精品解析：北京市第九中学2026-2027学年高二上学期期中数学试卷

2026北京九中高二（上）期中 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单项选择题.（本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得5分，选错或不答的得0分.） 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 2. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心距和半径可得答案. 【详解】圆的标准方程为：，圆心，半径， 圆的标准方程为：，圆心为，半径为， ，，所以， 所以两圆外切. 3. 经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设所求直线为，代入点可得， 故所求的直线方程为即. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】已知向量，，且， 则 ， 解得． 5. 直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】圆的一般方程化为标准方程得到圆心与半径，计算圆心到直线的距离后，利用弦长公式求解弦长. 【详解】由配方得：， 所以，圆心的坐标为，半径， 所以，圆心到直线的距离：， 所以，，即所求弦长为4. 6. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求向量夹角，即可确定异面直线与直线所成的角. 【详解】， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 所以， 又，所以， 因此直线与直线所成的角为. 故选：C. 7. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】在长方体中， 易知平面，平面， 所以，所以， 因为，， 所以. 8. 已知，，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量，根据线面平行的性质，直线的方向向量与平面的法向量互相垂直，再利用向量垂直时数量积为0，列出等式化简即可得到的关系式，最后选出答案. 【详解】∵，， ， 又平面为平面的法向量， ， . 9. 已知直线：，：，若，则（ ） A. B. 2 C. 3或 D. 或2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故，故或， 当时，直线：，：，此时重合，舍； 当时，直线：，：，此时， 故. 10. 已知四面体，是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，连接， 因为是的中点， 所以 所以. 11. 动点在圆：上运动，则点到轴的最近距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的一般方程配方为标准方程，求得圆心坐标与半径，再利用圆上点到x轴的距离的最小值等于圆心到轴的距离减去半径的规律求解. 【详解】对圆的方程配方整理得圆的标准方程： ， 所以，圆心的坐标为，半径， 所以，圆心到轴的距离为： ， 所以，点到轴的最近距离为： . 12. 如图，在平行六面体中，，记向量，，，若向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】在平行六面体中，侧面为平行四边形， 因为，所以为线段的中点， 所以，故. 13. 已知实数，满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由表示到的距离即可求解. 【详解】由，即为和两点间的距离， 所以的最小值为到直线的距离， 即， 所以的最小值为. 14. 平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】确定点为单位圆上的动点，动直线恒过定点，结合点到直线距离的几何意义，即可求解. 【详解】由三角函数的平方关系，可知点的轨迹为圆心在坐标原点、半径的单位圆， 将直线方程整理为， 令，解得直线恒过定点， 由题意点到直线的距离满足，当且仅当直线与线段垂直时，, 因此，的最大值等价于单位圆上的点到定点的距离的最大值， 又。 因此的最大值为，即的最大值为14. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 15. 已知平面的一个法向量为，且点在内，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】向量，平面法向量为， 则点到的距离为． 16. 已知圆，求经过点的圆的切线方程______. 【答案】 【解析】 【详解】由，可知该点在圆上，为切线的切点， 若切线斜率不存在，此时方程为，此时圆心到直线的距离为1，与圆的半径不相等，因此该情况不成立，切线斜率必然存在， 又直线的斜率为，所以切线的斜率满足，解得， 所以切线方程为，化简得. 17. 正方体的棱长是1，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】# 【解析】 【分析】在正方体中，易得就是直线与平面所成角 【详解】连接交于， 在正方体中，，即， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 则就是直线与平面所成角， 所以直线与平面所成角的正弦值为 18. 直线：过定点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】由，可得， 所以当时，，即，， 所以直线过定点. 19. 点关于直线对称的点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，故对称的点为. 三、解答题（本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） ； （2） 和. 【解析】 【小问1详解】 由题意圆的圆心为，且圆经过坐标原点， 因此半径， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 由，知点在圆外部， ① 当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 圆心到直线的距离：，与圆的半径相等， 因此直线是圆的切线， ② 当切线斜率存在时，设切线的点斜式方程为， 整理为一般式：， 则圆心到切线的距离等于圆的半径，即 ， 展开并整理方程：  ， 解得， 切线方程为：  整理为一般式：， 综上，过点的圆的切线方程为和. 21. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取中点为，连接， 因为点分别为的中点， 则，， 又点为的中点，且四边形为矩形， 则，， 故，，则四边形为平行四边形， 故，又平面平面， 所以平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）取中点为，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得； （2）利用坐标法，求出平面的法向量，然后根据线面角的向量求法即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为正方形，故可得， 又因为平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，所以，又，， 则可如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 22. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求的外接圆的方程； （2）求直线：被圆截得的弦的长. 【答案】（1） 的外接圆的方程为； （2） 直线被圆截得的弦长为。 【解析】 【分析】（1）设出的外接圆的方程，代入三点坐标计算即得圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再由弦长公式计算即得. 【小问1详解】 设的外接圆的方程为， 依题意得，解得， 所以的外接圆的方程为； 【小问2详解】 的外接圆的标准方程为， 则其圆心，半径为， 圆心到直线：的距离， 所以圆与直线相交， 所以圆截得的弦的长为. 23. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，侧棱底面，点在线段上运动. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角为，试确定点的位置. 【答案】（1），，， ， ， 底面，平面， ， 又，平面，平面， 平面， （2）点为的中点. 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理证明，结合线面垂直性质证线面垂直； （2）建系设参数，利用二面角的向量公式列方程求出参数，确定的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，，，， ，， 设平面的一个法向量：， 设平面的一个法向量：， ，得：， ， 两平面夹角为， ， ， 计算得：，即为的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京九中高二（上）期中 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单项选择题.（本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得5分，选错或不答的得0分.） 1. 直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3. 经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 5. 直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8. 已知，，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线：，：，若，则（ ） A. B. 2 C. 3或 D. 或2 10. 已知四面体，是的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 11. 动点在圆：上运动，则点到轴的最近距离是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 12. 如图，在平行六面体中，，记向量，，，若向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 13. 已知实数，满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 14. 平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 15. 已知平面的一个法向量为，且点在内，则点到的距离为______． 16. 已知圆，求经过点的圆的切线方程______. 17. 正方体的棱长是1，则直线与平面所成角的正弦值为______. 18. 直线：过定点，则点的坐标为______. 19. 点关于直线对称的点的坐标为______. 三、解答题（本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）过点引圆的切线，求切线的方程. 21. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 22. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求的外接圆的方程； （2）求直线：被圆截得的弦的长. 23. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，侧棱底面，点在线段上运动. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角为，试确定点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $