精品解析：江苏省常州市第二中学2026-2027学年高一上学期10月阶段教学情况调研数学试卷

2026-2027学年江苏省常州市第二中学高一（上）阶段教学情况调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 设集合，，若，则实数的所有可能取值之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】由题意， 因为，所以， 由， 得或， ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，，符合题意， 所以实数的所有可能取值为2和3，和为. 2. 某科技公司对100名职场人士进行“AI工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过A类（AI写作助手）、B类（AI绘图工具）、C类（AI会议助手）三类AI工具中的一类.调查数据显示使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人；A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人；三类工具都使用过的有8人，则B类和C类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】作出韦恩图，由集合容斥原理可得． 【详解】设仅只使用过类工具的职场人士的人数为， 由图可得，解得， 所以类和类工具都使用过的人数为. 3. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，且，继而可得，解一元二次不等式即可求解. 【详解】的解集是，可得，且， ，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 4. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，通过作差法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A：由，两边同乘正数得，再同乘正数得，故A错误； 对于B：因为，因为， 所以，即，所以，故B错误； 对于C：因为，因为， 所以，即，所以，故C错误； 对于D：因为，因为，所以，即，所以，故D正确. 5. 已知命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数得时，有解，结合基本不等式求得即可. 【详解】已知命题，是假命题， 则命题：，是真命题， 即当时，有解， 所以，当且仅当时，， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 已知为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】先利用指数运算得，然后利用基本不等式求解判断A；利用二次函数性质求解判断B；利用基本不等式的常数代换技巧求解判断C；先利用已知得，然后利用基本不等式求解判断D. 【详解】因为，所以，又为正实数， A：由基本不等式：， 两边平方得，即，当且仅当等号成立， 即，因此的最大值为，故A正确； B：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，故B错误； C：， 得到的最小值为8，当且仅当等号成立，故C正确； D：， 由（1）知，所以，即， 当且仅当等号成立，符合条件， 因此的最小值为，故D正确. 7. 已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立，与的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数，，的值；代入分式不等式，求解得到解集. 【详解】函数的定义域为， 一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得，. 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为. 得二次函数的对称轴为； 又，，当时，取得最大值，即，解得. . 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为. 8. 已知实数a，b满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用表示，再利用不等式性质求出范围. 【详解】设，则，解得，即， 由，得，由，得， 则，所以的取值范围是. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 设，则“”是“函数图象在x轴上方”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【详解】对于，充分性：由得或，故， 必要性：由得或，故， 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B，充分性：当且时， 函数的图象在x轴上方；充分性不成立 必要性：若,此时函数的图象在x轴上方，但，必要性不成立. 故“”是“函数的图象在x轴上方”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，充分性：当时，成立，充分性成立 必要性：当时，或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，方程有一个正根和一个负根的充分必要条件为 且，解得. 因为， 所以“”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 10. 设，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数运算公式和指数幂运算公式计算判断各个选项. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，因为，所以，从而， 即，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选:ABD. 11. 已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对二次函数进行配方，得最低点，计算出，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】因为，， 当时，的值域为， 由二次函数的性质可得值域不可能是， 当且满足时，的值域为， 无论取任何正实数，二次函数的最小值定小于，即值域不可能为， 故可得的值域可能为，， 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域问题，考查了数形结合思想，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以， 即不等式的解集为， 所以为方程的两根且， 所以，即， 所以可化为， 因为， 所以， 解得或， 所以的解集为. 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，从而可得，进而解得，从而得解. 【详解】由，可得， 所以，代入中，可得：，解得或2. 所以或. 当时，； 当时，； 综上：. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了对数的运算，属于中档题. 14. 已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的概念，不同的定义域对应不同的函数，计算满足值域为的定义域个数即可. 【详解】当时，，解得，因此定义域必须包含，共种选择； 当时，，解得，值域需要包含， 因此定义域至少包含中的一个，可选方案为：，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 故可能得定义域又， ，共有个不同的函数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求及的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）结合换底公式，利用对数运算性质化简求解即可； （2）将平方可求得，将平方可求得，利用立方差公式即可求值. 【小问1详解】 因为，， 所以； . 【小问2详解】 因为，所以 ， 所以； 因为，所以， 所以. 16. 已知集合， （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】(1)先化简，再运算，即可求解； (2)根据题意可得是的真子集，从而分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 , 当时，，， ，. 【小问2详解】 是的充分不必要条件 ， ①当时，，满足 ， ②当时， 即，又因为是真子集，不能， ， 所以要去掉，得到， 综上，可得实数的取值范围为. 17. 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需要投入万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等： （1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数； （2）求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大? 【答案】（1）；（2）当年广告费投入8万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】（1）用年销售额减去广告费用和投入成本得出利润； （2）利用基本不等式求出利润最大值及其对应的的值． 【详解】解：（1） ， 即 （2）， 当且仅当时，即时取等号， 答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为万元． 【点睛】本题考查了基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题． 18. 已知正实数，满足. （1）求的最大值； （2）若不等式对任意满足条件的，都成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在实数满足，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，求解的最大值； （2）先求出代数式的最小值，根据不等式恒成立转化为一元二次不等式，解一元二次不等式得到实数的取值范围； （3）先把用表示，确定的取值区间，将不等式看作关于的二次函数，结合二次函数在给定区间存在解的条件，列不等式求解的取值范围. 【小问1详解】 由基本不等式，得，当且仅当时等号成立． 所以， 即的最大值为. 【小问2详解】 因为，所以． 因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值为． 由题意知，，即， 解得． 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以． 由（1）知，， 所以，即． 令，则． 因为，所以． 所以函数在处取得最小值，且． 根据题意得，即，即． 解得或． 结合，得． 所以的取值范围是. 19. 已知函数，． （1）若，且的解集为，求函数的解析式； （2）若，，解关于x的不等式； （3）若，，对于任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）由直接得常数项.的解集为，说明抛物线开口向上，方程两根为和.根据韦达定理，代入，求出a，b，得到解析式. （2）将，代入，移项整理不等式，因式分解，得到含参数a的二次不等式.分类讨论：，，，再比较两根大小，写出对应解集. （3），，得，写出表达式，代入，并化简.整理式子，出现，换元：令，，原恒成立不等式转化为，分离出参数b，利用均值不等式结论求出的b范围. 【小问1详解】 由，得：. 因为的解集为 ，所以方程 的两个实数根为，，且. 根据韦达定理： 解得：，. 所以函数的解析式为：. 【小问2详解】 代入参数并整理不等式： ，原不等式变为：， 移项整理得：，即， 时：原不等式化为，，所以此时不等式的解集为：. 时：原不等式化为. 若，解得，此时不等式的解集为； 若，解得，此时不等式解集为； 若，解得，原不等式化为，此时不等式的解集为. 时：原不等式化为：，此时，解得不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由题可知，，，则 设. 因为， 所以， 令，因为，由均值不等式可知，即. 设，， 因为，当且仅当时取“=”，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省常州市第二中学高一（上）阶段教学情况调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 设集合，，若，则实数的所有可能取值之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 某科技公司对100名职场人士进行“AI工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过A类（AI写作助手）、B类（AI绘图工具）、C类（AI会议助手）三类AI工具中的一类.调查数据显示使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人；A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人；三类工具都使用过的有8人，则B类和C类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 3. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 7. 已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 设，则“”是“函数图象在x轴上方”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10. 设，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则的解集为________． 13. 已知，，则______． 14. 已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求及的值． 16. 已知集合， （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17. 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需要投入万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等： （1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数； （2）求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大? 18. 已知正实数，满足. （1）求的最大值； （2）若不等式对任意满足条件的，都成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在实数满足，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 已知函数，． （1）若，且的解集为，求函数的解析式； （2）若，，解关于x的不等式； （3）若，，对于任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $