第三十二章 锐角三角函数 单元检测2026-2027学年人教版九年级数学下册

**基本信息** 锐角三角函数单元卷，融合2026多地中考真题，通过实际情境（地下车库改造、楼梯地毯）与几何函数综合题，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理运算）、语言（模型应用），适配单元复习巩固与中考衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数定义（tan60°）、解直角三角形（cosB计算）|结合网格、动态几何（第5、10题）| |填空题|5/15|特殊角三角函数（45°）、正方形中三角函数应用（第13题）|融入反比例函数（第15题）| |解答题|9/75|解直角三角形（第17题）、实际应用（地下车库改造，第22题）、圆与三角函数综合（第23题）|分层设计：基础计算（第16题）、尺规作图（第20题）、模型迁移（第24题）|

第三十二章 锐角三角函数 单元检测 (范围:第32章 时间:120分钟 满分:120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. tan60°的值为( ) A. B.1 C. D. 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则 cosB 的值是( ) A. B. C. D. 3.在△ABC中,∠C=90°,若 则 sinB 的值为( ) A. B. C. D. 4.(2026湖南中考)门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB 垂直,门CD 可绕C旋转,F 是门CD 与门吸EF 的接触点(门吸指门页打开后吸住定位的装置)，EF⊥AB 于点E.已知AC=a,EF=b,∠ACD=α,且a>b,则门吸EF 离墙AC的距离AE 为( ) A. a·tanα B.(a-b)sinα C.(a-b)cosα D.(a-b)tanα 5.如图，在边长为1的正方形网格中，格点A，B，D在圆上，C为圆上任意一点,则 sin∠BCD 的值为( ) A. B. C. D. 6.如图为一节楼梯的示意图,BC⊥AC,∠BAC=α,AC=5米.现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要( )米. A. B.5tanα+5 C. D. 7.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB 于点E,BD与CE 相交于点O，则图中线段的比不能表示sinA 的为( ) A. B. C. D. 8.如图，公路l上A，B 两点之间的距离为20m，已知B 在C的南偏西30°方向上，A 在C的南偏西60°方向上，则点C 到公路l的距离为( ) A.10 m B. C. D. 9.(2026武汉中考)如图,在△ABC 中,AB=5,BC=11,sinB= 则 的外接圆⊙O 的直径为( ) A. B. C. D. 10.如图, 是 上的一定点， 于点B,C,D分别是 上的一动点，且满足AC=BD,连接CD 交AB 于点E, 于点 H.当∠BAH 最大时, 的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.已知 则锐角a的度数为 12.在 中， 则 BC 的长是 13.(2026广西中考)如图,在正方形ABCD 中,E为CD边上一点,连接AE,BE.若 则BE 的长为 . 14.如图，甲，乙两栋楼相距30m，从甲楼A 处看乙楼顶部B 的仰角为 A 到地面的距离为18 m，则乙楼的高为 m.(参考数据： 15.(2026齐齐哈尔中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴正半轴上，E 是边AD 的中点， 点F 在边BC上, 反比例函数 的图象经过点E,F.若AD=6,则k的值为 . 三、解答题(共9 小题，共75分) 16.(本题6分)计算: 17.(本题6分)在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10, 求AC 的长. 18.(本题6 分)如图,在△ABC 中,∠C=45°,sinB= ,AC= 求BC 的长. 19.(本题8分)如图，双曲线 经过点C(1,m),在 x 轴上有A,B 两点,使得 且 求点 B 的坐标. 20.(本题8分)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°. (1)在直角边AC上求作一点D,连接BD,使∠ADB=2∠C;(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)在(1)的条件下,若CD=3AD,求tan∠C 的值. 21.(本题8分)在△ABC 中, AD是BC 边上的高，，求 BC 的长. 22.(本题10分)(2026河南中考)某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图. ①点C，B，D在同一水平线上，点E，A，F 在同一水平线上,CD∥EF; ②斜坡AB 的长为10m, ③车库限高2.7 m. 设计方案 如图2，保持点A 不动，将点 B 沿射线BD 平移到点B'，使 完成任务 任务一：求 的长； 任务二：调整限高.经计算，点C 到斜坡. 的距离约为3.47 m.在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为 m.(结果均保留一位小数) 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务(参考数据：sin26.4°≈ 23.(本题11分)如图,点 C 在以AB 为直径的⊙O 上,点 D 在BA 的延长线上,且∠DCA=∠CBA. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)G是半径OB 上的一点,过点G 作OB 的垂线交 BC 于点 F,交DC 的延长线于点 E.若 求CE的长. 24.(本题12分)【模型建立】(1)如图1,B 是线段CD上的一点, 垂足分别为C，B，D.求证：△ABC∽△BED; 【类比迁移】(2)如图2,直线y=3x+3与y轴交于点A,与x轴交于点 B，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°得到线段 BC. ①求点C 的坐标； ②直接写出直线AC 的解析式为 ； 【拓展延伸】(3)如图3，抛物线 与x轴的正半轴交于点A,直线AB交y轴于点B(0,-2),在直线AB 下方的抛物线上是否存在一点 P，使 若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 1. A 2. B 3. C 4. D 5. D 6. B 7. C 8. C 9. A 10. D 解: ∴可证△ACE≌△BDE,∴AE=BE.∵BH⊥CD,∴∠BHE=90°,∴点 H 在以BE 为直径的⊙O上运动,∴当AH 与⊙O 相切时,∠BAH 最大.连接OH,则此时∠OHA=90°. ∴此时 11.45°12.5 13.5 14.39 15.-24 解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠DEC=∠BCE, ∵AD=6,E为AD 的中点,∴DE=3,∴DC=2. ∵BC=AD=6,BF=BC,∴BF=2,CF=4. 令点 F 坐标为(-4,m),则点E 坐标为(-3,m+2),. ∴-4m=-3(m+2),解得m=6,∴点 F 坐标为(-4,6).将点 F 坐标代入 得k=-4×6=-24.故答案为一24. 16.解:原式=4+1+1=6. 17.解: 18.解:过点 A 作AD⊥BC 于点 D, ∵∠C=45°, 在Rt△ABD 中, ∴AB=3AD=3,. 19.解:过点C作CD⊥x轴于点D.由题意,知m=4, ∴C(1,4),∴OD=1,CD=4. ∵∠ACB=90°,∴∠BCD=∠CAB, 20.解:(1)如图所示; (2)设AD=x,则CD=3x, ∴AC=AD+CD=4x. 由(1)知BD=CD=3x, 21.解:如图1,当AD在△ABC的内部时, ∵AD 是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°, ∵∠ACD=45°,AC=2 ∴BD=4.∴BC=6; 如图2,当AD 在△ABC 的外部时, ∵tanB= ,∴DB=4,∴BC=2. 综上所述，BC的长为6 或2. 22.解:任务一:过点 A 作AH⊥CD,垂足为 H. ∵CD∥EF,∴∠B'AF=∠AB'H=18.4°, ∠BAF=∠ABH=26.4°. 在 Rt△ABH中,AB=10 m, BH=AB·cos26.4°≈10×0.90=9.0(m). 在Rt△AB'H 中, ∴BB'的长约为4.3m; 任务二：调整限高.经计算，点C 到斜坡AB'的距离约为3.47m.在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为3.4m.故答案为3.4m . 23.解:(1)连接OC.∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=∠DCA. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠DCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=∠ACB=90°, ∴∠OCD=90°,∴DC 是⊙O 的切线; (2)∵EG⊥OB,OC⊥DE, ∴∠ECF+∠OCB=∠BFG+∠OBC=90°, ∴∠ECF=∠BFG=∠EFC, ∴EC=EF.设OC=OA=r,则OD=r+2, ∴r=8, 设EC=EF=x,则EG=x+2,ED=x+6, ∴x=14,即CE=14. 24.解:(1)略; (2)①过点C作CG⊥x轴于点G.由 y=3x+3知A(0,3),B(-1,0),∴OA=3,OB=1.由(1)知△AOB≌△BGC,∴CG=OB=1,BG=OA=3,∴C(-4,1); ②直线AC 的解析式为 (3)存在, 过点 B 作BE⊥AB 于点 B,交 AP 于点E,过点 E 作EH⊥y轴于点H.由(1)知△BEH∽△ABO, ∵A(4,0),B(0,-2), ∴OA=4,OB=2, ∴OH=4, ∴E(1,-4),∴直线AP 的解析式为 联立 学科网（北京）股份有限公司 $