第32章 锐角三角函数单元卷- 2026-2027学年人教版数学九年级下册

南平市 2026—2027 学年九年级单元测试 第二十八章《锐角三角函数》 数学（学生卷）　满分 150 分　考试时间 120 分钟 班级　　　　　　姓名　　　　　　座号　　　　　　成绩　　　　 说明：1．全卷共 25 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 　　　2．答题前请将班级、姓名、座号填写清楚，答案写在答题区指定位置． 　　　3．参考数据：，，，，，，． 一、选择题（共 10 题，每小题 4 分，共 40 分） 1．在 △ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且 ，，则 △ABC 是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 2．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 3．政和县某茶园沿山坡修了一条步行道，道路的坡度 ．茶农沿道路从坡底走到坡顶，共走了 13 m，则他上升的垂直高度是（　　） A．2.4 m B．5 m C．12 m D．13 m 4．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°，AB = 10 m，则 BC 的长约为（　　） （参考数据：，，） A．5.7 m B．7.0 m C．8.7 m D．8.2 m 5．已知 α 是锐角，则下列结论一定正确的是（　　） A． 随 α 的增大而减小 B． 的值可能大于 1 C．若 α，β 都是锐角，且 α < β，则 D． 的值随 α 的增大而增大 6．一艘渔船在 A 处观测到灯塔 B 位于北偏东 40° 方向，同时观测到港口 C 位于南偏东 50° 方向，则 ∠BAC 的度数是（　　） A．10° B．90° C．100° D．130° 7．如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 的值是（　　） A． B．2 C． D． 8．如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8，AD = 10，点 E 在边 CD 上，将 △ADE 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处，则 的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在 △ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，，AD ⊥ BC 于点 D，则 AB 的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，CD ⊥ AB 于点 D，CE 是 AB 边上的中线，则 的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知 ∠A 是锐角，，则 ________， ________． 12．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 ，BC = 2，则 AB = ________． 13．某河堤的横断面是梯形，汛期水位升高，堤高为 6 m，迎水坡的坡度 ，则迎水坡的水平宽度为 ________ m． 14．在 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，则 ________． 15．在 △ABC 中，∠B = 45°，，BC = 14，AD ⊥ BC 于点 D，则 AB 的长为 ________． 16．在 △ABC 中，AB = ，∠B = 30°，AC = 6，则 BC 的长为 ________． 三、解答题（共 9 题，共 86 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： （1）；（2 分） （2）；（3 分） （3）．（3 分） 18．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c． （1）已知 c = 10，∠A = 30°，求 a，b；（4 分） （2）已知 a = 6，，求 c 及 ∠A，∠B．（4 分） 19．如图，某校综合实践小组测量教学楼 AB 的高度．在水平地面上的 C 处测得楼顶 A 的仰角为 30°，沿 BC 方向前进 12 m 到达 D 处，测得楼顶 A 的仰角为 60°（点 B，D，C 在同一条水平直线上，AB ⊥ BC）． （1）求教学楼 AB 的高度；（4 分） （2）求观测点 C 到教学楼底端 B 的距离 BC．（4 分） 20．如图，某村对建溪一段河堤进行加固，加固后的横断面为梯形 ABCD，AD ∥ BC，堤顶宽 BC = 4 m，堤高为 6 m，背水坡 AB 的坡度 ，迎水坡 CD 的坡度 ． （1）求背水坡 AB 的坡长；（3 分） （2）求堤底 AD 的宽．（5 分） 21．如图，一艘渔船在 A 处测得灯塔 P 位于北偏东 60° 方向，渔船沿正东方向航行 20 海里到达 B 处，此时测得灯塔 P 位于北偏东 30° 方向． （1）求灯塔 P 到航线 AB 所在直线的距离；（4 分） （2）已知灯塔 P 周围 15 海里内有暗礁．若渔船从 B 处继续沿正东方向航行，是否会有触礁危险？请通过计算说明．（4 分） 22．如图，某山山顶 B 处建有一座信号塔 AB（AB ⊥ 水平地面，A 为塔顶，B 为塔底）．在山脚水平地面上的 C 处，测得塔顶 A 的仰角为 45°，塔底 B 的仰角为 30°，已知塔底 B 到水平地面的高度（即山高）为 60 m．（参考数据：，结果精确到 0.1 m） （1）求观测点 C 到塔底 B 所在铅垂线的水平距离；（4 分） （2）求信号塔 AB 的高度．（6 分） 23．某测绘小组用无人机测量一座古塔 AB 的高度（AB ⊥ 水平地面，B 为塔底）．无人机悬停在塔一侧的 P 点，测得塔底 B 的俯角为 60°，塔顶 A 的俯角为 30°（点 P，A，B 在同一竖直平面内），此时无人机到水平地面的高度为 60 m． （1）求无人机与塔底 B 之间的水平距离；（3 分） （2）求古塔 AB 的高度；（4 分） （3）若无人机只在 P 点测得塔顶 A 的俯角为 30°，且仍知无人机到地面的高度为 60 m，能否求出塔高 AB？请说明理由，并给出一种可行的补充测量方案．（3 分） 24．如图，在 △ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，，AH ⊥ BC 于点 H． （1）求 AH 与 AB 的长；（4 分） （2）若 D 是 BC 的中点，求 的值；（4 分） （3）求 的值．（4 分） 25．如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E，AB = 10，AE = 2． （1）求弦 CD 的长；（4 分） （2）求 的值；（4 分） （3）过点 C 作 ⊙O 的切线，交直线 AB 于点 F，求 CF 的长及 的值．（6 分） 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市 2026—2027 学年九年级单元测试 第二十八章《锐角三角函数》 数学（教师卷·含答案与解析）　满分 150 分　考试时间 120 分钟 班级　　　　　　姓名　　　　　　座号　　　　　　成绩　　　　 说明：1．全卷共 25 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 　　　2．答题前请将班级、姓名、座号填写清楚，答案写在答题区指定位置． 　　　3．参考数据：，，，，，，． 一、选择题（共 10 题，每小题 4 分，共 40 分） 1．在 △ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且 ，，则 △ABC 是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】C 【解析】由 且 ∠A 为锐角，得 ∠A = 60°；由 且 ∠B 为锐角，得 ∠B = 60°．所以 ∠C = 180° − 60° − 60° = 60°，三个角都是锐角，△ABC 为锐角三角形．故选 C． 2．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，设 BC = 2k，AB = 3k（k > 0），则 ．所以 ．故选 A． 3．政和县某茶园沿山坡修了一条步行道，道路的坡度 ．茶农沿道路从坡底走到坡顶，共走了 13 m，则他上升的垂直高度是（　　） A．2.4 m B．5 m C．12 m D．13 m 【答案】B 【解析】坡度 ，即铅直高度∶水平宽度 = 5∶12，所以坡面∶铅直高度∶水平宽度 = 13∶5∶12．道路长 13 m 时，上升的垂直高度为 （m）．故选 B． 4．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°，AB = 10 m，则 BC 的长约为（　　） （参考数据：，，） A．5.7 m B．7.0 m C．8.7 m D．8.2 m 【答案】D 【解析】在 Rt△ABC 中，，所以 （m）．故选 D． 5．已知 α 是锐角，则下列结论一定正确的是（　　） A． 随 α 的增大而减小 B． 的值可能大于 1 C．若 α，β 都是锐角，且 α < β，则 D． 的值随 α 的增大而增大 【答案】D 【解析】α 为锐角时，正弦、正切都随 α 的增大而增大，余弦随 α 的增大而减小，故 A、C 错误，D 正确；又 ，故 B 错误．故选 D． 6．一艘渔船在 A 处观测到灯塔 B 位于北偏东 40° 方向，同时观测到港口 C 位于南偏东 50° 方向，则 ∠BAC 的度数是（　　） A．10° B．90° C．100° D．130° 【答案】B 【解析】北偏东 40° 即方位角 40°，南偏东 50° 即方位角 180° − 50° = 130°，所以 ∠BAC = 130° − 40° = 90°．故选 B． 7．如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】过点 C 作 CD ⊥ AB，垂足为 D．由网格可知 D 也是格点，且 BD = 1，CD = 2，∠CDB = 90°，所以 ．故选 B． 8．如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8，AD = 10，点 E 在边 CD 上，将 △ADE 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由折叠得 AF = AD = 10，EF = DE．在 Rt△ABF 中，，所以 CF = BC − BF = 10 − 6 = 4．设 CE = x，则 EF = DE = 8 − x，在 Rt△ECF 中，，解得 x = 3．所以 ．故选 A． 9．如图，在 △ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，，AD ⊥ BC 于点 D，则 AB 的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】设 AD = h．在 Rt△ABD 中，；在 Rt△ACD 中，∠C = 45°，故 DC = h．由 ，得 h = 3，所以 ．故选 C． 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，CD ⊥ AB 于点 D，CE 是 AB 边上的中线，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由勾股定理得 AB = 10，由面积关系得 ．因为 CE 是斜边上的中线，所以 ，AE = 5．又 △ACD ∽ △ABC，得 ，故 ，DE = AE − AD = 1.4．因为 CD ⊥ AB，所以 ．故选 A． 二、填空题（共 6 题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知 ∠A 是锐角，，则 ________， ________． 【答案】； 【解析】设 ∠A 的对边为 3k，斜边为 5k（k > 0），则邻边为 ．所以 ，． 12．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 ，BC = 2，则 AB = ________． 【答案】 【解析】由 得 AC = 2BC = 4，所以 ． 13．某河堤的横断面是梯形，汛期水位升高，堤高为 6 m，迎水坡的坡度 ，则迎水坡的水平宽度为 ________ m． 【答案】9 【解析】由 得水平宽度 = 1.5 × 6 = 9（m）． 14．在 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，则 ________． 【答案】 【解析】过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D，则 ，，所以 ． 15．在 △ABC 中，∠B = 45°，，BC = 14，AD ⊥ BC 于点 D，则 AB 的长为 ________． 【答案】 【解析】设 AD = x．由 ∠B = 45° 得 BD = x；由 得 ．由 得 ，解得 x = 6，所以 ． 16．在 △ABC 中，AB = ，∠B = 30°，AC = 6，则 BC 的长为 ________． 【答案】 或 【解析】过点 A 作 AD ⊥ 直线 BC 于点 D．在 Rt△ABD 中，AD = AB·sin30° = ，BD = AB·cos30° = 6；在 Rt△ACD 中，． 当点 D 在线段 BC 上时，BC = BD + CD = ；当点 D 在 BC 的延长线上时，BC = BD − CD = ．两种情况都能与 AB，AC 构成三角形，故 BC 的长为 或 ． 三、解答题（共 9 题，共 86 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： （1）；（2 分） （2）；（3 分） （3）．（3 分） 【答案】（1）；（2）2；（3）． 【解析】（1）原式 ．（2 分） （2）因为 ，所以原式 ．（3 分） （3）原式 ．（3 分） 18．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c． （1）已知 c = 10，∠A = 30°，求 a，b；（4 分） （2）已知 a = 6，，求 c 及 ∠A，∠B．（4 分） 【答案】（1）a = 5，；（2），∠A = 60°，∠B = 30°． 【解析】（1）因为 ，所以 ；又 ，所以 ．（4 分） （2）；因为 ，所以 ∠A = 60°，∠B = 90° − 60° = 30°．（4 分） 19．如图，某校综合实践小组测量教学楼 AB 的高度．在水平地面上的 C 处测得楼顶 A 的仰角为 30°，沿 BC 方向前进 12 m 到达 D 处，测得楼顶 A 的仰角为 60°（点 B，D，C 在同一条水平直线上，AB ⊥ BC）． （1）求教学楼 AB 的高度；（4 分） （2）求观测点 C 到教学楼底端 B 的距离 BC．（4 分） 【答案】（1） m（约 10.4 m）；（2）18 m． 【解析】（1）设 AB = h．在 Rt△ABD 中，；在 Rt△ABC 中，．由 BC − BD = CD = 12 得 ，即 ，解得 ．所以教学楼 AB 的高度约为 10.4 m．（4 分） （2）（m）．（4 分） 20．如图，某村对建溪一段河堤进行加固，加固后的横断面为梯形 ABCD，AD ∥ BC，堤顶宽 BC = 4 m，堤高为 6 m，背水坡 AB 的坡度 ，迎水坡 CD 的坡度 ． （1）求背水坡 AB 的坡长；（3 分） （2）求堤底 AD 的宽．（5 分） 【答案】（1） m；（2）22 m． 【解析】（1）过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E．由 得 AE = BE = 6，所以 （m）．（3 分） （2）过点 C 作 CF ⊥ AD 于点 F，则 EF = BC = 4．由 得 FD = 2 × 6 = 12，所以 AD = AE + EF + FD = 6 + 4 + 12 = 22（m）．（5 分） 21．如图，一艘渔船在 A 处测得灯塔 P 位于北偏东 60° 方向，渔船沿正东方向航行 20 海里到达 B 处，此时测得灯塔 P 位于北偏东 30° 方向． （1）求灯塔 P 到航线 AB 所在直线的距离；（4 分） （2）已知灯塔 P 周围 15 海里内有暗礁．若渔船从 B 处继续沿正东方向航行，是否会有触礁危险？请通过计算说明．（4 分） 【答案】（1） 海里（约 17.3 海里）；（2）没有触礁危险． 【解析】（1）过点 P 作 PH ⊥ AB，交 AB 的延长线于点 H．由题意得 ∠PAB = 90° − 60° = 30°，∠PBA = 90° + 30° = 120°，所以 ∠APB = 180° − 30° − 120° = 30°，故 ∠PAB = ∠APB，从而 PB = AB = 20（海里）．在 Rt△PBH 中，∠PBH = 180° − 120° = 60°，所以 （海里）．（4 分） （2）渔船继续沿正东方向航行时，与灯塔 P 的最近距离就是 PH 的长．因为 ，所以渔船不会进入暗礁区，没有触礁危险．（4 分） 22．如图，某山山顶 B 处建有一座信号塔 AB（AB ⊥ 水平地面，A 为塔顶，B 为塔底）．在山脚水平地面上的 C 处，测得塔顶 A 的仰角为 45°，塔底 B 的仰角为 30°，已知塔底 B 到水平地面的高度（即山高）为 60 m．（参考数据：，结果精确到 0.1 m） （1）求观测点 C 到塔底 B 所在铅垂线的水平距离；（4 分） （2）求信号塔 AB 的高度．（6 分） 【答案】（1） m（约 103.9 m）；（2） m（约 43.8 m）． 【解析】（1）设过点 B 的铅垂线与水平地面的交点为 O，则 BO = 60．在 Rt△BOC 中，∠BCO = 30°，所以 （m）．（4 分） （2）在 Rt△AOC 中，∠ACO = 45°，所以 AO = CO = ，故 （m）．所以信号塔 AB 的高度约为 43.8 m．（6 分） 23．某测绘小组用无人机测量一座古塔 AB 的高度（AB ⊥ 水平地面，B 为塔底）．无人机悬停在塔一侧的 P 点，测得塔底 B 的俯角为 60°，塔顶 A 的俯角为 30°（点 P，A，B 在同一竖直平面内），此时无人机到水平地面的高度为 60 m． （1）求无人机与塔底 B 之间的水平距离；（3 分） （2）求古塔 AB 的高度；（4 分） （3）若无人机只在 P 点测得塔顶 A 的俯角为 30°，且仍知无人机到地面的高度为 60 m，能否求出塔高 AB？请说明理由，并给出一种可行的补充测量方案．（3 分） 【答案】（1） m（约 34.6 m）；（2）40 m；（3）不能，理由与方案见解析． 【解析】（1）设过点 P 的水平线与 AB 所在直线交于点 H，则 PH 就是所求的水平距离．在 Rt△PBH 中，∠BPH = 60°，BH = 60，所以 （m）．（3 分） （2）在 Rt△PAH 中，∠APH = 30°，所以 ，故 （m）．所以古塔 AB 的高度为 40 m．（4 分） （3）不能．只知一个俯角 30° 与无人机高度 60 m，只能确定塔顶所在的一条视线，塔顶在该视线上的位置不确定，塔高无法唯一确定．可行方案：再测出塔底 B 的俯角（本题为 60°），或测出无人机与塔底的水平距离 PH，即可按（1）（2）的思路求出塔高．（3 分） 24．如图，在 △ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，，AH ⊥ BC 于点 H． （1）求 AH 与 AB 的长；（4 分） （2）若 D 是 BC 的中点，求 的值；（4 分） （3）求 的值．（4 分） 【答案】（1）AH = 6，；（2）；（3）． 【解析】（1）设 AH = h．在 Rt△ABH 中，∠B = 45°，故 BH = h，；在 Rt△ACH 中，∠C = 60°，故 ．由 得 h = 6，所以 AH = 6，．（4 分） （2），，所以 ，．因为 AH ⊥ BC，所以 ．（4 分） （3）．由 △ABC 的面积 ，得 ．（4 分） 25．如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E，AB = 10，AE = 2． （1）求弦 CD 的长；（4 分） （2）求 的值；（4 分） （3）过点 C 作 ⊙O 的切线，交直线 AB 于点 F，求 CF 的长及 的值．（6 分） 【答案】（1）8；（2）；（3），． 【解析】（1）连接 OC．因为 AB = 10，所以 OA = OC = 5，OE = OA − AE = 3．在 Rt△OEC 中，．因为 CD ⊥ AB 且 AB 是直径，所以 CD = 2CE = 8．（4 分） （2）连接 BD．因为 AB 是直径，所以 ∠ADB = 90°；又 ∠ACD 与 ∠ABD 都对弧 AD，所以 ∠ACD = ∠ABD．由 ，得 ．（4 分） （3）因为 CF 是 ⊙O 的切线，所以 OC ⊥ CF，即 ∠OCF = 90°；又 ∠OEC = 90°，∠EOC = ∠COF，所以 △OEC ∽ △OCF，得 ，故 ，．（3 分） 因为 ，CE = 4，且 CE ⊥ EF，所以 ，即 ．（3 分） 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $