第一章-第四章学情自测 2026-2027学年北师大版数学九年级上册
- 第一章-第四章学情自测
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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．
B． 
C．
D． 
2. 用配方法解一元二次方程
，配方正确的是（ ）
A．2
B．
C．
D．
3. 如图，若
与
是以点
为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的
，
，则
，
两点之间的距离为（ ）
A．2 B．
C．5 D．
4. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将
抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点
，下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得
，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线
，则图1中对角线
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
A. 平行投影中的光线是聚成一点的
B. 三角形的正投影是一个点
C. 圆柱形物体在阳光下的投影可能是正方形
D. 一人在不同时间的阳光下，在同一地点的影长一定相等
7. 小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了
，另一边减少了
，剩余空地的面积为
，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为
，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，小球悬浮于液体中
即
，若
，小球质量为
，
，则
的值为( )
A. 
B. 
C. 
或 D. 
或
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9.如图，在矩形
中，两条对角线
与
相交于点
，
，
，则
的长为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 如图，菱形
中，
，
，E、F分别是
、
上的动点，且
，则
的最小值为（ ）
A．4 | B． | C． | D． |
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，请添加一个条件 ，使得菱形为正方形．
12. 已知关于
的一元二次方程
有实数根，那么
的取值范围是__________．
13. 设
，
是一元二次方程
的两个根，则
的值是 _______．
15. 如图，在中，
，动点P从点A开始沿边以
的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边
以
的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，
与相似．
三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16.解下列方程：
．
．
17. 已知关于的一元二次方程
．
(1)若方程有两个相等的实数根，求
的值．
(2)设，是方程的两个实数根，当
时，求
的值．
18. 如图，已知△ABC，请你用尺规作图法作正方形ABDE，且保证点D，E在△ABC的右侧.（保留作图痕迹，不写作法）
四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于
点F，连接AD，AD平分∠BAC．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长．
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20.将两个全等的含
角的直角三角板按照如图所示的方式放置，已知
，
，
分别交
边于点
，
，
．
求证：
；
求证：
；
设
，
，求
与之间的函数表达式，并写出的取值范围．
21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为
．
(1)将向左平移5个单位长度，得到
，画出；
(2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到
，在所给的方格纸中画出；
(3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ．
五．解答题（三）（22题13分，23题14分）
22. 已知一元二次方程
的求根公式为
，当
是一元二次方程的两根时，则有：①
；②
．
【结论证明】请在
中选择一个结论进行证明；
【知识应用】若是一元二次方程
的两个根，不解方程，求
的值；
【类比拓展】若
是一元三次方程
的三个根，则原方程可变形为
，则有：
，
，，
．已知一元三次方程
的三个根分别为
，求
的值．
23.【问题背景】如图
，点
，分别在正方形的边，
上，
，连接
，则，
，
之间的数量关系是
，将下列解答过程补充完整．
证明：如图，
四边形是正方形，
，
，
把
绕点
逆时针旋转
到
，则
，
，
，
，
点，
，在同一条直线上．
，
，
，
，
，
；
【迁移应用】如图
，在四边形中，
，
，点，分别在边，上，，若
，
都不是直角，且
，求证：；
【联系拓展】如图
，在
中，
，
，点，均在边上，且
请直接写出，
，
满足的等量关系．
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