精品解析：广西百色市凌云县中学2026-2027学年高二上学期11月阶段检测数学试题

高二年级阶段检测 （数学试卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 3 B. C. 0或3 D. 0或 3. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 4. 已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 原点到直线距离的最大值为 C. 若点，到直线的距离相等，则 D. 若直线经过一、二、三象限，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则最小值为3 11. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. （1）与y轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为__________. （2）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的标准方程为__________. 13. 已知到直线的距离等于3，则a的值为_________. 14. 已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标与的面积. 16. 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 17. 如图，是块矩形硬纸板，其中，为的中点，将它沿折成直二面角． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知双曲线的左，右焦点分别为. （1）若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； （2）已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 19. 已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且． （1）求的值； （2）已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级阶段检测 （数学试卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 2. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 3 B. C. 0或3 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 3. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】建系，分别求出所需的各面的法向量，再用法向量垂直与平行逐个选项求出即可. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设边长为2， 则， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量，平面的法向量为， 对A，因为，则可知与不平行，故A错误； 对B，因为，则与不垂直，故B错误； 对C，因为，所以与不平行，故C错误； 对D，因为，与垂直，故D正确； 故选：D. 4. 已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用法向量与所过点的坐标求得直线方程，利用点到直线的距离可求距离. 【详解】由题意可求得直线的方程为，所以原点O到l的距离为． 故选：D. 5. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先方程需要满足才是圆的方程，由点与圆的位置关系可知，当点在圆外时，点到圆心距离大于半径，即带点到圆的方程坐标，结果会大于0 【详解】由题意可知，解得或. 故选：C 6. 圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心，，公共弦AB的垂直平分线即为直线，利用两点式求出直线方程，化为一般式. 【详解】变形为，圆心为， 变形为，圆心为， 公共弦AB的垂直平分线即为直线， 即，整理得. 故选：D 7. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 8. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由几何体为正方体，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面D1EF的法向量，结合向量的点到平面距离公式求得点M到平面D1EF的距离，结合N为EM中点即可求解 【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1）， ＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1）， 设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2）， ∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为 故选：D． 【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 原点到直线距离的最大值为 C. 若点，到直线的距离相等，则 D. 若直线经过一、二、三象限，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线定点可判选项A；当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值，可判选项B；根据两点间的距离公式可判选项C；根据条件列出不等式组求解可判选项D 【详解】将化为， 令，即得，即直线过定点，故A对； 当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值， 即原点到直线距离的最大值为，故B对； 点，到直线的距离相等， 即， 即，解得，或，故C错； 若直线经过一、二、三象限，则直线在x轴的截距为负、y轴的截距为正， 令，则；令，则，则， 即，且或，所以，故D对； 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 圆：与圆恰有3条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，则最小值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的两点式方程的性质，判断选项A的正误；根据直线截距的概念，判断选项B的正误；根据两圆的位置关系，判断圆的公切线数目和圆上点的距离的最小，判断选项C、D的正误，求出结果即可. 【详解】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当经过点和时，直线方程为，在轴和轴上截距都为0，所以B错误； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且，所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，圆的标准方程为，则圆心，半径， 圆的标准方程为，则圆心，半径， ，则圆外离，则两圆上点的最小距离，所以D正确； 故选：CD. 11. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. （1）与y轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为__________. （2）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的标准方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：利用“圆与直线相切时半径等于圆心到该直线的距离”求出半径，再代入圆的标准方程即可直接写出结果； 第二空：先按“圆心在轴正半轴”设出含参数的圆心坐标，借助点到直线的距离公式确定圆心，再用圆上一点到圆心的距离求出半径，最后写出圆的标准方程. 【详解】第一空：圆心为，圆与轴相切，可得圆心到轴的距离等于半径，因此， 所以该圆的标准方程为； 第二空：圆心C在轴正半轴上，设圆心，其中， 圆心到直线的距离为，解得，即圆心C为， 点在圆上，所以， 故圆C的标准方程为. 13. 已知到直线的距离等于3，则a的值为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 14. 已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出点的轨迹，然后再用点的坐标表示，然后建立方程组，求解即可. 【详解】设，， 所以有， 因为点在圆上， 所以有， 显然，得， 故联立，得， 由题可知方程有解， 得，解得. 因为，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求点轨迹时用相关点法；可以数形结合易知为直线斜率. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标与的面积. 【答案】（1） （2），20 【解析】 【分析】（1）由AC边上的高BH所在直线方程为可得直线BH的斜率为1，根据垂直时斜率乘积为-1可得直线AC的斜率为-1，且过即可得到AC边所在直线方程； （2）联立直线AC和直线CM，即可求出顶点C的坐标．求出AC的长和 B到AC的距离，结合面积公式即得. 【小问1详解】 ∵，，∴，∴方程为：，即. 【小问2详解】 联立解得，. 设，则，∴，∴. ∴，到直线距离为，而. ∴的面积为. 16. 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程. 【详解】解：设点 则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为 （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即. （2）由条件可知：，的面积为2，则的高为， 又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为. 直线方程为，设，则有，即或 又，解得： 或 则直线为：或 【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用.. 方法点睛：（1）设出交点坐标 （2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标. 17. 如图，是块矩形硬纸板，其中，为的中点，将它沿折成直二面角． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，取中点，连接，可得两两垂直，所以以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再与比较可得结论； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由题设可知，取中点，连接，， 因为，所以， 又二面角为直二面角，所以平面， 因为， 所以，所以， 取中点，连接，则∥，所以， 所以以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系(如图)， 则， 所以， 设是平面的法向量，则 ，令，则， 所以，所以∥， 所以平面； 【小问2详解】 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 平面的法向量， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知双曲线的左，右焦点分别为. （1）若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； （2）已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线. （2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积. 【小问1详解】 令双曲线的半焦距为，依题意，， 由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 由双曲线的定义可得， 所以的周长为, 由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为， 即点在线段上, ∵，所以直线的方程为：， 即，将其代入，解得或（舍去）， 因此点.所以 19. 已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且． （1）求的值； （2）已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点． 【答案】（1）； （2） 点在抛物线上，设直线，点， 由消去x得，，， ， 整理得，将代入直线，得， 即，所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）设点，由抛物线定义可得，即可求出答案. （2）设直线，，联立方程组，得，根据，可得，代入直线方程即可. 【小问1详解】 显然点，由抛物线定义可知，，而，解得， 所以抛物线方程为：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $