精品解析：甘肃省兰州大学附属中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

兰大附中 2026-2027 年度高二上学期期中考试（数学试卷） 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟，请将答案填在答题卡上. 第一卷（选择题共 58 分） 一、单项选择题：（本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题 5 分，共 40 分.） 1. 直线的倾斜角是（    ） A. B. C. D. 2. 若数列的前四项为 ，则此数列的通项公式不能是（　　） A. B. C. D. 3. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 4. “”是“点在圆外”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 6. 在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、多项选择题：（本题共 3 小题，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 已知数列 满足 ，， 的前 项和为 ，则下列说法正确的有（　　） A. 对任意 ， 不可能为常数数列 B. 当 时， 为递减数列 C. 若 ，则 （） D. 若 ，则 第二卷（非选择题共 92 分） 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知等比数列的前n项和为，则______． 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 14. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前 项和． 16. 已知直线：． （1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程． 17. 在各项都是正数的数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 18. 已知中，顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为． （1）求顶点、的坐标； （2）过作直线，要使、两点到过点的直线的距离相等，求直线的方程． 19. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足的正整数的最大值； （3）若，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰大附中 2026-2027 年度高二上学期期中考试（数学试卷） 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟，请将答案填在答题卡上. 第一卷（选择题共 58 分） 一、单项选择题：（本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题 5 分，共 40 分.） 1. 直线的倾斜角是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率为，再结合倾斜角与斜率的关系，从而求解. 【详解】由题意得：直线的斜率，解得：，故C项正确. 故选：C. 2. 若数列的前四项为 ，则此数列的通项公式不能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别使，计算的值是否符合即可. 【详解】对于A，当时，依次为，故此数列的通项公式可以为. 对于B，当时，依次为，故此数列的通项公式可以为. 对于C，当时，依次为，故此数列的通项公式可以为. 对于D，当时，，故此数列的通项公式不可以为. 3. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 4. “”是“点在圆外”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在圆外得求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系. 【详解】将化为标准方程，得 当点在圆外时，有，解得 ∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 6. 在数列中，，对任意的，有，则当取得最大值时，（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先将已知等式变形，构造等差数列，利用等差数列的通项公式求，再结合二次函数的图象与性质即可求得当取得最大值时的值. 【详解】由，得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. 易知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取得最大值，（因为，所以）. 故选：B. 7. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出两个方程的根分别为和，由韦达定理及等差数列的前项可得等差数列的前四项分别为，再由韦达定理配对组合并求出，从而可得所求值. 【详解】设两个二次方程 、 的根分别为和， 由韦达定理可得：，，因此四个根的和为. 因为已知四个根组成一个首项的等差数列，设公差为， 由等差数列前项和公式：，解得 . 因此四个根按顺序为：​。 根据两组根的和都为，可知配对方式只能是​和​为一组、和为另一组. 由韦达定理，两根之积分别对应和，则可取，. ​ 故. 8. 已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推式，先求出，再结合时，，化简推得是以为首项，公差为2的等差数列，求出，进而求出，根据的定义，求得，解不等式即得答案. 【详解】由题意，当时，，因，则由解得：， 当时，因，可得，即，两边取平方整理得， 即是以为首项，公差为2的等差数列，故， 于是，则， 由可得：，解得，所以正整数的最大值为5. 故选：D. 二、多项选择题：（本题共 3 小题，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设得，再求出截距并列方程求参数值即可. 【详解】当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或. 故选：AC 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系列式求解判断B；求出平行线间距离判断C；求出斜率范围，进而求出倾斜角范围判断D. 【详解】对于A，直线的斜率为，它的一个方向向量为，即，A正确； 对于B，由直线与直线相互垂直， 得，解得或，B错误； 对于C，直线，即，所求距离为，C正确； 对于D，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得或，D正确. 11. 已知数列 满足 ，， 的前 项和为 ，则下列说法正确的有（　　） A. 对任意 ， 不可能为常数数列 B. 当 时， 为递减数列 C. 若 ，则 （） D. 若 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：令 解得 ，存在 使数列为常数列，故 A 错；B：作差得 ，证 时所有 ，故差为负、数列递减，B 对；C：证 时 ，得 ，对倒数和放缩后恰好得到 ，C 对；D：对递推式放缩得 ，递推得到 ，D 对. 【详解】因为，，故. 对于A，当时，，即数列为常数数列，故A错误； 对于B，当时，， 若存在，使得等号成立，则，故，故，依次有，矛盾，故， 则，即，所以为递减数列，故B正确； 对于C，已知 ，递推关系为 ，且所有 ， 由基本不等式得， 当且仅当 即 时取等号，当 时，，因此， 假设当 （）时 ，对递推式变形得， 由 可知且，故，即， 由数学归纳法，对所有 ，都有 ，因此， 当 时，， 因此不等式（）成立，故C正确． 对于D，由得，由C知，当时，， 故，则， 故，当n＝2时，，此时等号成立，则 ，故D正确. 第二卷（非选择题共 92 分） 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知等比数列的前n项和为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：由求，再根据时也符合即可求解；方法二：根据等比前的形式即可求解. 【详解】方法一：当时，； 当时，， 又为等比数列，所以，则． 方法二：等比数列的前n项和为的形式，因为，则． 故答案为：. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】用对称性求关于直线的对称点，再应用点斜式写出直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，即， 依题意在反射光线上，又也在反射光线上， 所以，故所求方程为，整理得． 14. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前 项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，求得和，结合等差、等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设的公差为，因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以， 因为，且公比，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）知：且，可得， 所以数列的前项和. 16. 已知直线：． （1）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，即可得到结果；（2）求出直线与坐标轴的交点，表示出三角形的面积，结合二次函数的最值，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题，直线：，且． 令，得，得； 令，得，得，即． 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为． 此时直线方程为， 化简可得. 17. 在各项都是正数的数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，所以． 所以． 因为，所以，． 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式因式分解，两边约去正数，构造新数列求通项； （2）对进行裂项，利用裂项相消法，求出前n项和，再利用放缩证明不等式. 【小问1详解】 由， 得， 又，所以． 又，所以数列是首项为6，公差为4的等差数列． 所以，即． 【小问2详解】 略 18. 已知中，顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为． （1）求顶点、的坐标； （2）过作直线，要使、两点到过点的直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） ， （2） 或 【解析】 【分析】(1)利用互相垂直的直线斜率乘积为，可设的方程，进而求出的方程；联立与中线的方程求出点坐标.设出点坐标，利用中点公式表示出中点的坐标，代入方程，并结合点在上，联立方程组求得点坐标. (2)分两种情况讨论：当直线与平行时，以及当直线经过线段的中点时，分别利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由题意可设直线的方程为， 则，解得， 故直线的方程为. 因为是边上的中线，点是直线与直线的交点， 联立方程组： ，解得， 所以点的坐标为. 设点，则的中点的坐标为. 因为点在直线上， 所以，化简得①. 又因为点在高线上， 所以②. 联立①②：，解得， 所以点的坐标为. 综上所述，顶点、的坐标分别为，. 【小问2详解】 要使过点的直线上，、两点到的距离相等，分两种情况： 情况一：直线与直线平行. 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 情况二：直线经过线段的中点. 线段的中点坐标为，即. 此时直线过点和点， 其斜率， 所以直线的方程为，即. 经检验，直线到和的距离分别为和，不相等，故舍去. 综上所述，直线的方程为或. 19. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足的正整数的最大值； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：因为，，所以， ，所以， 又，所以，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）99 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知递推式取倒数后变形，利用等比数列定义验证与的比值为常数，从而证明数列为等比数列. （2）表示出，求和得到，再根据数列的单调性以及不等式条件，通过代数确定满足的最大正整数. （3）由已求得的代入表达式，得，利用错位相减法求和，得到数列前项和的表达式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以， 记， 所以， 因为，所以为递增数列， ，， 所以使得成立的正整数的最大值为99． 【小问3详解】 由（2）得，记的前项和为， 则， 上式两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $