3.2 勾股定理的逆定理（第1课时）课件 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

第3章　勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理 第1课时 逆定理与勾股数 数学新教材苏科版　八年级上册 从边长能判断直角吗？ 直角三角形→两条直角边平方和等于斜边平方。 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，它一定是直角三角形吗？ 问题探究 思考 △ABC的三边a、b、c满足，能否证明△ABC是直角三角形？ A B C A′ B′ C′ 解：可以先构造一个两直角边为、的直角三角形。 让已知三角形与构造三角形全等，就能把直角对应过去。 构造：让勾股定理有用武之地 作图 作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b。 求斜边 由勾股定理，A′B′²=a²+b²；由已知AB²=a²+b²，所以A′B′=AB。 A B C A′ B′ C′ 问题探究 思考 怎样把构造出的直角对应到原三角形？ A B C A′ B′ C′ 解：△ABC≌△A′B′C′（SSS）。 三组对应边分别相等，故全等。 所以∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形。 勾股定理的逆定理 逆定理 如果三角形的三边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形。 C B A 判断时怎样安排三条边？ 找最大边 把最大边记作，比较与其余两边平方和。 给出结论 相等时，根据逆定理说明直角及其位置：最大边所对的角是直角。 古埃及的结绳方法 情境 一根绳打上等距的结，三人拉成三角形，使三边分成3段、4段、5段。 依据 ，由逆定理，所得三角形是直角三角形。 勾股数 定义 如果三个正整数，，满足关系，则称，，为勾股数。 辨析 满足平方关系，却不是勾股数，因为不全是正整数。 问题探究 思考 写出几组勾股数，说说勾股数有什么规律。 解：如3、4、5；5、12、13；8、15、17。 它们都是正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方。 3、4、5同时乘2得到6、8、10，仍是勾股数。 例题 例1 已知：a、b、c为正整数，且。求证：ka、kb、kc（k为正整数）构成勾股数。 解：ka、kb、kc构成勾股数。 。 a、b、c、k均为正整数，所以ka、kb、kc均为正整数。 例题 例2 如图3–11，AD是△ABC的中线，AD=24，AB=26，BC=20。求AC的长。 A B C D 24 26 20 解：。 ；。 由逆定理∠ADB=90°，AD垂直平分BC，所以AC=AB=26。 中线只给“平分”，必须用逆定理证明“垂直”。 例2中定理的先后顺序 先判直角 三边已知→验证平方关系→逆定理给∠ADB=90°。 再用旧知识 AD是中线且垂直BC→AD为BC垂直平分线→A到B、C等距。 A B C D 24 26 20 课堂练习 练习1 下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1) 12，15，18 (2) 11，60，61 (3) 15，36，39 (4) 36，35，12 解(1)：不是。 。 解(2)：是。 。 本页解第(1)(2)小题。勾股数须同时满足正整数与平方关系。 课堂练习 练习1 下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1) 12，15，18 (2) 11，60，61 (3) 15，36，39 (4) 36，35，12 解(3)：是。 。 解(4)：不是。 。 本页解第(3)(4)小题。先找最大数，第(4)题最大数是36。 课堂练习 练习2 计算图中四边形ABCD的面积。 D B A C 12 16 15 25 解：先求对角线：。 在Rt△ADB中，由勾股定理：。 再看△DBC：，所以∠CDB=90°。 先用勾股定理求边，再用逆定理判断另一个三角形。 课堂练习 练习2 计算图中四边形ABCD的面积。 D B A C 12 16 15 25 解：四边形ABCD的面积为246。 。 两块三角形在对角线DB两侧，面积相加。 续解：已得DB=20，且∠CDB=90°。 课堂练习 练习3 一个三角形三边长的比为3∶4∶5，它的周长是60。求这个三角形的面积。 解：三角形面积为150。 设三边长分别为3k、4k、5k，12k=60，k=5，故三边15、20、25。 ，由逆定理为直角三角形；。 数学探究 活动1 怎样从乘法公式构造勾股数？令m、n为正整数，且m>n。 解：可取、、。 。 三个数均为正整数，所以满足勾股数定义。 数学探究 活动2、3 在构造式中选取m、n，填出几组勾股数，并完成最大数为时的构造。 解：m=2、n=1得3、4、5；m=3、n=2得5、12、13；m=6、n=5得11、60、61。 取相邻整数n+1与n，得到另外两数为与。 。 方法归纳 使用勾股定理 ① 已知直角三角形 ② 根据三边平方关系求边 使用逆定理 ① 已知三角形三边 ② 最大边平方=其余两边平方和 ③ 由数的关系判断直角 针对训练 针对训练 三角形三边长分别为20、21、29。判断它是不是直角三角形，并求面积。 解：是直角三角形，面积210。 ，由逆定理为直角三角形；。 方法：把最大边29作为候选斜边，先判断再求面积。 针对训练 针对训练 △ABC中，AD是BC边上的中线，AD=12，BD=5，AB=13。求AC和BC。 A B C D 解：，。 ，故∠ADB=90°（逆定理）。 BD=DC=5，AD垂直平分BC，故AC=AB=13，BC=10。 易错：中线不一定垂直；先用逆定理补足垂直条件。 课堂总结　勾股定理的逆定理 1 证明路线 构造直角三角形→SSS全等 2 判断方法 最大边平方与两小边平方和比较 3 勾股数 正整数且满足平方关系 4 综合应用 先判直角，再用面积或垂直平分线 $