2026--2027学年苏科版九年级数学上册期中学情自测 （ 测试范围：第1章 一元二次方程～第3章 圆）

九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第8题）关于的一元二次方程满足，两个根分别为与，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】围绕“无一次项方程的根和”组织等式，关键是：大于零保证有非零实根，此时根和必为零。 【详解】方程两根互为相反数，故，解得。 【易错提醒】大于零保证有非零实根，此时根和必为零。 2．（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第12题）方程的两个根为，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】围绕“根和与有序线性条件”组织等式，关键是：与的系数不同，不能调换顺序；根差有正负。 【详解】，所以，得。故。 【易错提醒】与的系数不同，不能调换顺序；根差有正负。 3．设。若反比例函数同时经过和，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．不存在这样的反比例函数 【答案】D 【分析】两点的乘积相等会迫使，与第二点定义域矛盾。 【详解】由得，但的横坐标不能为零，且此时也违反反比例定义，所以不存在满足条件的反比例函数。 【易错提醒】代数解为零时不能忽略函数系数及定义域要求。 4．（改编自2026·盐城中考公开重排版第11题）某电器中，其中。若要使电流变为原来的，则电阻应（　　） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】反比例变化倍数互为倒数。 【详解】新电流为，所以新电阻为，应增大。 【易错提醒】电流减少，电阻不是增大。 5．（选自2026·宿迁中考公开重排版第8题）如图，直线与轴、轴分别交于、，与交于第二象限点和第四象限点，且在线段上，。则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比例确定的纵坐标，再求整条直线与另一交点。 【详解】由且，得。在双曲线上，故。，直线为。 联立得到，另一交点。直线交轴于，。 【易错提醒】在之间决定比例取向，不能把纵坐标当成。 6．（改编自2024·无锡新吴适应性，公开重排版第10题）圆上依次排列，弦与相交于。已知。则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相交弦角与同弧圆周角。与已知的互补，不相等。 【详解】在三角形中，，所以。同弧对应圆周角相等，。 【易错提醒】与已知的互补，不相等。 7．（改编自2024·泰州姜堰期中，公开重排版第11题）上半圆直径为，弧与弧相等，，其中、在上。已知。以、为两根、二次项系数为的一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等弧对称、勾股与根系数关系。以两段长度为根时应求根的和与积，不能把圆直径直接当常数项。 【详解】等弧使、关于过圆心的竖直直径对称，所以，，圆半径。故，两根和为、积为，方程为。 【易错提醒】以两段长度为根时应求根的和与积，不能把圆直径直接当常数项。 8．（改编自2025·苏州高新区一模，公开重排版第18题）对圆周及点作如下约定：若以为端点的任意射线与最多有一个公共点，则称“独立于”。圆的圆心为、半径为。下列点中独立于的是（　　） A．的点 B．的点 C．的点 D．的点 【答案】A 【分析】射线与圆周、新定义与边界。圆周上的起点本身也算公共点，不能遗漏。 【详解】严格位于圆内的点向任意方向的射线只与圆周相交一次，故满足。时，沿穿过圆心向圆内的射线同时含起点及另一圆周点，有两个公共点；时，过圆心的射线含两个圆周交点，均不满足。 【易错提醒】圆周上的起点本身也算公共点，不能遗漏。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第12题）若是方程的两个根， 则________。 【答案】 【分析】围绕“比值和转化为和积”组织等式，关键是：分母是，不能写成；注意负号。 【详解】、。所求为。 【易错提醒】分母是，不能写成；注意负号。 10．设是方程的两根，则以为两根的一元二次方程（二次项系数为）为________。 【答案】 【分析】围绕“平方换根后的新和积”组织等式，关键是：平方后的两根仍需计算新的和及积，不能只平方原系数。 【详解】，所以，，所求方程为。 【易错提醒】平方后的两根仍需计算新的和及积，不能只平方原系数。 11．（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第3题）若关于的方程的一个根为，则另一个根为________。 【答案】 【分析】围绕“先由已知根确定系数，再求另根”组织等式，关键是：二次项系数可能为负，根积保留符号。 【详解】代入得，所以。根积为，故另一根为。 【易错提醒】二次项系数可能为负，根积保留符号。 12．（改编自2024·南京建邺期末公开重排版第2题）、在上，且。则实数的所有值为________。 【答案】或 【分析】两点关于原点对称，把距离平方写成平方加一的平方。 【详解】令，则、。所以，得，，故。 【易错提醒】只能取正根，但可取正负两个值。 13．位于的第一象限分支，且都是整数。将向左平移个单位、向下平移个单位得到。若仍在第一象限，则点共有________个。 【答案】 【分析】先枚举正整数乘积八的点，再按平移后的严格象限约束筛选。 【详解】原点对为、、、。要求、，只有满足，得到，故共有个。 【易错提醒】落在坐标轴上的点不属于第一象限。 14．从圆外点向半径为的圆引切线，切点为。若，则________。 【答案】 【分析】切线长与圆心距的方程。与不能按半径直接相减，应使用直角三角形关系。 【详解】设，由切线垂直半径得，所以，。此时且，符合条件。 【易错提醒】与不能按半径直接相减，应使用直角三角形关系。 15．圆以原点为圆心、半径为，。圆上满足的两个不同点记为，则________。 【答案】 【分析】两定点距离平方差的等值直线及它截圆的弦长。平方差等值确定的是直线，不是距离和的极值；上下两个圆周交点均应保留。 【详解】设满足条件的点坐标为，则。由得。又，故，两个不同点为，所以。 【易错提醒】平方差等值确定的是直线，不是距离和的极值；上下两个圆周交点均应保留。 16．经过的圆与直线相切，该圆半径为________。 【答案】 【分析】定弦与固定切线确定圆。圆心不一定在给定弦上，需设其垂直平分线位置。 【详解】圆心在垂直平分线上，设为()，半径平方为。相切时，解得。半径为。 【易错提醒】圆心不一定在给定弦上，需设其垂直平分线位置。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第19题）解方程，并计算全部实数根的距离。 【答案】或，根距为。 【分析】围绕“公因式求根与数轴根距”组织等式，关键是：有共同因式时应先提取，不可直接相除。 【详解】移项并提取公因式，得，所以或。 根距为。不能直接约掉，否则会丢掉。 【易错提醒】有共同因式时应先提取，不可直接相除。 【评分标准】（3分）用公因式得到两根。 （2分）计算根距并说明无漏解。 18．（5分）（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第20题）已知关于的方程。 （1）证明无论取何实数，方程均有两个不相等的实数根。 （2）若两根互为相反数，求并求出两根。 【答案】（1）；（2），根为。 【分析】围绕“恒正判别式与根和条件”组织等式，关键是：根和为零后仍需核验存在性，不能把任意对称数当根。 【详解】，所以总有两个不相等的实数根。 两根互为相反数，则根和，得。代回得，两根为，符合题意。 【易错提醒】根和为零后仍需核验存在性，不能把任意对称数当根。 【评分标准】（3分）证明判别式恒正。 （2分）由根和求参数并核验根。 19．（6分）某班计划购置一批单价相同的学习用品，预算为元。商店决定每件降价元，使班级用同样的钱比原计划多买件。 （1）设原单价为元，列出方程并明确的范围。 （2）求原单价的可行实数值。 （3）若学习用品只能按整件购买，判断上述预算和增购件数能否同时实现，并说明理由。 【答案】（1），；（2），不能使原计划件数为整数，因此该数据在整件购买条件下不可实现。 【分析】围绕“分式建模转二次方程与整件可行性”组织等式，关键是：实际件数必须为整数，不能忽略预算与价格的精确条件。 【详解】原数量，降价后数量，所以，且。 两边乘得，解得，只保留。 因为无理数，为无理数，不能为件数。因此题设若要求完整件数，计划不可实现。 【易错提醒】实际件数必须为整数，不能忽略预算与价格的精确条件。 【评分标准】（2分）列出有定义域的分式等式。 （2分）转二次方程求可行实数单价。 （2分）判断完整件数不可实现并论证。 20．（6分）（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第19题）一个矩形的两边长分别是方程的两个实数根，为实数。 （1）求矩形存在时的取值范围。 （2）若矩形对角线长为，求及矩形周长。 【答案】（1）；（2），周长。 【分析】围绕“方程根作为边长后的几何可行性”组织等式，关键是：实际边长必须正，不能只筛判别式。 【详解】方程分解为，两根为。两边长均正当且仅当。 由勾股定理，，得，即，故或。 由保留，边长为、，周长。 【易错提醒】实际边长必须正，不能只筛判别式。 【评分标准】（2分）得到两正边的充要范围。 （2分）由对角线列勾股方程求参数。 （2分）筛选后给出周长。 21．（6分）（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）的图象上，点、满足。要求对该范围内每个，都有。 （1）将写成含的式子； （2）求的全部范围。 【答案】；或。 【分析】差值通分后分母在区间内有最大值，全称下界由最不利端点决定。 【详解】（1）。 （2）在时，，且时取到。所以差值的最小值为。要求等价于，即。 故或。上述范围保证，因分母不超过，所以所有都满足，充分性成立。 【易错提醒】给定的是的同支情形，不能套用跨支大小反转；最小差出现在最大分母处。 【评分标准】（2分）正确通分表达差值。 （2分）确定最不利端点及必要条件。 （2分）解范围并验证充分性。 22．（8分）（改编自2026·宿迁中考公开重排版第16题）同一物体在两台小孔成像装置中，像高均与物距成反比例。装置甲在时像高为；同一物距下，装置乙的像高总是甲的。 （1）求两装置像高关于的表达式； （2）若两台像高之和不超过，同时甲像高不小于，求物距的可行范围； （3）在该范围内，两像高之差的最大值是多少？ 【答案】，；；差最大为。 【分析】同物距比例决定两个系数比例，两个设计限制取交集，差也为正反比例。 【详解】（1），且，实际。 （2）由得；由得。故可行物距为，单位。 （3）随增大而减小，故最大值在时取到，为。 【易错提醒】分别计算两个限制，再取交集；不能只满足总高条件。 【评分标准】（3分）两函数及正定义域正确。 （3分）两限制取交集。 （2分）差函数端点最大及单位。 23．（8分）双曲线的第一象限分支上有点。过作竖线交直线于。 （1）求关于的表达式； （2）若，求所有符合条件的坐标； （3）若另要求在直线上方，则第（2）问保留哪一个点？说明理由。 【答案】；两点、；上方只保留。 【分析】竖直距离为纵坐标差的绝对值；两种符号分别给出一个正根。 【详解】（1），所以，其中。 （2）若，则，正根，得。若，则，正根，得。故全部点为、。 （3）在直线上方要求，即，故仅保留。 【易错提醒】距离方程有两种符号，不能先凭示意图删去一种。 【评分标准】（2分）列绝对值距离及定义域。 （4分）两种符号均解并筛正根。 （2分）判断直线上方保留点。 24．（8分）圆心为原点、半径为的圆与双曲线交于，四点按逆时针顺序连接，且在第一象限，的横坐标大于的横坐标。 （1）求坐标； （2）证明四边形是矩形； （3）求矩形面积。 【答案】、；矩形面积为。 【分析】第一象限的距离平方与乘积先求和差，第三象限交点由中心对称得到。 【详解】（1）设第一象限点坐标为，则、。所以、。由，得、，故两点为题述。 （2）圆及双曲线均关于原点中心对称，所以、。四边形两对角线在原点互相平分，故为平行四边形；两对角线都是圆的直径，长度相等，所以该平行四边形为矩形。 （3），，所以矩形面积为。 【易错提醒】四个交点需按圆周顺序连接；不可把同支两点误配为对角线端点。 【评分标准】（3分）求第一象限两点且排序正确。 （3分）中心对称及等长对角线证明矩形。 （2分）计算两边及面积。 25．（10分）（改编自2024·无锡新吴适应性，公开重排版第26题）如图，是圆在处的切线。在圆上，过作交圆于；过作交于。的延长线交于，交过的直线于，且。点在射线上且位于外侧。 （1）证明为圆的切线； （2）若，求。 【答案】（1）见证明；（2）。 【分析】平行弦对称、双切线逆判、弦心距与相似。虽经过圆上点，仍必须证明垂直，不能只以角等直接宣称相切。 【详解】（1）连接。且平行，故垂直，为中点，。设，则；平行，故。由半径等腰关系可得。所以，为切线。 （2），在直角三角形中。设半径、，由图中、、次序知。又，故，得。由，，所以。 【易错提醒】虽经过圆上点，仍必须证明垂直，不能只以角等直接宣称相切。 【评分标准】（4分）对称角关系及切线证明。 （3分）半径与弦心距。 （3分）相似比例求。 26．（10分）（改编自2024·扬州江都一模，公开重排版第26题）中，，在线段上。以为直径作圆，与圆相切于，连接。已知。 （1）证明； （2）求； （3）求三角形内部而在圆外部的区域面积。 【答案】（1）见证明；（2）均为；（3）。 【分析】切线、等腰半径角与组合区域面积。三角形与圆重合部分不是单一扇形，宜换为外部切线三角形减小扇形。 【详解】（1）设，因，。切线垂直，所以，得。又，故。 （2）半径，，所以。垂直，因此也是圆的切线，。在直角三角形中，由得，于是。，所以。 （3），从向作高，垂足到的距离为，所以高为。所求区域等于三角形减去扇形：三角形面积为，扇形面积，差为。 【易错提醒】三角形与圆重合部分不是单一扇形，宜换为外部切线三角形减小扇形。 【评分标准】（3分）角倍数证明。 （3分）两条切线长度。 （4分）区域分割及面积。 27．（10分）圆以原点为圆心、半径为，。竖直直线截圆于不同的两点、，在轴上方，在下方。 （1）写出、的长度及的范围； （2）当三角形为等边三角形或直角三角形时，分别求； （3）若，求三角形的面积。 【答案】（1），；（2）等边，直角；（3）。 【分析】圆的动弦、等腰三角形类型与退化根。同一退化根会在三种方程中反复出现，每次都要用几何定义域排除。 【详解】（1），所以，。定义域由、不重合得。 （2）因，等边要求，即，得或，其中退化，故只取。直角只能在，要求，即，得或，排除，保留。 （3）由，得，整理为，解得或，排除退化根。此时，到的距离为，所以面积。 【易错提醒】同一退化根会在三种方程中反复出现，每次都要用几何定义域排除。 【评分标准】（2分）长度与定义域。 （4分）等边和直角两类。 （4分）比例条件、根的筛选及面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 测试范围：第1章 一元二次方程~第3章 圆 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 答卷前请填写姓名、班级和考号。选择题选出唯一正确答案；非选择题在本卷预留区域作答，写出必要过程。考试结束后按教师要求交卷。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第8题）关于的一元二次方程满足，两个根分别为与，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第12题）方程的两个根为，且，则等于（　　） A． B． C． D． 3．设。若反比例函数同时经过和，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．不存在这样的反比例函数 4．（改编自2026·盐城中考公开重排版第11题）某电器中，其中。若要使电流变为原来的，则电阻应（　　） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 5．（选自2026·宿迁中考公开重排版第8题）如图，直线与轴、轴分别交于、，与交于第二象限点和第四象限点，且在线段上，。则为（　　） A． B． C． D． 6．（改编自2024·无锡新吴适应性，公开重排版第10题）圆上依次排列，弦与相交于。已知。则（　　） A． B． C． D． 7．（改编自2024·泰州姜堰期中，公开重排版第11题）上半圆直径为，弧与弧相等，，其中、在上。已知。以、为两根、二次项系数为的一元二次方程为（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2025·苏州高新区一模，公开重排版第18题）对圆周及点作如下约定：若以为端点的任意射线与最多有一个公共点，则称“独立于”。圆的圆心为、半径为。下列点中独立于的是（　　） A．的点 B．的点 C．的点 D．的点 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（改编自2024·无锡江南10月月考公开重排版第12题）若是方程的两个根， 则________。 10．设是方程的两根，则以为两根的一元二次方程（二次项系数为）为________。 11．（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第3题）若关于的方程的一个根为，则另一个根为________。 12．（改编自2024·南京建邺期末公开重排版第2题）、在上，且。则实数的所有值为________。 13．位于的第一象限分支，且都是整数。将向左平移个单位、向下平移个单位得到。若仍在第一象限，则点共有________个。 14．从圆外点向半径为的圆引切线，切点为。若，则________。 15．圆以原点为圆心、半径为，。圆上满足的两个不同点记为，则________。 16．经过的圆与直线相切，该圆半径为________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第19题）解方程，并计算全部实数根的距离。 18．（5分）（改编自2024·常州河海10月月考公开重排版第20题）已知关于的方程。 （1）证明无论取何实数，方程均有两个不相等的实数根。 （2）若两根互为相反数，求并求出两根。 19．（6分）某班计划购置一批单价相同的学习用品，预算为元。商店决定每件降价元，使班级用同样的钱比原计划多买件。 （1）设原单价为元，列出方程并明确的范围。 （2）求原单价的可行实数值。 （3）若学习用品只能按整件购买，判断上述预算和增购件数能否同时实现，并说明理由。 20．（6分）（改编自2024·南京金陵仙林第一周周练公开重排版第19题）一个矩形的两边长分别是方程的两个实数根，为实数。 （1）求矩形存在时的取值范围。 （2）若矩形对角线长为，求及矩形周长。 21．（6分）（改编自2026·南京鼓楼名校联盟期末公开重排版第13题）的图象上，点、满足。要求对该范围内每个，都有。 （1）将写成含的式子； （2）求的全部范围。 22．（8分）（改编自2026·宿迁中考公开重排版第16题）同一物体在两台小孔成像装置中，像高均与物距成反比例。装置甲在时像高为；同一物距下，装置乙的像高总是甲的。 （1）求两装置像高关于的表达式； （2）若两台像高之和不超过，同时甲像高不小于，求物距的可行范围； （3）在该范围内，两像高之差的最大值是多少？ 23．（8分）双曲线的第一象限分支上有点。过作竖线交直线于。 （1）求关于的表达式； （2）若，求所有符合条件的坐标； （3）若另要求在直线上方，则第（2）问保留哪一个点？说明理由。 24．（8分）圆心为原点、半径为的圆与双曲线交于，四点按逆时针顺序连接，且在第一象限，的横坐标大于的横坐标。 （1）求坐标； （2）证明四边形是矩形； （3）求矩形面积。 25．（10分）（改编自2024·无锡新吴适应性，公开重排版第26题）如图，是圆在处的切线。在圆上，过作交圆于；过作交于。的延长线交于，交过的直线于，且。点在射线上且位于外侧。 （1）证明为圆的切线； （2）若，求。 26．（10分）（改编自2024·扬州江都一模，公开重排版第26题）中，，在线段上。以为直径作圆，与圆相切于，连接。已知。 （1）证明； （2）求； （3）求三角形内部而在圆外部的区域面积。 27．（10分）圆以原点为圆心、半径为，。竖直直线截圆于不同的两点、，在轴上方，在下方。 （1）写出、的长度及的范围； （2）当三角形为等边三角形或直角三角形时，分别求； （3）若，求三角形的面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $