2.1.1 算术平方根（含根号史话） 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

苏科版 八年级上册 第二章 实数 2.1 平方根 第1课时 算术平方根 1.7.2013 同学们好，今天我们学习第二章实数的第一节——平方根，第一课时我们重点学习算术平方根的概念。 在正式学习之前，我们先来看一个生活中的问题，看看为什么需要引入平方根这个新的数学概念。 ‹#› 章节导读 乘方 ↔ 开方 __SPAN_0__ 开平方 平方根 算术平方根 __SPAN_0__ 开立方 立方根 实数 __SPAN_0__ 本节课我们重点学习蓝色和橙色标注的部分：开平方与算术平方根 1.7.2013 在正式学习新知识之前，我们先从整体上把握一下本章的知识脉络。 我们已经学过乘方运算，知道乘方和开方是互为逆运算的。开方又分为开平方和开立方，分别对应平方根和立方根。 平方根中比较特殊的一个，就是非负的平方根，我们把它叫做算术平方根，这是我们今天这节课的重点。 最终，这些数都将扩充到实数的范畴。 ‹#› 学习目标 1 了解算术平方根的定义， 会用根号表示一个数的算术平方根， 发展抽象能力。 2 会正确地求出一个非负数的算术平方根， 理解算术平方根的非负性。 重点：算术平方根的概念与求法 · 难点：对算术平方根非负性的理解 1.7.2013 本节课我们有两个学习目标。 第一，要了解算术平方根的定义，学会用根号这个新的符号来表示一个数的算术平方根，发展我们的抽象思维能力。 第二，要会正确地求出一个非负数的算术平方根，特别要理解算术平方根的非负性这一重要性质。 其中重点是算术平方根的概念和求法，难点是理解它的非负性。 ‹#› 问题情境 如图，一张边长为2cm的正方形纸片，取四条边的中点A，B，C，D， 将纸片的四个角分别沿着AB，BC，CD，DA对折，得到一个小正方形ABCD。 想一想 ① 正方形ABCD的面积是多少？ 想一想 ② 设正方形ABCD的边长为x cm， 列出关于x的方程。 边长为2cm的正方形纸片 提示：四个角都是直角三角形，每个三角形的面积是多少？对折后小正方形和四个三角形是什么关系？ 1.7.2013 我们先来看一个动手操作的问题。 这里有一张边长为2厘米的正方形纸片，我们取四条边的中点，然后把四个角分别沿着中点连线对折，就得到了一个新的小正方形。 第一个问题：这个小正方形的面积是多少？大家可以先算一算四个角上的三角形面积，再用大正方形面积减去它们。 第二个问题：如果设小正方形的边长是x厘米，你能列出关于x的方程吗？ ‹#› 问题探究 由刚才的问题，我们得到： x² = 2 这里的x是多少呢？ 它是整数吗？是分数吗？ 若正方形面积为a，边长x满足 x²=a 面积 a 1 2 3 4 … 边长 x 1 ? ? 2 … 思考：当面积是2或3时， 边长是整数吗？是分数吗？ 为了解决这个问题，我们需要引入一个新的概念——算术平方根 1.7.2013 通过刚才的对折问题，我们可以列出一个方程：x的平方等于2。 那么问题来了，这里的x到底是多少呢？它是我们学过的整数吗？是分数吗？ 我们再看一个更一般的问题：如果正方形的面积是a，那么边长x就满足x的平方等于a。 当面积是1的时候，边长是1；面积是4的时候，边长是2。但面积是2、是3的时候，边长是多少呢？我们好像找不到一个整数或分数来表示它。 为了解决这个问题，我们今天就来学习一个新的概念——算术平方根。 ‹#› 数学史话 · 第一次数学危机 公元前500年左右，古希腊毕达哥拉斯学派认为： "万物皆数"——一切数都可以表示为整数或整数的比。 但是希帕索斯发现了矛盾： 边长为1的正方形，它的对角线长x满足 x² = 2 这个x既不是整数，也不是两个整数的比！ 这就是数学史上的"第一次数学危机" · 动摇了毕达哥拉斯学派的信念 · 推动了无理数的发现 · 促使人们认识到： 直觉和经验不一定靠得住， 推理证明才是可靠的。 这个"不能用整数比表示"的数，就是我们今天要学习的—— 算术平方根（无理数的一种） 1.7.2013 在正式学习概念之前，我们先来讲一个数学史上的小故事。 早在两千多年前的古希腊，有一个毕达哥拉斯学派，他们认为"万物皆数"，意思是说世界上所有的量都可以用整数或者整数的比来表示。 但是学派里有一个叫希帕索斯的人发现了一个矛盾：边长为1的正方形，它的对角线长x满足x的平方等于2。这个x既不是整数，也不能写成两个整数的比。 这个发现震惊了当时的数学界，被称为"第一次数学危机"。它直接推动了无理数的发现。 而我们今天要学习的算术平方根，正是描述这类数的重要概念。 ‹#› 概念引入 算术平方根的定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即 ，那么这个正数x叫作a的 算术平方根（arithmetic square root）。 条件 x是正数 结论 x是a的 算术平方根 关键 算术平方根 一定是非负的 1.7.2013 好，现在我们正式给出算术平方根的定义。 一般地，如果一个正数x的平方等于a，也就是x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。 大家注意三个关键点：第一，x必须是正数；第二，满足x的平方等于a；第三，这样的x就叫做a的算术平方根。 特别要记住：算术平方根一定是非负的，因为它是那个"正数x"。 ‹#› 概念深化 · 表示方法与性质 符号表示 读作"根号a"，表示a的算术平方根 其中a叫做被开方数 重要性质 被开方数非负：（负数没有算术平方根） 结果非负：（算术平方根一定是非负的） 双重意义：既可表示求a的算术平方根的运算， 也可表示运算的结果。 举例：因为 ，所以 2 是 4 的算术平方根，记作 。 因为 ，所以 0.5 是 0.25 的算术平方根，记作 。 注意： 是没有意义的，因为负数没有算术平方根。 1.7.2013 有了定义之后，我们来看怎么表示它。 数学家笛卡尔引入了根号符号√，一个非负数a的算术平方根就记作√a，读作"根号a"，其中a叫做被开方数。 这里有三个重要性质大家一定要记住：第一，被开方数必须是非负的，也就是a要大于等于0，负数没有算术平方根；第二，算术平方根本身也是非负的，也就是√a一定大于等于0；第三，√a这个符号有双重意义，它既可以表示求平方根这个运算，也可以表示运算的结果。 比如因为2的平方等于4，所以2是4的算术平方根，记作√4等于2。大家要特别注意，√(-4)是没有意义的。 ‹#› 数学史话 · 根号的由来 一个符号，走过五百年 你可能会觉得：不就是写个根号吗？ 但事实上，今天这个小小的符号， 人类花了将近两千年才把它"想出来"。 让我们沿着历史的长河，看看根号符号是如何一步步演变成今天的样子的 1 古希腊 2 中世纪欧洲 3 1525年鲁道夫 4 1637年笛卡尔 1.7.2013 在正式做练习之前，我们来了解一下根号这个符号的历史。 你可能觉得根号就是一个很简单的符号，但事实上，人类花了将近两千年的时间才把它发明出来。 接下来我们就沿着历史的时间线，看看根号符号是如何从古希腊时期的文字描述，一步步演变成今天我们熟悉的样子的。 ‹#› 数学史话 · 根号符号的演变 第一站 · 古希腊 公元前500年 "面积为2的正方形的边" （只能用文字描述） · 最早的"根号" 不是写出来的， 是被发现的 · 只能用文字描述几何意义 · 没有专门的数学符号 第二站 · 中世纪欧洲 12—15世纪 R 2 · 阿拉伯语jadhr（根） 拉丁文缩写成 R · 一个字母R，扛了整整一千年 · 问题：R长得太像别的字母， 也分不清开平方还是开立方 第三站 · 1525年 德国数学家鲁道夫 √ 2 · 鲁道夫在《求根术》中 第一次使用类似根号的符号 · 他只是把拉丁文radix的 小写r手写连笔写快了—— 竖线拉长，弯钩简化，就成了√ 1.7.2013 我们来看根号符号演变的前三个重要阶段。 第一站是古希腊时期，那时候人们还没有专门的符号，只能用文字来描述"面积为2的正方形的边"。 第二站是中世纪欧洲，阿拉伯数学家把平方根叫做jadhr，意思是"根"，欧洲翻译成拉丁文后缩写成一个字母R，这个R用了整整一千年，但它的问题是长得太像别的字母，也分不清是开平方还是开立方。 第三站是1525年，德国数学家鲁道夫第一次用了类似根号的符号。其实他只是把拉丁文radix的小写r手写连笔写快了，竖线一拉长，弯钩一简化，就成了我们今天看到的√。 ‹#› 数学史话 · 笛卡尔完善与符号统一 鲁道夫的√有一个大麻烦 写 √12 + 3，到底是哪种意思？ · 只给12开平方，再加3 ≈ 6.46 · 12加3整体开平方 = √15 ≈ 3.87 1637年 · 笛卡尔的改进 笛卡尔在《几何学》里做了一个小改动： 在 √ 的上方加一条横线——这条横线叫"括线"， 作用就像括号，横线盖住的部分， 就是要一起开方的整体。 为什么最后全世界都选了 √？ 原因一：印刷术帮了大忙，√跟着书本传遍欧洲 原因二：笛卡尔的背书，影响了整个欧洲数学界 原因三：其他写法都有硬伤（点太小、R易混） 原因四：莱布尼茨、欧拉等大数学家接力推广 一个符号能不能赢，不只看是谁发明的——还要看：好不好写、印不印得清、大师用不用。 1.7.2013 鲁道夫发明的√还有一个大麻烦：写√12+3的时候，到底是只给12开平方再加3，还是12加3整体开平方？同一个写法，两个完全不同的答案。 直到1637年，笛卡尔在《几何学》里做了一个小改动：在√的上方加一条横线，这条横线叫括线，作用就像括号，横线盖住的部分就是要一起开方的整体。这样√才算真正定型。 那为什么最后全世界都选了√呢？主要有四个原因：印刷术的普及帮了大忙；笛卡尔的权威背书；其他写法都有硬伤；还有莱布尼茨、欧拉这些大数学家的接力推广。 所以说，一个符号能不能流传下来，不只看是谁发明的，还要看它好不好写、印不印得清、大师们用不用。 ‹#› 典例分析 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 100 解：因为 ， 所以 100 的算术平方根是 10， 即 。 (2) 解：因为 ， 所以 的算术平方根是 ， 即 。 (3) 0.0001 解：因为 ， 所以 0.0001 的算术平方根是 0.01， 即 。 (4) 0 解：因为 ， 所以 0 的算术平方根是 0， 即 。 方法总结：求一个数的算术平方根，就是找一个非负数，使它的平方等于这个数。 1.7.2013 好，现在我们来看一个例题，学习怎么求一个数的算术平方根。 第一题，求100的算术平方根。我们想，哪个数的平方等于100呢？因为10的平方等于100，所以100的算术平方根就是10，记作√100等于10。 第二题，49/64的算术平方根。因为7/8的平方等于49/64，所以答案是7/8。 第三题，0.0001的算术平方根。因为0.01的平方等于0.0001，所以答案是0.01。 第四题，0的算术平方根。因为0的平方等于0，所以0的算术平方根是0，这是一个特殊情况，大家要记住。 求算术平方根的方法很简单，就是找一个非负数，使它的平方等于这个数。 ‹#› 新知巩固 1. 求下列各数的算术平方根： (1) 81 (2) 0.25 (3) 1/9 (4) 0.09 2. 求下列各式的值： (1) √36 (2) √(121/144) (3) √0.81 (4) √0 3. 填空： (1) 4的算术平方根是_____， 3是_____的算术平方根； (2) 算术平方根等于它本身的数 是_________； (3) √81的算术平方根是_____。 参考答案： 1. (1)9 (2)0.5 (3)1/3 (4)0.3 2. (1)6 (2)11/12 (3)0.9 (4)0 3. (1)2，9 (2)0和1 (3)3（注意：√81=9，再求9的算术平方根是3） 1.7.2013 现在我们来做几道练习题巩固一下。 第一题，求81、0.25、1/9、0.09这几个数的算术平方根，大家自己算一算。 第二题，求各式的值，注意这里已经给出了根号符号，我们要直接写出结果。 第三题是填空题，特别要注意最后一个小题：√81的算术平方根是多少？这里有一个陷阱，大家要先算出√81等于9，然后再求9的算术平方根，答案是3，而不是9哦。 大家做完可以对照一下答案，看看自己掌握得怎么样。 ‹#› 归纳总结 · 两个重要关系式 关系式一 关系式二 (a 可以是任意实数) 注意区分： · ：先开方，再平方——结果一定等于a，且前提是 · ：先平方，再开方——结果是a的绝对值，a可以是任意实数 · 举例：； 1.7.2013 学完了概念和求法，我们来总结两个非常重要的关系式，这两个关系式在后面的学习中经常会用到。 第一个是(√a)²等于a，这里要注意前提是a大于等于0。意思是说，先开方再平方，就还原回原来的数a了。 第二个是√(a²)等于a的绝对值|a|。这里a可以是任意实数。意思是说，先平方再开方，结果一定是非负的，等于a的绝对值。 大家一定要注意区分这两个式子的顺序，一个是先开方再平方，一个是先平方再开方，结果是不一样的。 ‹#› 思维提升 · 非负数的性质 重要性质：若几个非负数的和为0， 则这几个非负数都等于0。 常见的三种非负数： 绝对值 平方数 算术平方根 举例：若 ，求 a、b 的值。 解：因为 ，，且它们的和为0，所以 且 ，解得 a=1，b=-2。 1.7.2013 接下来我们提升一下难度，学习一个非常重要的性质——非负数的性质。 这个性质说的是：如果几个非负数的和等于0，那么这几个非负数每一个都等于0。 我们常见的非负数有三种：绝对值|a|，平方数a²，还有今天学的算术平方根√a，它们都是大于等于0的。 比如这道例题：如果√(a-1)加上|b+2|等于0，求a和b的值。因为这两个都是非负数，它们的和又是0，所以每一个都必须是0，这样我们就能解出a等于1，b等于-2。 这个性质在以后的解题中非常常用，大家一定要掌握。 ‹#› 课堂小结 算术平方根 一、定义 如果一个正数x的平方等于a， 即 x² = a，那么这个正数x 叫作a的算术平方根，记作 √a。 二、双重非负性 · 被开方数非负：a ≥ 0 · 结果非负：√a ≥ 0 · 负数没有算术平方根 三、两个重要关系式 (√a)² = a (a≥0) √(a²) = |a| 1.7.2013 好，我们来总结一下今天这节课学的主要内容。 第一，算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作√a。 第二，双重非负性：被开方数a必须大于等于0，算术平方根的结果√a也是大于等于0的，负数没有算术平方根。 第三，两个重要的关系式：(√a)²等于a，这里a要大于等于0；√(a²)等于a的绝对值。 另外，我们还了解了根号符号的历史，从古希腊的文字描述，到中世纪的R，再到鲁道夫的√，最后笛卡尔加上横线定型，这个符号走过了整整五百年。 ‹#› 感谢聆听 2.1 平方根 · 第1课时 算术平方根 1.7.2013 今天这节课就上到这里，我们学习了算术平方根的概念、表示方法、性质，还有两个重要的关系式。 课后请大家完成课本上的相应练习，巩固今天所学的知识。 同学们再见！ ‹#› $