2026-2027学年苏科版数学九年级上册期中考试模拟卷02(测试内容：第1章一元二次方程---第3章圆）

（苏科2024版）九年级数学上学期 数学期中考试模拟卷02 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 2．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则m的值为（     ） A．1 B． C． D． 4．下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 8．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等；    ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形；    ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．④③ 10．如图，线段是半圆的直径，，点为半圆上的动点，分别过点、作的切线交于点，连接、，则面积的最大值是（     ） A． B．12 C． D．16 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13．如图，是的直径，弦，，则的度数是_______． 14．已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个实数根，则这个三角形的面积为________． 15．如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 16．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数 ，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分解方程：解方程： (1)． (2)． 18．（8分）如图，是的直径，是弦的延长线上的一点，的延长线交于点，且． (1)求证：． (2)连接，若，求的度数． 19．（8分）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根且满足，求的值． 20．（8分）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，与x轴交于点B．将直线向上平移，使它经过点O，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点C； (1)求m的值及点C坐标； (2)求四边形的面积． 21．（8分）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 22．（10分）坪山聚龙公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入达到元？ 23．（10分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 24．（12分）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 学科网（北京）股份有限公司 $ （苏科2024版）九年级数学上学期 数学期中考试模拟卷02 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义得到，求解获得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得， ． 2．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 3．若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则m的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由两根互为相反数得两根之和为0，结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：设方程的两根为，． ∵ 两根互为相反数， ∴ ． 由根与系数的关系得， ∴ ，解得． 当时，，符合题意． 4．下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题中“顶点在圆周的角”未指定两边都与圆相交，故错误； 由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题未指定条件，故错误； 由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题未指定，故错误； 由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题正确； ∴正确的结论有个． 故选：． 5．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 6．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 7．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 8．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设方程的两个根分别为和，通过韦达定理得到的两个等式，即可推导得出结论． 【详解】解：根据“倍根方程”的定义，设一元二次方程的两个根分别为和． ∴， 化简得； 又． ∴ ， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等；    ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形；    ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．④③ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①； 设点的坐标为，点的坐标为，表示出相关线段的长度，表示出两个三角形的面积进行比较即可判断②； 根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④； 根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即， 故①错误； ②设点的坐标为，点的坐标为， 则， ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，点重合，与题意不符， ∴与的面积不可能相等， 故②正确； ③如图所示， 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误； ④如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形， ∴当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故④正确； 综上，正确的选项为②④． 10．如图，线段是半圆的直径，，点为半圆上的动点，分别过点、作的切线交于点，连接、，则面积的最大值是（     ） A． B．12 C． D．16 【答案】C 【分析】令的圆心为点，连接，根据切线长定理证明，得出，得出，确定当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：如图，令的圆心为点，连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积最大，最大值为， 即面积的最大值是． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解：由反比例函数的定义可知，， ∴． 12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．如图，是的直径，弦，，则的度数是_______． 【答案】. 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 故答案为：. 14．已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个实数根，则这个三角形的面积为________． 【答案】6 【分析】由因式分解法求出或，然后根据三角形三边关系选出合适的第三边，再根据勾股定理逆定理得出三角形为直角三角形，进而可求出三角形面积． 【详解】解：， 或， 解得或， 当时，，满足三角形三边关系， 且，此时三角形为直角三角形， 则这个三角形的面积为：， 当时，，不满足三角形三边关系，故构不成三角形， 综上：这个三角形的面积为6． 15．如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 【答案】1.5 【分析】因为三角形为等边三角形，所以外接圆和内切圆共圆心，均为，过点作于点，利用直角三角形中对应边为斜边一半，求得长即为内切圆半径． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即其内切圆半径的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的内切圆和外接圆共圆心，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 16．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数 ，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为、，根据平行四边形的性质结合已知条件可得，根据反比例函数的的几何意义可得，进而可得，设点，则 ，进而根据面积关系列出方程，解方程求得的值，即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，则 ， 即，， ， ， ， 解得． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分解方程：解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）使用因式分解法解方程即可； （2）先化为标准形式后再使用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即或， ∴，． 18．（8分）如图，是的直径，是弦的延长线上的一点，的延长线交于点，且． (1)求证：． (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质与判定； （1）连接，根据等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，等量代换可得则，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三线合一，即可得证； （2）根据三角形的外角可得，根据是的直径，得出，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴ ∴ 又∵是的直径， ∴， ∴ 19．（8分）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根的判别式，求解即可； （2）利用根与系数关系，完全平方公式的变形计算，解答即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根 ， ； （2）解：根据题意，得， ， ， ， 整理得： 解得或 方程有两个实数根， ， 故， 舍去， 故符合要求． 20．（8分）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，与x轴交于点B．将直线向上平移，使它经过点O，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点C； (1)求m的值及点C坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2) 【分析】（1）把点代入可求出，得，；把代入，求出，得，接着求出直线的解析式，再联立方程组，解方程组即可得到点的坐标； （2）过点A，C分别向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，两直线相交于点P，运用分割法可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴． 解得． ∵， ∴ ∴点，． ∵反比例函数过点 ∴， ∴． ∴． ∵， ∴直线的解析式为． ∴ 解得或． ∵点在第一象限， ∴点C的坐标为． （2）解：如图，过点A，C分别向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，两直线相交于点P． ∴． ∴四边形是矩形． ∵点，点， ∴，． ∴， 当时，．解得． ∴点， ∴ ． ∴四边形的面积为． 21．（8分）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）坪山聚龙公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入达到元？ 【答案】(1)米 (2)元或元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （2）设日租金上涨元，则日租金收入，据此列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， ∴（舍去），， 故道路的宽为米． （2）解：设日租金上涨元，则日租金收入， 故， 整理得， 即， ∴，， ∴日租金上涨（元）或（元） 故当每个摊位的日租金上涨元或元时，美食节的日租金收入达到元． 23．（10分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)连接，，求的面积； (3)将一次函数的图像向下平移个单位长度，若平移后的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将代入，可求出，进而得到反比例函数，令求出的值即为的值，将代入可求出； （2）先求出点的坐标，根据，即可求解； （3）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 当时，， ， 将代入得， 解得； （2）如图， 由（1）可得一次函数的表达式为， 当时，， 解得， 点， ， ； （3）将一次函数的图像向下平移个单位长度为， 令， 整理得， 平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ， 解得，， 当时，，该函数过二、三、四象限，与反比例函数无交点， ． 24．（12分）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ， 又∵已知 ， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $