3.1勾股定理的探究（第1课时勾股定理的发现）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的发现，通过1955年希腊纪念邮票图案导入，引导学生观察正方形内小方格个数，从面积关系（9+16=25）入手，结合补割法推导直角三角形三边平方关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（邮票图案）、数学思维推理（面积到边的关系）、数学语言表达（符号化定理）。通过学生自主画图验证、典型例题（如数轴上画√5）及勾股树面积问题，培养几何直观与推理意识，助力学生理解定理本质，为教师提供结构化教学资源。

第3章 勾股定理 3.1勾股定理 第1课时 勾股定理的发现 学 习 目 标 1 探索勾股定理 2 根据勾股定理解决线段长度问题或面积问题 新知探究 1955年希腊发行了一枚纪念邮票，邮票的图案是根据一个著名的数学定理设计的。 观察这枚邮票的图案和图案中各正方形内小方格的个数，你有什么发现？ 解：图案中各正方形内小方格的个数分别为9，16，25，且9 + 16 = 25。 问题 新知探究 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ A C B F G E D H I 问题 新知探究 可以用“补”的方法。 A C B E D 解：S正方形AEDB = 7 × 7 - 4 × S△ABC = 49 - 4 × × 3 × 4 = 25。 问题 新知探究 可以用“割”的方法。 A C B E D 解：S正方形AEDB = 4S△APB + 1 × 1 = 4 × × 4 × 3 + 1 = 25。 P 问题 新知探究 正方形BHIC、正方形ACFG的面积分别为9和16， 正方形AEDB的面积为25， 三个正方形面积之间的关系为 S正方形AEDB = S正方形BHIC + S正方形ACFG。 ∵S正方形AEDB = AB2， S正方形BHIC = BC2， S正方形ACFG = AC2， ∴AB2 = BC2 + AC2。 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方。 A C B F G E D H I 活动 新知探究 在下面的方格纸上 ( 详见下页PPT )，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流。 活动 新知探究 A C B 解：如图，以BC为一边的正方形的面积是52 = 25， 以AC边的正方形的面积是122 = 144。 活动 新知探究 解：以AB为一边的正方形的面积为： ① 可以用“补”的方法： 172 - 4 × × 5 × 12 = 169 = 132。 ② 可以用“割”的方法： 4 × × 5 × 12 + 72 = 169 = 132。 A B C 活动 新知探究 ∵25 + 144 = 169， 即52 + 122 = 132， ∴AB2 = BC2 + AC2。 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方。 新知探究 根据上面的活动，可以猜想：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形这一特殊的三边关系，我国古代称之为勾股定理。据《周髀算经》记载：西周时期的商高 ( 约前1100 ) 在与周公 ( 约前1100 ) 的对话中，就提出了“勾三股四弦五”。勾股定理的证明从古至今已有数百种方法。公元3世纪初，我国数学家赵爽 ( 3世纪前期 ) 用剪拼图形的方法完成了证明。 活动 新知探究 勾股定理： 提分笔记 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 新知探究 符合语言：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C = 90°， ∴a2 + b2 = c2。 提分笔记 C a c b B A 勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理，在古希腊，人们利用勾股定理发现了无理数。 典例分析 例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边的长。 解：( 1 ) 根据勾股定理，得122 + 52 = c2， 即c2 = 169。∴c = = 13。 ( 2 ) 根据勾股定理，得22 + b2 = 52， 即b2 = 21。∴b = 。 12 5 c b 5 2 ( 1 ) ( 2 ) 典例分析 例2 在数轴上画出对应的点。 解：如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形。 由勾股定理知，斜边为 = 。 以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P， 则P为对应的点。 -1 1 0 -2 2 3 P 题型探究 例1 如图，数轴上的点 A 表示的数是 1，OB⊥OA，垂足为 O，且 BO = 1，以点 A 为圆心，AB 为半径画弧交数轴于点 C，则点 C 表示的数为（　　）A． B． C． D． 数轴上的勾股定理 题型一 解：∵数轴上的点 A 表示的数是 1，∴AO = 1， ∵BO = 1，∴AB = = = ， ∴点 C 表示的数为。 C 题型探究 例2-1 若直角三角形两边长分别是6和8，则第三边长为（　　） A．10 B．12 C．10或12 D．10或2 根据勾股定理求线段长 题型二 解：① 当6和8均为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得：第三边长为 = = 10； ② 当8为斜边，6为一条直角边时，第三边为另一条直角边， 由勾股定理得：第三边长为 = = 2。 D 题型探究 例2-2 在Rt△ACB中，∠C = 90°，∠B = 30°，若AC = 6，则BC的长为 （　　） A．8 B．12 C．6 D．12 根据勾股定理求线段长 题型二 解：在Rt△ACB中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 6， 则AB = 2AC = 2 × 6 = 12， 由勾股定理得：BC = = = 6。 C C B A 题型探究 特殊三角形的边长问题： 根据勾股定理求线段长 题型二 ① 30°，60°，90°的三角形的三边关系为1：：2； ② 45°，45°，90°的三角形的三边关系为1：1：； ③ 30°，30°，120°的三角形的三边关系为1：1：。 ① C B A 30° ② C B A 45° ③ A B C 30° 30° 题型探究 例2-3 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数， 则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 根据勾股定理求线段长 题型二 解：设另一直角边为a，则斜边为a + 1， 由勾股定理可得：( a + 1 )2 - a2 = 92， 解得：a = 40，则a + 1 = 41， ∴直角三角形的周长为：9 + 40 + 41 = 90。 C 题型探究 例3 如图，两个大正方形的面积分别为132和108， 则小正方形M的面积为________。 根据勾股定理求面积——勾股树 题型三 解：如图， 由勾股定理可得： 小正方形M的面积 = BC2 = AB2 - AC2 = 132 - 108 = 24。 24 108 M 132 B C A 题型探究 勾股数： 如图，以直角三角形的三边分别作正方形， 则直角边上的两个小正方形的面积总和等于 斜边上的大正方形的面积，即a2 + b2 = c2。 根据勾股定理求面积——勾股树 题型三 题型探究 根据勾股定理求面积——勾股树 题型三 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 课 堂 总 结 感谢聆听! $