3.1.1勾股定理的发现【章末复习】 课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

# 苏教版八年级上册 3.1.1 勾股定理的发现 专项练习 ## 一\(a、b\)知识梳理 1. **勾股定理的发现背景** 我国《周髀算经》记载：西周商高提出**勾三\(a、b\)股四\(a、b\)弦五**\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)所以勾股定理也叫**商高定理**。 西方叫**毕达哥拉斯定理**\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)古希腊毕达哥拉斯最早给出一般证明。三国赵爽用**赵爽弦图**完成证明\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)2002年国际数学家大会会徽就是赵爽弦图。 2. **定义（面积探究入手）** 在直角三角形中： - 短直角边叫**勾**\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)长直角边叫**股**\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)斜边叫**弦** 以三边向外作正方形：**两个小正方形面积之和 = 大正方形面积** \[S_{\text{勾}}+S_{\text{股}}=S_{\text{弦}}\] 3. **勾股定理内容** 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在 $\text{Rt}\triangle ABC$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)$\boldsymbol{\angle C=90^\circ}$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)直角边 $a\(a、b\)b$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)斜边 $c$： $$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$$ 4. **公式变形（必考）** $$\(c=\)\sqrt{a^2+b^2},\quad a=\sqrt{c^2-b^2},\quad \(b=\)\sqrt{c^2-a^2}$$ 5. 重要提醒 ✅ 只适用于**直角三角形**； ✅ 分清斜边：斜边是直角对面最长的边； ✅ 本节课探究方法：**面积法（割补法）** ## 二\(a、b\)选择题 1. 在我国\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)勾股定理又被称为（） A. 毕达哥拉斯定理 B. 商高定理 C. 赵爽定理 D. 祖冲之定理 2. $\text{Rt}\triangle ABC$ 中\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)$\angle C=90^\circ$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)直角边 $\(a=3,\(b=\)4\)$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)斜边 $\(c=\)$（） A. 5 B. 7 C. 25 D. 12 3. 直角三角形两直角边对应的正方形面积是9和16\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)则斜边正方形面积是（） A. 7 B. 25 C. 5 D. 4 4. 下列说法正确的是（） A. 任意三角形都满足 $a^2+b^2=c^2$ B. 勾股定理中 $c$ 一定是斜边 C. 在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)$a^2+b^2=c^2$ 不用看哪个角是直角 D. “勾三股四弦五”是勾股定理的一般形式 5. 赵爽弦图出自哪本书（） A. 《周髀算经》 B. 《九章算术》 C. 《几何原本》 D. 《海岛算经》 6. $\text{Rt}\triangle ABC\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)\angle C=90^\circ\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)\(c=\)13\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)a=5$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)则 $\(b=\)$（） A. 6 B. 8 C. 12 D. 144 ## 三\(a、b\)填空题 7. 在直角三角形里\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)较短直角边叫____\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)较长直角边叫____\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)斜边叫____。 8. 直角三角形勾为6\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)股为8\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)则弦=____。 9. 两个正方形面积分别为20和16\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)作为直角三角形两条直角边对应的正方形\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)则斜边正方形面积=____。 10. $\text{Rt}\triangle ABC\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)\angle C=90^\circ\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)a=7\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)\(b=\)24$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)则 $\(c=\)$____。 11. 勾股定理的探究方法是____法。 ## 四\(a、b\)解答题 12. 求下列直角三角形未知边长（$\angle C=90^\circ$） (1) $a=9,\(b=\)12$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)求 $c$ (2) $\(c=\)10,a=6$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)求 $b$ 13. 一个直角三角形\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)勾5\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)股12\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)求斜边和三角形面积。 14. 如图\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)以直角三角形三边向外作正方形\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)$S_1=30\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)S_2=40$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)求斜边对应的正方形面积 $S_3$。 15. 已知直角三角形一条直角边是7\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)斜边是25\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)求另一条直角边长。 16. 判断题\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)对打√\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)错打× (1) 只要三角形三边满足 $a^2+b^2=c^2$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)它就是直角三角形（） (2) “勾三股四弦五”意思是斜边一定是5（） (3) 勾股定理只适合等腰直角三角形（） ## 五\(a、b\)参考答案与解析 1. B 2. A 3. B 解析：$\(9+16=25\)$ 4. B 5. A 6. C 7. 勾；股；弦 8. 10 9. 36 10. 25 11. 面积（割补） 12. (1) $c^2=9^2+12^2=81+144=225\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)\boldsymbol{\(c=\)15}$ (2) $b^2=10^2-6^2=100-36=64\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)\boldsymbol{\(b=\)8}$ 13. 解：斜边 $\(c=\)\sqrt{5^2+12^2}=13$ 面积 $=\dfrac12\times5\times12=30$ 答：斜边13\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)面积30 14. 解：$S_3=S_1+S_2=30+40=70$ 答：$S_3=70$ 15. 解：设另一条直角边为$b$ $b^2=25^2-7^2=625-49=576$ $\boldsymbol{\(b=\)24}$ 16. (1) √ (2) × （是比例关系\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)倍数放大后边长改变） (3) × ## 六\(a、b\)易错提醒 1. 先找**直角**\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)确定谁是斜边\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)没有直角不能直接用勾股定理； 2. 看清题目给的是边长\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)还是正方形面积； 3. 公式 $a^2+b^2=c^2$\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)不要写成 $a+\(b=\)c$； 4. “勾三股四弦五”是特例\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)不是说所有直角三角形都是3\(a、b\)4\(a、b\)5； 5. 面积法是本节课核心\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)考试常考利用三个正方形面积关系做题。 下一节：**3.1.2 勾股定理的简单应用**\(S_1=30\(c^2=9^2+12^2=81+144=225\(b^2=10^2-6^2=100-36=64，\boldsymbol{b=8}\)\boldsymbol{c=15}\)S_2=40\)继续整理吗？ 苏科版（新教材）数学8年级上册 3.1.1勾股定理的发现 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/8 第3章 勾股定理 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 新知探究 1955年希腊发行了一枚纪念邮票，邮票的图案是根据一个著名的数学定理设计的。 观察这枚邮票的图案和图案中各正方形内小方格的个数，你有什么发现？ 解：图案中各正方形内小方格的个数分别为9，16，25，且9 + 16 = 25。 探究新知 问题 新知探究 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ A C B F G E D H I 探究新知 问题 新知探究 可以用“补”的方法。 A C B E D 解：S正方形AEDB = 7 × 7 - 4 × S△ABC = 49 - 4 × × 3 × 4 = 25。 探究新知 问题 新知探究 可以用“割”的方法。 A C B E D 解：S正方形AEDB = 4S△APB + 1 × 1 = 4 × × 4 × 3 + 1 = 25。 P 探究新知 问题 新知探究 正方形BHIC、正方形ACFG的面积分别为9和16， 正方形AEDB的面积为25， 三个正方形面积之间的关系为 S正方形AEDB = S正方形BHIC + S正方形ACFG。 ∵S正方形AEDB = AB2， S正方形BHIC = BC2， S正方形ACFG = AC2， ∴AB2 = BC2 + AC2。 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方。 A C B F G E D H I 探究新知 活动 新知探究 在下面的方格纸上 ( 详见下页PPT )，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流。 探究新知 活动 新知探究 A C B 解：如图，以BC为一边的正方形的面积是52 = 25， 以AC边的正方形的面积是122 = 144。 探究新知 活动 新知探究 解：以AB为一边的正方形的面积为： ① 可以用“补”的方法： 172 - 4 × × 5 × 12 = 169 = 132。 ② 可以用“割”的方法： 4 × × 5 × 12 + 72 = 169 = 132。 A B C 探究新知 活动 新知探究 ∵25 + 144 = 169， 即52 + 122 = 132， ∴AB2 = BC2 + AC2。 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方。 探究新知 新知探究 根据上面的活动，可以猜想：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形这一特殊的三边关系，我国古代称之为勾股定理。据《周髀算经》记载：西周时期的商高 ( 约前1100 ) 在与周公 ( 约前1100 ) 的对话中，就提出了“勾三股四弦五”。勾股定理的证明从古至今已有数百种方法。公元3世纪初，我国数学家赵爽 ( 3世纪前期 ) 用剪拼图形的方法完成了证明。 活动 探究新知 新知探究 勾股定理： 提分笔记 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 探究新知 新知探究 符合语言：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C = 90°， ∴a2 + b2 = c2。 提分笔记 C a c b B A 勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数。 探究新知 典例分析 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长。 解：( 1 ) 根据勾股定理，得122 + 52 = c2， 即c2 = 169。∴c = = 13。 ( 2 ) 根据勾股定理，得22 + b2 = 52， 即b2 = 21。∴b = 。 12 5 c b 5 2 ( 1 ) ( 2 ) 探究新知 典例分析 例2 在数轴上画出对应的点。 解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形。 由勾股定理知，斜边为 = 。 以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P， 则P为对应的点。 -1 1 0 -2 2 3 P 探究新知 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 课 堂 总 结 课堂小结 谢谢观看 THANKS $