2.1.2平方根 课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

# 苏教版八年级上册 2.1.2 平方根 专项练习 ## 一、知识梳理 1. **平方根定义** 如果一个数 \(x\) 的平方等于 \(a\)，即 \(x^2=a\)，那么 \(x\) 叫做 \(a\) 的**平方根（二次方根）**。 记作：\(\boldsymbol{x=\pm\sqrt{a}}\) 2. **性质** - 正数 \(a\) 有**两个平方根**，它们互为相反数；其中正的那一个 \(\boldsymbol{\sqrt{a}}\) 是算术平方根，负的是 \(-\sqrt{a}\)。 - 0 的平方根是 0：\(\pm\sqrt{0}=0\) - **负数没有平方根**（任何数的平方都不为负数） 3. **开平方** 求一个数平方根的运算，叫做开平方；开平方和平方互为逆运算。 4. 两个重要公式 \[ (\sqrt{a})^2=a \quad(a\ge0) \] \[ \sqrt{a^2}=|a|= \begin{cases} a & (a\ge0)\\ -a & (a<0) \end{cases} \] 5. ✅ 对比区分（必考） - \(\boldsymbol{\sqrt{a}}\)：算术平方根，**只有一个，≥0** - \(\boldsymbol{\pm\sqrt{a}}\)：平方根，**两个，一正一负** ## 二、选择题 1. 9的平方根是（） A. 3 B. -3 C. \(\pm3\) D. 81 2. 下列说法正确的是（） A. 4的平方根是2 B. 2是4的平方根 C. \(\sqrt{16}=\pm4\) D. -16的平方根是-4 3. 平方根等于它本身的数是（） A. 0 B. 1 C. 0和1 D. 0、1、-1 4. 下列式子无意义的是（） A. \(\sqrt{5}\) B. \(\sqrt{0}\) C. \(\sqrt{-4}\) D. \(\sqrt{0.01}\) 5. \(\sqrt{81}\) 的平方根是（） A. 9 B. \(\pm9\) C. 3 D. \(\pm3\) 6. 若 \(x^2=25\)，则 \(x=\)（） A. 5 B. -5 C. \(\pm5\) D. 125 7. 已知一个正数的两个平方根是 \(a+2\) 和 \(2a-5\)，则 \(a=\)（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列判断正确的是（） A. \((-6)^2\) 的平方根是 -6 B. 平方根是本身的数是 1 和 0 C. 一个正数的两个平方根之和为0 D. \(\sqrt{25}=\pm5\) ## 三、填空题 9. 25的平方根是________。 10. \(\pm\sqrt{0.09}=\)________。 11. 若 \(x^2=7\)，则 \(x=\)________。 12. 正数 \(m\) 的算术平方根是 3，则 \(m=\)____，\(m\) 的平方根是____。 13. \(\sqrt{(-7)^2}=\)________。 14. 若一个数的平方根是 \(\pm\sqrt{6}\)，则这个数是________。 15. 已知 \(\sqrt{x-1}\) 有意义，则 \(x\) 的取值范围是________。 ## 四、解答题 16. 求下列各数的平方根 (1) 64 (2) 0.25 (3) \(\dfrac{49}{100}\) (4) 0 17. 计算： (1) \(\pm\sqrt{144}\) (2) \(\sqrt{(-5)^2}\) (3) \(-\sqrt{1.44}\) 18. 已知一个正数的两个平方根分别为 \(2a-1\) 和 \(-a+2\)，求这个正数。 19. 解方程： (1) \(x^2=36\) (2) \(x^2-8=0\) 20. 已知 \(\sqrt{x-3}+(y+4)^2=0\)，求 \(x+y\) 的平方根。 ## 五、参考答案与解析 1. C 解析：正数平方根一对，\(\pm\sqrt9=\pm3\) 2. B 解析：A错，4平方根是±2；C错，\(\sqrt{16}=4\)；D错，负数无平方根 3. A 解析：只有0的平方根是0；1的平方根是±1 4. C 解析：被开方数负数，无意义 5. D 解析：先算\(\sqrt{81}=9\)，再求9的平方根：±3（高频坑题！） 6. C 7. A 解析：正数两个平方根互为相反数，相加=0 \(a+2+2a-5=0\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1\) 8. C 9. \(\boldsymbol{\pm5}\) 10. \(\boldsymbol{\pm0.3}\) 11. \(\boldsymbol{\pm\sqrt7}\) 12. 9；\(\boldsymbol{\pm3}\) 13. 7 14. 6 15. \(\boldsymbol{x\ge1}\) 16. (1) \(\pm\sqrt{64}=\boldsymbol{\pm8}\) (2) \(\pm\sqrt{0.25}=\boldsymbol{\pm0.5}\) (3) \(\pm\sqrt{\dfrac{49}{100}}=\boldsymbol{\pm\dfrac{7}{10}}\) (4) \(\pm\sqrt0=\boldsymbol{0}\) 17. (1) \(\pm\sqrt{144}=\boldsymbol{\pm12}\) (2) \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=\boldsymbol{5}\) (3) \(-\sqrt{1.44}=\boldsymbol{-1.2}\) 18. 解：正数两个平方根互为相反数 \[ \begin{align*} (2a-1)+(-a+2)&=0\\ a+1&=0\\ a&=-1 \end{align*} \] 平方根：\(2\times(-1)-1=-3\)，这个正数：\((-3)^2=9\) 答：这个正数是9 19. (1) \(x^2=36\Rightarrow \boldsymbol{x=\pm6}\) (2) \(x^2=8\Rightarrow \boldsymbol{x=\pm2\sqrt2}\) 20. 解：\(\sqrt{x-3}\ge0,(y+4)^2\ge0\)，和为0 \[ x-3=0,\quad y+4=0 \] \(x=3,y=-4\)，\(x+y=-1\) ∵负数没有平方根，∴\(\boldsymbol{x+y}\)没有平方根 ## 六、易错提醒 1. 看清符号：\(\boldsymbol{\sqrt{a}}\) 是算术平方根（只正）；\(\boldsymbol{\pm\sqrt{a}}\) 才是平方根； 2. 像 \(\boldsymbol{\sqrt{81}}\) 的平方根，要**先算根号里面的值，再求平方根**，极易直接写±9； 3. 正数两个平方根互为相反数，相加等于0，这是一类必考大题； 4. 只有非负数才有平方根，算出结果是负数要说明无平方根； 5. \(\boldsymbol{\sqrt{a^2}=|a|}\)，结果一定是非负数，不要直接等于a。 下一节：**2.1.3 立方根**，要不要继续整理？ 苏科版（新教材）数学8年级上册 2.1.2平方根 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/8 第2章 实数的初步认识 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 问题 新知探究 当x取哪些值时，x2 = 4？ 当x = 2时，22 = 4； 当x = -2时，( -2 )2 = 4， ∴x可以取2或-2。 探究新知 新知探究 平方根： 提分笔记 一般地，如果x2 = a ( a ≥ 0 )，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 eg：2和-2是4的平方根。 探究新知 新知探究 如果x2 = a，那么( -x )2 = x2 = a。 所以x和-x都满足x2 = a。 可见一个正数有正负两个平方根， 正的平方根就是算术平方根。 eg：9的平方根是3与-3，其中3是9的算术平方根。 提分笔记 探究新知 思考 新知探究 下列各数有平方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由。 ( 1 ) 0.09； ( 2 ) 0； ( 3 ) 。 解：( 1 ) ∵0.32 = 0.09，( -0.3 )2 = 0.09， ∴0.09的平方根±0.3； ( 2 ) ∵02 = 0， ∴0的平方根0； ( 3 ) ∵- < 0，∴没有平方根。 探究新知 新知探究 平方根： 提分笔记 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 探究新知 新知探究 如果a为正数，那么a有两个平方根±， 其中，“±”表示可以取正、负两个值， 正的平方根是算术平方根，负的平方根是-。 提分笔记 探究新知 1. 16的平方根是( ) D A.2 B. C.4 D. 返回 举一反三 8 2.下列各数中，没有平方根的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.若方程的解分别为，，且 ，下列说法正确的是 ( ) C A.是5的平方根 B. 是5的平方根 C.是5的算术平方根 D. 是5的算术平方根 返回 举一反三 10 典例分析 例2 求下列各数的平方根： ( 1 ) 100； ( 2 ) 625； ( 3 ) 0.0081； ( 4 ) 2。 解：( 1 ) ∵102 = 100，( -10 )2 = 100， ∴100的平方根± = ±10； ( 2 ) ∵252 = 625，( -25 )2 = 625， ∴625的平方根± = ±25； ( 3 ) ∵0.092 = 0.0081，( -0.09 )2 = 0.0081， ∴0.0081的平方根± = ±0.09； ( 4 ) 2的平方根±。 探究新知 新知探究 开平方： 提分笔记 求一个数的平方根的运算叫作开平方， 这个数叫作被开方数。 探究新知 新知探究 开平方与平方有下面的关系，如图所示。 提分笔记 10 -10 25 -25 0.3 -0.3 0 100 625 0.09 0 x x2 平方 开平方 探究新知 新知探究 平方根的被开方数、算术平方根的非负性： 提分笔记 1. 平方根的被开方数具有非负性，即“”中的a ≥ 0； 2. 算术平方根具有非负性，即 ≥ 0。 探究新知 探究 新知探究 1. 如图，将面积为2的正方形纸片放置在面积为3的正方形纸片上， 据图比较与的大小。 3 2 解： < 。 探究新知 探究 新知探究 2. 已知a > b > 0，类似地，比较与的大小。 a b 解： > 。 探究新知 4.若是 的一个平方根，则( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 17 5.（1）25的平方根是____； （2）5的平方根是______； （3）0的平方根是___； （4） 的平方根是____. 0 返回 举一反三 18 6.比较大小：（填“ ”“ ”或“ ”） （1） ___3； （2）___ ； （3） ___2.5； （4）___ . 返回 举一反三 19 7.如果某个数的一个平方根是 ，那么这个数为____. 36 返回 举一反三 20 8.（1）当_ _____时， 有平方根； （2）若的平方根只有一个，则 ____. 返回 举一反三 21 9. 求下列各数的平方根： （1）0.64； 解：， 是0.64的平方根； （2） ； 解：，是 的平方根； （3） ； 解：，，是 的平方根； 举一反三 22 （4） . 解：， ， 是 的平方根. 返回 举一反三 23 10. 求下列各式中 的值： （1） ； 解：由题意得， ； （2） ; 解：由题意得 ， ，或 ； （3） ； 解：由题意得， ； 举一反三 24 （4） . 解：由题意得 ， ，或 . 返回 举一反三 25 11.下列结论中正确的是( ) B A. B.是 的算术平方根 C.一定没有平方根 D.的算术平方根是 返回 举一反三 26 12.若，则 的值为( ) C A.7 B. C. D. 返回 举一反三 27 平方根： 一般地，如果x2 = a ( a ≥ 0 )，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 开平方： 求一个数的平方根的运算叫作开平方，这个数叫作被开方数。 课 堂 总 结 课堂小结 平方根的被开方数、算术平方根的非负性： 1. 平方根的被开方数具有非负性，即“”中的a ≥ 0； 2. 算术平方根具有非负性，即 ≥ 0。 课 堂 总 结 课堂小结 谢谢观看 THANKS $