江苏省常州市第二中学2026-2027学年高一上学期10月阶段教学情况调研数学试卷

2026-2027学年江苏省常州市第二中学高一（上）阶段教学情况调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.设集合，，若，则实数a的所有可能取值之和为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.某科技公司对100名职场人士进行“AI工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过A类写作助手、B类绘图工具、C类会议助手三类AI工具中的一类.调查数据显示使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人；A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人；三类工具都使用过的有8人，则B类和C类工具都使用过的人数为(    ) A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 3.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 4.已知，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 5.已知命题p：，是假命题，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知a，b为正实数，且，则下列选项错误的是(    ) A. ab的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 7.已知函数的定义域和值域均为，则关于x的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.已知实数a，b满足，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列各结论中正确的是(    ) A. “”是“”的充要条件 B. 设a，b，，则“”是“函数图象在 x轴上方”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10.设，，则下列等式恒成立的是(    ) A. B. C. D. 11.已知，，a为大于0的常数，则的值域可能为(    ) A. B. R C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知关于x的不等式的解集为A，集合，且，，则的解集为        . 13.已知，，则          . 14.已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有        个. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知，，用a，b分别表示1g300和； 已知，求及的值. 16.本小题15分 已知集合， 当时，求和； 若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量万件与广告费万元之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等： 试将年利润万元表示为年广告费万元的函数； 求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大？ 18.本小题17分 已知正实数a，b满足 求ab的最大值； 若不等式对任意满足条件的a，b都成立，求实数x的取值范围； 设，若存在实数t满足，使得不等式成立，求S的取值范围. 19.本小题17分 已知函数， 若，且的解集为，求函数的解析式； 若，，解关于x的不等式； 若，，对于任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省常州市第二中学高一（上）阶段教学情况调研数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.设集合，，若，则实数a的所有可能取值之和为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D  【解析】解：因为，所以， ， ， 得或， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 所以实数a的所有可能取值为2和3，和为 故选： 根据集合A，B的包含关系，分两种情况讨论，列方程求解． 本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 2.某科技公司对100名职场人士进行“AI工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过A类写作助手、B类绘图工具、C类会议助手三类AI工具中的一类.调查数据显示使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人；A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人；三类工具都使用过的有8人，则B类和C类工具都使用过的人数为(    ) A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 【答案】B  【解析】解：设只使用过C类工具的职场人士的人数为x， 由使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人； A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人； 三类工具都使用过的有8人， 可得：，解得， 所以B类和C类工具都使用过的人数为 故选： 作出韦恩图，由集合容斥原理可得． 本题主要考查韦恩图的应用，考查计算能力，属于基础题． 3.若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：关于x的不等式的解集是， ，且， 等价于， ，即，解得， 原不等式的解集为 故选： 由题可得，且，继而可得，解一元二次不等式即可求解． 本题主要考查一元一次不等式及一元二次不等式的解法，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题． 4.已知，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：对于A：由，得，由可得，，故A错误； 对于B：因为，因为， 所以，，，即，所以，故B错误； 对于C：因为，因为， 所以，，即，所以，故C错误； 对于D：因为， 因为，所以，，即， 所以，故D正确． 故选： 利用不等式的性质，通过作差法逐一判断各选项即可． 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 5.已知命题p：，是假命题，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：若命题p：，是假命题， 则命题：，是真命题，即时，有解， 因为，当且仅当时，， 所以实数a的取值范围是 故选： 分离参数得时，有解，结合基本不等式求得即可． 本题主要考查了全称量词命题真假关系的应用，属于基础题． 6.已知a，b为正实数，且，则下列选项错误的是(    ) A. ab的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】B  【解析】解：由得，且，； 对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，由， 当且仅当即，时取等号，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由得， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选： 由指数幂运算把条件化为，再将与作为整体，借助基本不等式与配方恒等式求各选项的最值，并逐一检验等号能否成立． 本题主要考查指数幂的运算、基本不等式求最值、配方法以及等号成立条件的检验，属于中档题． 7.已知函数的定义域和值域均为，则关于x的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题可得：一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得， 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为 又，，当时，y取得最大值，即，解得 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为 故选： 先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定a的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立b，c与a的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数a，b，c的值；代入分式不等式，求解得到解集． 本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题． 8.已知实数a，b满足，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设， 则，解得，即， 由，得，由，得， 则，所以的取值范围是 故选： 用，表示，再利用不等式性质求出范围． 本题考查不等式的性质，属于基础题． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列各结论中正确的是(    ) A. “”是“”的充要条件 B. 设a，b，，则“”是“函数图象在 x轴上方”的充分不必要条件 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】AD  【解析】解：对于A，必要性：由得，或，，故， 充分性：由得，或，，故， 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B，必要性：若，，，此时函数的图象在x轴上方，但，必要性不成立； 充分性：当且时， 函数的图象在x轴上方；充分性不成立； 故“”是“函数的图象在x轴上方”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，充分性：当时，成立，充分性成立 必要性：当时，或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，方程有一个正根和一个负根的充分必要条件为 且，解得 因为， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确． 故选： 根据充分条件与必要条件相关知识可解． 本题考查充分必要条件相关知识，属于基础题． 10.设，，则下列等式恒成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】解：对于A，，A正确； 对于B，因为，从而， 即，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确． 故选： 根据对数运算公式和指数幂运算公式计算判断各个选项． 本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题． 11.已知，，a为大于0的常数，则的值域可能为(    ) A. B. R C. D. 【答案】AC  【解析】解：二次函数， 对称轴为，顶点坐标为，即，B错误； 其图象如图所示： 当时，函数值域为，A正确； 当时，函数值域为解得(负值舍去)，正确； 当时，函数值域为，D错误； 故选： 利用数形结合画出二次函数的图象，再对a进行分类讨论，求出各个值域，进而可以判定选项是否正确． 本题考查了二次函数的图象性质以及求值域问题，涉及到分类讨论思想，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知关于x的不等式的解集为A，集合，且，，则的解集为        . 【答案】  【解析】解：已知关于x的不等式的解集为A， 集合，且，， 则， 即不等式的解集为， 所以，4为方程的两根且， 根据韦达定理可得，即， 所以可化为， 因为， 所以， 解得或， 所以的解集为 故答案为： 由题意可得，即不等式的解集为，根据韦达定理即可求解． 本题考查了一元二次不等式的应用计算，属于中档题． 13.已知，，则          . 【答案】4  【解析】【分析】 本题考查对数的定义，对数的运算，属于基础题． 根据条件即可得出，或，，从而可求出 【解答】 解：， 又，得 或， 进一步得，或，， 当，时，， 当，时， 故答案为： 14.已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有        个. 【答案】9  【解析】解：函数的解析式为，其值域为，需满足： 时，必选， 时，至少选一个，有种选法， 时，至少选一个，有种选法， 所以这样的函数有个． 故答案为： 根据函数的概念，结合计数原理求解即可． 本题主要考查了函数的概念，考查了计数原理的应用，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知，，用a，b分别表示1g300和； 已知，求及的值. 【答案】，  ，  【解析】解：因为，， 所以， ； 因为， 所以， 因为， 所以， 所以 利用对数的运算性质求解； 利用指数幂的运算性质求解． 本题主要考查了对数的运算性质，考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 16.本小题15分 已知集合， 当时，求和； 若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】解：因为， 当时，， 所以； 又， 所以； 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 所以当时，满足条件， 可得，即； 当，且时， 可得，解得， 综合可得实数m的取值范围为  【解析】解：因为， 当时，， 所以； 又， 所以； 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 所以当时，满足条件， 可得，即； 当，且时， 可得，解得， 综合可得实数m的取值范围为 先化简，再运算，即可求解； 根据题意可得B是A的真子集，从而分类讨论，即可求解． 本题考查集合的运算，集合间的关系，充分与必要条件的应用，属中档题． 17.本小题15分 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量万件与广告费万元之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等： 试将年利润万元表示为年广告费万元的函数； 求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大？ 【答案】解：， 即； 由可得， 当且仅当时，即时取等号， 则当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为万元．  【解析】解：， 即； 由可得， 当且仅当时，即时取等号， 则当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为万元． 根据题意可直接得到年利润万元表示为年广告费万元的函数； 根据基本不等式相关知识可解． 本题考查基本不等式相关知识，属于中档题． 18.本小题17分 已知正实数a，b满足 求ab的最大值； 若不等式对任意满足条件的a，b都成立，求实数x的取值范围； 设，若存在实数t满足，使得不等式成立，求S的取值范围. 【答案】解：因为，，且， 所以当且仅当时取等号， 故ab的最大值为； 依题意， ，当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值为16； 由题意知，，即， 解得 故实数x的取值范围是； 因为，所以 由知，， 所以，即 令，则 因为，所以 所以函数y在处取得最小值，且 根据题意得，即，即 解得或 结合，得 所以S的取值范围是  【解析】解：因为，，且， 所以当且仅当时取等号， 故ab的最大值为； 依题意， ，当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值为16； 由题意知，，即， 解得 故实数x的取值范围是； 因为，所以 由知，， 所以，即 令，则 因为，所以 所以函数y在处取得最小值，且 根据题意得，即，即 解得或 结合，得 所以S的取值范围是 利用基本不等式，求解ab的最大值； 先求出代数式的最小值，根据不等式恒成立转化为一元二次不等式，解一元二次不等式得到实数x的取值范围； 先把用ab表示，确定S的取值区间，将不等式看作关于t的二次函数，结合二次函数在给定区间存在解的条件，列不等式求解S的取值范围． 本题考查运用基本不等式求最值，属于中档题． 19.本小题17分 已知函数， 若，且的解集为，求函数的解析式； 若，，解关于x的不等式； 若，，对于任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】解：由，得 因为的解集为， 所以方程的两个实数根为，，且 根据韦达定理： 解得， 所以函数的解析式为： 代入参数并整理不等式： ，原不等式变为：， 移项整理得：，即， 时：原不等式化为，，所以此时不等式的解集为： 时：原不等式化为 若，解得，此时不等式的解集为； 若，解得，此时不等式解集为； 若，解得，原不等式化为，此时不等式的解集为 时：原不等式化为：，此时，解得不等式的解集为 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 由题可知，，，则 设 因为，所以， 令，因为，由均值不等式可知，即 设 因为，当且仅当时取“=”， 所以，即b的取值范围是  【解析】解：由，得 因为的解集为， 所以方程的两个实数根为，，且 根据韦达定理： 解得， 所以函数的解析式为： 代入参数并整理不等式： ，原不等式变为：， 移项整理得：，即， 时：原不等式化为，，所以此时不等式的解集为： 时：原不等式化为 若，解得，此时不等式的解集为； 若，解得，此时不等式解集为； 若，解得，原不等式化为，此时不等式的解集为 时：原不等式化为：，此时，解得不等式的解集为 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 由题可知，，，则 设 因为，所以， 令，因为，由均值不等式可知，即 设 因为，当且仅当时取“=”， 所以，即b的取值范围是 由直接得常数项的解集为，说明抛物线开口向上，方程两根为和根据韦达定理，代入，求出a，b，得到解析式． 将，代入，移项整理不等式，因式分解，得到含参数 a的二次不等式．分类讨论：，，，再比较两根大小，写出对应解集． ，，得，写出表达式，代入，并化简．整理式子，出现，换元：令，，原恒成立不等式转化为，分离出参数b，利用均值不等式结论求出的 b范围． 本题主要考查函数解析式的求法，不等式的解法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $