精品解析：广西壮族自治区百色市靖西市靖西中学2026-2027学年高二上学期11月阶段诊断数学试题

2026—2027学年高二阶段诊断 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，点，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 A. B. C. D. 4. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，方程表示圆，则的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 10. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 13. 已知向量，且，则实数___________． 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则点P的轨迹长度为_____________． 四、解答题 15. 已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． （1）求两点的坐标； （2）求的外接圆方程． 16. 已知圆C经过三点 （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 17. 设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点， （1）若的周长为16，求； （2）若，求椭圆的离心率. 18. 如图(1)所示,在中, ,,,、分别是、上的点,且,,将沿折起到的位置,使,如图(2)所示．若是的中点,求与平面所成角的大小; 19. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高二阶段诊断 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程． 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 故选：C. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标. 【详解】，可得焦点坐标为和. 故选：B 3. 在正方体中，点，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体棱长为，以为轴建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设正方体棱长为，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则即令，则， 即平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. 故选D. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则， 所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件. 5. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 7. 已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出定点P的坐标，再求出圆C的圆心C及线段CP长即可求解作答. 【详解】直线，即， 由解得，即，圆C：的圆心，， 所以所求圆的标准方程为. 故选：B 8. 如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，求出点、的坐标，再利用空间中两点间的距离公式求出线段的长. 【详解】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系 ， 则，，因为是的中点，所以， 因为，所以，所以，即线段的长为，故选B. 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式的应用，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，并求出相应点的坐标，考查空间想象能力，属于中等题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，方程表示圆，则的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】若方程表示圆， 则， 即，解得， 所以的值可以为 10. 如图，棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由及平面即可判断；B首先确定，得到，再由线平面垂直的判定、性质定理判断；C令为中点，连接，直线与所成角即为所求，应用余弦定理求其余弦值；D应用等体积法求点平面距. 【详解】A：由题意，而平面，即平面不成立，错； B：由、分别为、的中点，则，且， 所以，则，易得， 由底平面为等边三角形，则， 而，都在平面内，则平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，平面，，对； C：为中点，连接，则， 故直线与所成角，即为直线与所成角， 由题设易知：，，则，对； D：由，若到平面的距离为，且， 则，即，对. 故选：BCD 11. 在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， 设点，其中，则，， 所以，， 当时，，则，则， 所以，， 因为，所以，， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以， 解得. 故答案为： 13. 已知向量，且，则实数___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用空间向量坐标运算计算出向量与向量的坐标，然后由，最后根据空间向量坐标运算计算即可. 【详解】由， 所以， ， 又，所以， 即， 解得：， 故答案为：2. 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则点P的轨迹长度为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，首先证明平面，设平面，连接、，即可得到三棱锥为正三棱锥，求出、，再利用勾股定理表示，即可得到，从而得到轨迹长. 【详解】解：连接，因为四边形为正方形，则， 平面，平面，则， 因为，平面，平面， 平面，， 同理可证，，平面，平面， 设平面，连接、， 因为，，所以三棱锥为正三棱锥， 则为的中心，则，且内切圆的半径， 所以，，， 平面，平面，，即，， 因为，即，，解得， 所以点的轨迹是半径为的圆，因为，所以点的轨迹长为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为． （1）求两点的坐标； （2）求的外接圆方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由边上高线所在的方程及求得直线方程，结合边上中线所在直线方程即可求得的坐标；设，则点中点为，代入中线方程即可求解； （2）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解． 【小问1详解】 因为边上的高所在直线的方程为， 所以，则直线的方程为，即， 由得，，所以， 设，则点中点为， 所以，解得，即． 【小问2详解】 因为，， 所以的中点坐标为，， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 同理可得线段的垂直平分线方程为， 由得，，所以的外接圆圆心为， 所以的外接圆半径为， 所以的外接圆方程为． 16. 已知圆C经过三点 （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即可； （2）由弦长公式可得圆心C到直线的距离d，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方程，由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线的方程． 【小问1详解】 设圆C的方程为：， 将代入圆的方程得， 解得，，， 所以圆的方程为：， 即圆C的标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 设圆心C到直线l的距离为d，由题意可得， 可得，即， 当直线l的斜率不存在时，则过点的直线， 此时圆心C到直线的距离为，符合题意； 当直线l的斜率存在时， 设过点的直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 即直线l的方程为，即 综上所述，直线的方程为：或 17. 设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点， （1）若的周长为16，求； （2）若，求椭圆的离心率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而，，则，故，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率. （1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得.故. （2）设，则且.由椭圆定义可得. 在中，由余弦定理可得，即，化简可得，而，故.于是有.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率. 考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解. 18. 如图(1)所示,在中, ,,,、分别是、上的点,且,,将沿折起到的位置,使,如图(2)所示．若是的中点,求与平面所成角的大小; 【答案】. 【解析】 【分析】建立坐标系，分别计算各点坐标，计算平面法向量，结合向量数量积，计算夹角，即可得出答案． 【详解】如图,以C为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,. 所以,. 设平面法向量为. 则所以 则 故, 又因为 ,所以. 设与平面所成角的大小为 , 则. 故与平面 所成角的大小为 . 【点睛】本道题考查了直线与平面夹角问题，解决此类题型，可以通过构建空间直角坐标系，运用空间向量进行解题，即可得出答案． 19. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用空间向量法求出线面角的余弦值； （2）因为线面垂直得出，再应用线线平行得出比值. 【小问1详解】 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，.以为原点，的方向分别为轴､轴､轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则得，此时， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为； 【小问2详解】 ，设，则， 所以， 所以，当时，直线平面， 所以，所以， 所以线段上存在点使得平面，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $