江苏省南京市雨花台中学岱山分校2026-2027学年高一上学期10月学情调研数学试卷

2026-2027学年江苏省南京市雨花台中学岱山分校高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.命题：“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为(    ) A. B. C. D. 3.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.“关于x的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 5.某实验室培养细菌，细菌数量每周按的增长率增长.经过8周，细菌总数为最初的倍.若继续培养4周，细菌总数大约是最初的(    ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6.已知实数a，b，c满足且，则下列不等关系一定正确的是(    ) A. B. C. D. 7.对满足的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.若关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知关于x的不等式的解集为，则(    ) A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10.已知实数a满足，下列选项中正确的是(    ) A. B. C. D. 11.已知正数a，b满足，则下列结论正确的是(    ) A. ab的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为3 D. 的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若集合中至多有一个元素，a的取值范围是        . 13.已知函数在内有两个零点，则实数m的取值范围是        . 14.已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合B的元素的和为        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算： ； 16.本小题15分 已知集合，集合 当时，求，； 若，求实数m的取值范围； 若集合B为非空集合，且是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 设 若命题“，使不等式”为假命题，求实数m的取值范围； 解关于x的不等式 18.本小题17分 大型仓库内有互相垂直的两个墙面OA、现拉一根直线型挡板AB，两个端点A、B分别落在这两面墙面上.为了合理利用仓库，准备在区域内建造一个矩形储物区OMPN，要求点M在墙面OA上，点N在墙面OB上，且挡板AB恰好经过点P，设OB的长度为x米. 若挡板AB总长20米，当x的取何值时，的面积最大？ 已知米，米. ①若区域的面积不低于48平方米，则x的取值范围为多少？ ②若在两块三角形区域和内铺上防滑地砖，则x取何值时，地砖用料最省？ 19.本小题17分 如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，，使得，则称A为集. 分别判断与是否为集； 对于集…，，设，求证：； 当时，若，求集A中所有元素的和的最小值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省南京市雨花台中学岱山分校高一（上）学情调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.命题：“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则命题：“，”的否定为：， 故选： 利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题． 2.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由，解得，所以集合 因为函数的值域为所以 所以， 图中阴影部分所表示的集合是 故选： 解不等式可得集合A，由函数的值域可得集合B，再根据Venn图以及集合的交并补，可得答案． 本题主要考查分式不等式的解法，Venn图表示交并补混合运算，考查运算求解能力，属于基础题． 3.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误． 故选： 由已知结合二次根式与分数指数幂的相互转化分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了二次根式与分数指数幂的相互转化，属于基础题． 4.“关于x的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：关于x的不等式对恒成立，即对恒成立， 又，当且仅当时，即，取等号， 则， 结合选项“关于x的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件为 故选： 根据一元二次不等式恒成立与充分不必要条件相关知识可解． 本题考查一元二次不等式恒成立与充分不必要条件相关知识，属于基础题． 5.某实验室培养细菌，细菌数量每周按的增长率增长.经过8周，细菌总数为最初的倍.若继续培养4周，细菌总数大约是最初的(    ) A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】D  【解析】解：设最初的细菌数量为m，经过8周，细菌总数为最初的倍，即， 故，， 所以，若继续培养4周，细菌总数大约是最初的倍． 故选： 设最初的细菌数量为m，由已知可得出，再利用指数运算可求得结果． 本题考查指数运算，属于基础题． 6.已知实数a，b，c满足且，则下列不等关系一定正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为且， 所以或， 对A：若，则，若，则，A错误； 对B：，， ，B错误； 对C：由或，知且， ，C正确； 对D：当时，有，从而， 当，则且， ，D错误． 故选： 由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、 本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 7.对满足的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为任意正实数x、y满足， 所以， 当且仅当，时取等号， 要想任意正实数x、y，不等式恒成立， 只需 故选： 利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法进行求解即可． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 8.若关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据题意，， 若关于x的不等式恰有2个整数解，则， 方程的两根为3和， 若，则， 此时不等式的解集为，此时有，解可得， 若，则， 此时不等式的解集为，此时有，解可得， 综合可得：或，即a的取值范围为 故选： 先因式分解不等式，分析a的符号确定解的区间形式，结合整数解的个数限定根的范围，进而求得a的取值范围． 本题主要考查一元二次不等式的解法及整数解限定问题，属于中档题 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知关于x的不等式的解集为，则(    ) A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AB  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若不等式的解集为，则有，A正确， 对于B，不等式的解集为， 则方程两根为和2，则有， 则有，， 此时，B正确； 对于C，由B的结论，，则不等式，即， 又由，则不等式为，其解集为，C错误； 对于D，不等式，即， 由于，不等式为，解可得或，D错误． 故选： 根据题意，由一元二次不等式的解法分析a、b、c的关系，由此分析选项可得答案． 本题考查一元二次不等式的解法以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题． 10.已知实数a满足，下列选项中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】解：， ， ，故选项A正确， ， ，故选项B错误， ， ，故选项C正确， ， ， ，故选项D错误， 故选： 由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了数学公式的应用，是基础题． 11.已知正数a，b满足，则下列结论正确的是(    ) A. ab的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为3 D. 的最小值 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 由对选项中各式变形，利用基本不等式求解即可． 【解答】 解：因为正数a，b满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立， 解得，所以，故ab的最大值为4，故A正确； ， 即，又， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又b为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，且，即，时等号成立，故D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若集合中至多有一个元素，a的取值范围是        . 【答案】  【解析】解：当时，方程为一元一次方程，解得，此时满足集合至多有一个元素的条件； 当时，方程为一元二次方程，集合A至多有一个元素等价于该方程无实根或有两个相等的实根， 则，解得 综上，a的取值范围是 故答案为： 根据a讨论方程解的情况，即得结果． 本题主要考查根据集合中元素的个数求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题． 13.已知函数在内有两个零点，则实数m的取值范围是        . 【答案】  【解析】解：因为函数在内有两个零点， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是 故答案为： 由二次函数根的分布求解即可． 本题考查了由二次函数根的分布求参数的范围，属于基础题． 14.已知由自然数组成的元集合，非空集合，且对任意，都有，当时，则所有满足条件的集合B的元素的和为        . 【答案】288  【解析】解：由题意可知，当时，， 当B中有两个元素时，集合B可以为，，，，元素总和为：； 当B中有四个元素时，集合B可以为集合，，，中任取两个的并集， 所以集合B共有6种情况，元素总和为：； 当B中有六个元素时，集合B可以为集合，，，中任取三个的并集，集合B共有4种情况，元素总和为：； 当B中有八个元素时，，元素之和为：， 所以所有满足条件的集合的元素和为： 故答案为： 由知B有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和即可得解． 本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合间的包含关系，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算： ； 【答案】解： ； 因为，所以， 所以   【解析】解： ； 因为，所以， 所以 由有理指数幂及根式的运算性质求解即可； 由根式的运算性质求解即可． 本题考查有理指数幂及根式的化简求值，是基础题． 16.本小题15分 已知集合，集合 当时，求，； 若，求实数m的取值范围； 若集合B为非空集合，且是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】解：当时，，因为， 所以； 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得或，即或， 所以时，实数m的取值范围是或 若是的充分不必要条件，则B是A的真子集， 因为，则，即， 又且等号不能同时取，解得， 又，所以， 综上，实数m的取值范围是  【解析】解：当时，，因为， 所以； 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得或，即或， 所以时，实数m的取值范围是或 若是的充分不必要条件，则B是A的真子集， 因为，则，即， 又且等号不能同时取，解得， 又，所以， 综上，实数m的取值范围是 时，根据并集和交集、补集的定义求解即可； 由，讨论和，列出满足条件的不等式组，求解即可； 由是的充分不必要条件，得B是A的真子集，再根据，由此列出不等式组，求解即可． 本题考查了集合的化简与运算，也考查了推理与运算能力，是中档题． 17.本小题15分 设 若命题“，使不等式”为假命题，求实数m的取值范围； 解关于x的不等式 【答案】解：由题意知对一切实数x恒成立， 故对一切实数x恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足， 解得，综上所述，m的取值范围为； 由，可得， ①当时，可得，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，即，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为； 综上可得，的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为  【解析】解：由题意知对一切实数x恒成立， 故对一切实数x恒成立， 当时，得，不满足题意； 时，则需满足， 解得，综上所述，m的取值范围为； 由，可得， ①当时，可得，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，即，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为； 综上可得，的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 根据一元二次不等式恒成立相关知识可解； 根据一元二次不等式结合分类讨论思想相关知识可解． 本题考查一元二次不等式恒成立以及分类讨论思想相关知识，属于中档题． 18.本小题17分 大型仓库内有互相垂直的两个墙面OA、现拉一根直线型挡板AB，两个端点A、B分别落在这两面墙面上.为了合理利用仓库，准备在区域内建造一个矩形储物区OMPN，要求点M在墙面OA上，点N在墙面OB上，且挡板AB恰好经过点P，设OB的长度为x米. 若挡板AB总长20米，当x的取何值时，的面积最大？ 已知米，米. ①若区域的面积不低于48平方米，则x的取值范围为多少？ ②若在两块三角形区域和内铺上防滑地砖，则x取何值时，地砖用料最省？ 【答案】解：由题意，， ，， 的面积为， 由基本不等式 ， 当且仅当，即时等号成立， 当时，的面积最大，最大值为100平方米． ①由题意NB为米，其中， 为矩形，， ，，则， 故， 整理得，又，则或， 故x的取值范围是单位：米 ②由题意NB为米，其中，记防滑地砖的面积为y平方米． ， 令，可得： 当且仅当时，即时，等号成立，即时，用料最省．  【解析】解：由题意，， ，， 的面积为， 由基本不等式 ， 当且仅当，即时等号成立， 当时，的面积最大，最大值为100平方米． ①由题意NB为米，其中， 为矩形，， ，，则， 故， 整理得，又，则或， 故x的取值范围是单位：米 ②由题意NB为米，其中，记防滑地砖的面积为y平方米． ， 令，可得： 当且仅当时，即时，等号成立，即时，用料最省． 根据基本不等式求解． ①结合已知面积表达式求解取值范围； ②记防滑地砖的面积为y平方米．得出关于x的表达式进而求解． 本题考查函数与实际生活相结合，属于中档题． 19.本小题17分 如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，，使得，则称A为集. 分别判断与是否为集； 对于集…，，设，求证：； 当时，若，求集A中所有元素的和的最小值. 【答案】解：不是集，是集， 的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，A不是集， 由于，，，符合集定义， 是集． 证明：…，是集，且， 是集合A中最大的元素，且， ，，即， ，，，即， 同理，，， 相加可得 即， ， ， ，且A是集， 7可以表示为集合中其他两个元素的和． 由于，则集合A中至少有4个元素且求集合中元素之和的最小值， 可从元素个数最小时开始讨论： ①当时，设， 为奇数且必须写成集合中两个元素之和， 有两种可能：或者， 若时，则，此时，， 但，3，4，5时，A集合均不为集，不符合题意， 若时，则或者， 经检验均不为集，不符合题意； ②当时，设， 所求元素的总和最小，且，，，不妨令，，， 此时，经检验，集合A为集，符合题意， 又要求元素之和最小值，且集合A中元素均为正整数， 所有元素和的最小值为：  【解析】解：不是集，是集， 的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，A不是集， 由于，，，符合集定义， 是集． 证明：…，是集，且， 是集合A中最大的元素，且， ，，即， ，，，即， 同理，，， 相加可得 即， ， ， ，且A是集， 7可以表示为集合中其他两个元素的和． 由于，则集合A中至少有4个元素且求集合中元素之和的最小值， 可从元素个数最小时开始讨论： ①当时，设， 为奇数且必须写成集合中两个元素之和， 有两种可能：或者， 若时，则，此时，， 但，3，4，5时，A集合均不为集，不符合题意， 若时，则或者， 经检验均不为集，不符合题意； ②当时，设， 所求元素的总和最小，且，，，不妨令，，， 此时，经检验，集合A为集，符合题意， 又要求元素之和最小值，且集合A中元素均为正整数， 所有元素和的最小值为： 的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，A不是集，，，，符合集定义，从而B是集． 推导出，，，，，，从而得到，由此能证明 可以表示为集合中其他两个元素的和．由于，则集合A中至少有4个元素且求集合中元素之和的最小值，从元素个数最小时开始讨论，由此能求出所有元素和的最小值． 本题考查新定义、元素与集合的属于关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $