形ABCD中，AC⊥BD, …1分 因为△PAC为等腰三角形，所以POLAC, …2分 因为PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD …4分 (2)方法-：PD+DC2=PC2,PD2+DA=PAP, 所以PD⊥DC,PD⊥DA,且DA∩DC=D,故PD⊥平面ABCD 以D为原点，DA,DC,DP为X,y,z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。…6分 ZA D C 则D(00,0）,A(2,0,0)B(22,0).C(0,2,0).P(00,1) AP=(-2,0,1).AB=(0,2,0) AP.i=-2x+z=0 设平面PAB的法向量为i=(x,少2)，则AB·万=2y=0 令x=1,则y=0,z=2,所以i=(,0,2) …9分 又因为AC⊥平面PBD, 所以平面PBD的法向量可取4C=(-2,2,0) …11分 设面APB与面PBD的夹角大小为B, AC.n cos0=cos(AC,n) -2 10 aC V5×2W210 则 。。。。。。。。。。。 …13分 10 所以面APB与面PBD的夹角的余弦值为I0. 方法二：（等体积法）由PD2+DA=P,PD+DC2=PC2,得PD⊥DA,PD⊥DC,故 PD⊥平面ABCD. 由正方形边长为2，得DB=22:又PB2=PD2+DB2=9,故PB=3. 1 PA+AB2=PB2,所以 om2x5=5 SAmOn =x1x212=12 ;同理 2 四面体P-ABD的体积"SxS0x PD=X V= 3×2×2×2×1=2 Γ32 .2 33×3.25 =- 设二面角A-PB-D为B,则点D到平面PAB的距离 =2SAm2-22 h2 点D到直线PB的距离 PB 3. 2W5 sin= h 5_310 2V2 10 由垂直于棱PB的截面关系， 3 2 cos=v1-sin20 3W10 10 10 10 故 V10 所以面APB与面PBD的夹角的余弦值为10. 16.【小问1详解】 由已知'()=2x 则曲线y=f(在点G,f,》处的切线方程为y-(x)=了(x,x-x) 即y-x=2x,(x-x) 令y=0,得X=2x(x41-xn) …1分 11 因为=1，代入上式，依次解得 2$ 2= 4 …………3分 X=1 因为=1≠0，所以×，≠0，得 2.所以。2 4分 1 解法一：故数列x}为等比数列，首项为1，公比为2 5分 …6分 无=3x= 1 解法二：当n≥2时， 七m-1Xn-2x1 2 当n=1时，因为=1，所以上式亦成立. 所以 【小问2详解】 解法一 nX= 2-1 7分 Sn=1+ 2.3 222+… ,n-1,n 2-+2 …8分 22+2分++-1n 1.2.3 2 1 21+ …9分 1 5Sn=1+ 2 2”22 2-12” 2 1 两式相减可得： …11分 =是-2- 2n 13分 n-4-n+2 所以 2n-1 14分 n+2 因为2寸>0 ，所以S<4 …15分 解法二： C=-n-1 2- 2,则nxn=cn+1-Cn. ,1+23 所以 22+…+n +2-22可 -e-e)-6e+6)=-6=是24=4 2-1 n+2 因为2片>0 所以Sn<4 Q+b+=E()=0+b+/s3 17.【详解】(1)由题意知， 4 …2分 1 b= Q= 1 解得4， 4 …4分 (2)设事件A=恰有1合摄像头识别出该障碍物，B,=有=0,12)台摄像头正常工作， 由全概率公式知， P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)+P(B2)P(AI B2) 0c …6分 P(B:1A)= P(AB) P(4) 3 故 8 …8分 （3)不可能，理由如下…9分 (5=0y-0)=号.P(5=Y=0)-0-p).P(5=2y=0-x0-p 因为 P=-0-p小-pr-p …11分 米r2e08.P0-0js02.r--1so2 13分 上式化简为10p2-25p+16≤0，△=(-25)-4×10×16=-15<0，故此不等式无解，故不能达到要 求. …15分 18.【小问1详解】 依题意，2a=4,2b=2,则a=2,b=1 …2分 半焦距C=V√3 …3分 2 +y2=1 所以椭圆E的方程为4 …4分 e=c5 离心率为2. …5分 【小问2详解】 法一：依题意，以AC为直径的圆O的方程为x+y=5 …6分 当点P是矩形的顶点时，PO,PR均与坐标轴垂直，此时 RPO 2: 当点P不是矩形顶点时，设点P的坐标为o,）,直线P的方程为y-%=(x-), y=kx+(Yo-k xo) 由( x2+4y2=4 消去y得，（1+4)r+8%(仍-)x+40,-}-4=0 △=640,6P-40+4[46,-6广-4]=0.化商得4-)+2x+1-6=0， 由 设直线PR的方程为'-%=，(-名，同理得：(4-)号+2xk,+1-片=0 于是5，店是关于k的一元二次方程(4-)K+2x,k+1-6=0的两根， 4.又+=5，因=4 15令oPo3 则 所以△PQR是直角三角形. 法=：设M,V分别为P吧，PR与E的公共点，且P(,),M(G,y)N(:,) 以AC为直径的圆O的方程为x+y=5, 当点P是矩形的顶点时，P,PR均与坐标轴垂直，此时 RPQ 2 当PM,PW的斜率都存在时，设PM:y-乃=k(x-x),PN:y-=k(c-x), y=kx+( 由( x2+4y2=4 消去y得：（+4)r+8张(0-x)x+40-kx-4=0 =64-x)护-40+4然[460-4广-4=0.化简符4-)+2x+1-=0 则 又4 4yK3+2xyk+年02yk+y0 ,则 ,即 ,解得 Γ4y, PM:y-y=-点(x-x) 同理得： 4y2,直 4y ,即x+4y=4,直线PN:%x+4y=4 又直线PM,PN过点P,则+4=4，x+4y2%=4 xox+4yoy=4 于是直线MN的方程为：x+4,y=4,由r+4y=4消去y, 16-16y6 得5+4)r-8x+16-16=0,则+5 8xo x后+4. 大x2= x+4y6, XX2 XX2Yo 飞k二16yy16x,1x。x,+少 xxx2-4x(x1+x2)+16 于是 4yo %4y yo 166(1-6) x+4y6 1-哈 G.161-6)32x+16 4-x 1-5-- x+4yx号+4 ,又+6=5，则 4-x0 因此PM⊥PN, R0-5. 所以△PQR是直角三角形. 19.【小问1详解】 当m=0时，由f()=sir-cosx,得f'(x)=cosr-[cosr+x(-sinx)】]=xsinx …1分 又xe[0,,x≥0，six≥0，所以f'()20,故f()在[0，可单调递增。 …2分 又.f(0)=sin0-0=0.f(x)=sinm-元xcosπ=元 …3分 故f()在[0，上的值域为[0，可 儿……4分 【小问2详解】 由(1)可知m≠0： 依愿意得：f(,)-(1+m)cosr-[cosx+x(-sinx)】=sinr+mcosx (i)若m<0 ⑦ 。时s≥0.e3之0，t了国>0故因无5天极传了 包当02时，今(x)=f()=xsix+mcosx,得p(x)=0-m)simx+xco 0, 由1-m>0,sinx≥0，XCOSF≥0，则()20，从而()在单调递增. 0=0<0.9-0 由零点存在性定理可知，存在 使得()=0 从面当*c0）f(小0，当5，少0. f(x)在[0，x)单调递减，在 o2]单调递增， 所以f()是了()在[0，可上唯一的极值且为极小值，故m<0符合慰意. (i)若m>0, f(x)=mcosx+xsinx cosx(m+xtanx) 令(x)=xtanx (π)=0 '(x)= xsInx sinxcosx+xcosx+xsinx sinxcosx+x 则 cosx cos2x cos'x )=sinrco+sin2+ 1 则()=cos2x+1≥0，（四）在2丝g 所9()2p0)=0,日)≥0，所以()在2单满诺道 因为()=0，→2时，)→- 所以(x)的值域为(0,0] 0 =xtnr(<r) 故当m>0时，-m=tanr有唯一解xo, 2 x∈ 且当 )时，()>0，()单调递增 当x∈(x,时，()<0，f()单调递减： , 此时(x)在2门有唯一极大值点名，不合题意，故m>0舍去。 综上，m<0 ，…l0分 【小问3详解】 解法一：由(2)可知，()有且仅有一个极小值点七， )min=f(xo)=(m+1)sinxo-xocosxo m=xosinxo 因为f'(x)=mcos,+x,sin=0,所以cos,, -m+n 由题意知 )22m+n1因m=/=m+sin,-0 ,可得 2 1 XoSinxo sint,cosint 即 cosxo 2 coSxo 、 xoSinxo n≤sinx,- 2 化简得 cosxo x∈0, 2 √2 设8)=sir- x 2 xsinx cosx x02 1 √ (sinx+xcosx coSx+x- -sinx sinx 2 '(x)=cosx- 2 又 cos-x cos 2 sinxcosx+ 2 -xcosx-cosx-xsinx+ 2xsin'x cos'x cosr(cos1)sinrcosxsin+ x(cosx+sn3刘 21 cosx √ -cosxsinx+ -sinxcosx-xsinx+ -x 2 cosx 2 cosxsinx -sinx-x sinx- 2 2 coS x 2 (cosxsinx+x) 2 cosx ∈0，π 因为 （2,所以sinxcosx+x>0, 0<x< 4时， -sin>0g(x)>0. I<X< √ 当4 时，2 --sinx<0 g(x) 上单调递增，在42)上单调递减。 所以 此时 4,依题意， 故n的最大值是 -到 …17分 :山msV)g”sfe-， 令6=)竖=m*r-o5。 因为8()=f'() 由(2)知，8()有且仅有一个极小值点。，且8()m=8(） g'(x)=- ①当 4时， cosx+xsinx 4 因为 -0 所以 π7 g田0刘上遗诺应纹 ,元 上递增.所以 t=)-别 2 ②当m<一4时，因为 2 m+ 24 ,所以 又8()在0x]上递减，所以 gte=gt目）-1-到 ≤g()<兰 此时 ③当文<m<0 g =√2m+2×之0 _m+ 时，因为 24 ,所以 又()在[上递增.所以 e=g)8()2-引 n≤g()k -到 此时 m=- 综上，当 4时，n取得最大值， gu-别 广州市南武中学岭画校区2026学年上学期 高三11月综合训练数学科问卷 班别：__________姓名：__________学号：__________ 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求． 1．若，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（ ） A．4 B．2 C． D． 4．已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（ ） A． B． C． D． 5．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 6．一条河两岸平行，河的宽度为1.2 km，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（ ） A． B． C． D． 7．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 8．已知直线与圆交于不同的两点，，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的最小正周期为，则（ ） A． B． C．在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 10．设，为椭圆的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 11．函数的定义域是，对于，定义集合，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，且，则 C．若的定义域为，对任意都有，则是偶函数 D．若，对任意都有，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若一个等差数列的前3项和为9，前7项和为35，则该数列的第6项为_______． 13．某数学竞赛题库有A、B两类试题，A类试题有6000道，B类试题有4000道．某学生解答A类试题正确率为90%，解答B类试题正确率为70%．若从题库中随机抽取一道试题，则该生解答正确的概率是_______． 14．已知的周长为12，且，则面积的最大值为_______． 四、解答题：共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，． （1）证明：平面； （2）求面与面夹角的余弦值． 16．（15分） 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中． （1）写出，，并求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明： 17．（15分） 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 （1）求，； （2）已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． （3）工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 18．（17分） 矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． （1）求方程及离心率； （2）若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 19．（17分） 已知函数，． （1）当时，求的值域； （2）若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围； （3）设，若存在使得对恒成立，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $