精品解析：甘肃兰州市某校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试卷

西北师大附中2026—2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式. 【详解】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D 2. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，即，解得或； 所以“”是“”的充分且不必要条件. 3. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 联立，解得. 故选：C. 4. 直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出A，B点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出AB中点即为圆心，AB长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可. 【详解】由题： 法一：根据圆的直径式方程可以得到： 以线段AB为直径的圆的方程为，即， 故选：B. 法二：AB中点为(2,1)， 故以线段AB为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为， 所以圆的方程为，展开化简得：， 故选：B. 5. 设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合两点式斜率公式求解斜率，然后数形结合求解范围. 【详解】由于直线经过定点，且， 结合图形可知直线与线段有交点，则或. 6. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线所过定点，再由点到定点的距离为，点到直线的距离的最大值求解. 【详解】解：直线可化为：， 由，解得，所以直线过定点， 点到直线的距离的最大值为： ， 故选：B 7. 若等比数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，利用等比数列片段和的性质直接写出. 【详解】，， 由等比数列片段和的性质：，，，，…成等比数列， 所以，则． 故选：D 8. 已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析得到点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，设圆关于的对称圆为圆，转化为两圆上的点，的距离的最小值，由于两圆外离，点到的距离的最小值的两倍即为所求，得到答案. 【详解】点，的“对称距离”， 相当于点关于直线：的对称点与点的距离， 所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上， 又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离． 所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值， 也即点到的距离的最小值的两倍， 其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即， 所以所求最小值为． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，推出，即可得到数列的单调性，从而判断A、B、D，再利用作差法判断C． 【详解】因为， 所以，， 故，故A、B正确； ，，所以单调递增， 则， 所以，则，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 10. 圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与圆相交 B. 的最小值是 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，比较与圆的半径的大小关系，可判断A选项的正误；计算出的最小值，可判断B选项的正误；计算出切线长的最小值，可判断C选项的正误；计算出直线与曲线相切时以及直线过点时的值，数形结合可判断D选项的正误. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 对于A选项，圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相离，A错； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，如下图所示： 从点向圆引切线，设切点分别为、，连接，则， 则， 当时，取得最小值，此时取得最小值，即，C对； 对于D选项，由得，即， 所以，曲线表示圆的上半圆， 而直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则，解得， 当直线过点时，则，解得. 由图可知，当与曲线有两个不同的交点时，的取值范围是，D对. 故选：BCD. 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可． 【详解】初始数列：1，4； 第一次成长：1，4，4，乘积,； 第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：， ；故A正确 记次“美好成长”后的数列有项，则，即， 又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列， 故，， 所以，故B正确 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 故 ； 故， 则，故C错误， 由此， 因此数列为等比数列，首项为，公比为3； 故，解得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 13. 已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意得到恒成立；参变分离后转化为，再根据求出，即可得到实数的取值范围. 【详解】若数列为递增数列，则恒成立，即恒成立， 所以恒成立， 因此；又因为，所以，因此，解得. 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，得到，进而得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接，则， 又因为，所以，即， 即，即，因式分解得， 解得，即点横坐标的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点． （1）求直线CD的方程； （2）求过点A且与直线DE垂直的直线． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答. （2）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答. 【小问1详解】 在平行四边形ABCD中，，，，则，则点， 直线CD的斜率，则有，即， 所以直线CD的方程是. 【小问2详解】 依题意，点，则直线DE的斜率， 因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，方程为，即， 所以所求方程是. 16. 已知数列的前项和为，且，，在数列中，，且，． （1）求证：是等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：且， 是首项为4，公比为2的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则， 所以， 所以． 17. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）设， 由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA，OB斜率之和为定值. 【解析】 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：， 因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）略 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 依题意得，解得 ，即； 【小问2详解】 ①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中2026—2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 数列的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若等比数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与圆相交 B. 的最小值是 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的通项公式为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________ 13. 已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，则实数的取值范围是______． 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点． （1）求直线CD的方程； （2）求过点A且与直线DE垂直的直线． 16. 已知数列的前项和为，且，，在数列中，，且，． （1）求证：是等比数列； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $