精品解析：甘肃酒泉市部分校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：湘教版必修第二册第5章，选择性必修第一册第1章～第2章第6节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 3. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 两平行线与间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知圆与圆外切，则（ ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 7. 在等比数列中，，则（ ） A. 150 B. 125 C. 100 D. 75 8. 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，（，），则（ ） A. B. C. D. 10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为2”，事件“点数为奇数”，事件“点数不小于3”，事件“点数不大于2”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与C互斥 C. B与D互为对立 D. C与D互为对立 11. 已知圆：，直线过原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平分圆，则的方程为 B. 若与圆相切，切点为，则 C. 若与圆相交于，两点，则面积的最大值为 D. 若过点，点在圆上，则到的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与互斥，且，，则___________． 13. 若直线与直线平行，则实数__________. 14. 已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，三点． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若，，三点共线，求的值． 16. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 17. 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7. （1）若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； （2）若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的概率. 18. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 19. 已知数列的前项和为，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求； （3）已知数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：湘教版必修第二册第5章，选择性必修第一册第1章～第2章第6节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由直线经过，两点， 可得直线的斜率为． 2. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 3. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知半径为：，故圆的方程为：. 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一，根据等差数列通项公式的基本量的计算，即可求出结果；方法二，利用等差数列通项公式的性质，即可求出结果. 【详解】方法一：设等差数列的公差为， 由，，得， 所以，； 方法二：因为数列是等差数列，所以， 即，解得. 故选：B 5. 两平行线与间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条平行线间距离公式，即可求解. 【详解】两平行线与间的距离为，故B正确． 6. 已知圆与圆外切，则（ ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆外切建立方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切，所以，即，解得. 故选：D. 7. 在等比数列中，，则（ ） A. 150 B. 125 C. 100 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】法一，利用等比数列通项公式求出，进而可求解，法二，由，成等比数列，即可求解. 【详解】方法一：设等比数列的公比为，由， 得，所以， 所以. 方法二：设等比数列的前项和为， 则， 且，成等比数列， 所以，解得. 8. 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】从，，，，这五个数中任取两个数， 有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、6和8、6和9、7和8、7和9、8和9共10种取法， 取出的两个数互质的可能有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、7和8、7和9、8和9共8种， 故这两个数互质的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过关系式的赋值运算，即可求出各选项的数值. 【详解】当，，解得：，A选项错误； 当，，B选项正确； 当，，C选项正确； 当，，D选项错误. 10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为2”，事件“点数为奇数”，事件“点数不小于3”，事件“点数不大于2”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与C互斥 C. B与D互为对立 D. C与D互为对立 【答案】ABD 【解析】 【详解】“点数为2”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，故A正确； “点数为2”与“点数不小于3”不能同时发生，所以与互斥，故B正确； 当“点数为1”时，与同时发生，故C错误； “点数不小于3”与“点数不大于2”不能同时发生且至少有一个发生，所以与互为对立，故D正确． 11. 已知圆：，直线过原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平分圆，则的方程为 B. 若与圆相切，切点为，则 C. 若与圆相交于，两点，则面积的最大值为 D. 若过点，点在圆上，则到的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算圆心，半径，直线方程，使用点到直线的距离，直线与圆相交的弦长公式求解. 【详解】若平分圆，则直线过圆心，直线斜率为：， 故直线方程为：，即，选项A正确； 若与圆相切，切点为，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得，选项B正确； 若与圆相交于，两点，设圆心到直线的距离为，则， 所以面积为：， 令，，当，即时，面积取得最大值为2，选项C错误； 若过点，则直线斜率为，直线方程为：， 圆心到直线的距离为：，到的距离的最大值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件与互斥，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用互斥事件与和事件的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 13. 若直线与直线平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，列出方程求解后，再排除两直线重合的情况，即可得答案. 【详解】由， 得， 解得或， 当时， 与重合，不满足题意； 当时，符合题意. 故答案为： 14. 已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，三点． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若，，三点共线，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率． 又，所以，解得． 【小问2详解】 由题意知， 因为，，三点共线，所以，即，解得． 16. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 17. 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7. （1）若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； （2）若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式求解即可. （2）根据独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 小郭和小张每下一盘棋，记“小郭胜”为事件，“和棋”为事件， 则，， 因为事件，互斥，所以， 所以. 【小问2详解】 记“小郭第盘胜”为事件，则，所以， 又，相互独立，所以， 所以小郭至少有一盘棋胜的概率. 18. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案. 【小问1详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离. 所以， 解得，或. 所以直线的方程为或，即或. 19. 已知数列的前项和为，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求； （3）已知数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）由，得，即， 所以数列是公差为1的等差数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推式得，结合等差数列的定义即可证； （2）由（1）写出的通项公式，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求； （3）根据已知求得，再由数列不等式恒成立得对任意的恒成立，结合右侧的单调性确定参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得，所以，又， 所以，解得，则． ， ， 以上两式相减，得 ， 所以． 【小问3详解】 因为数列的前项和，当时， 以上两式相减，得， 又，满足上式，所以． 因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立． 令， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $