2025—2026学年华东师大版数学九年级上学期期中学情调研试卷

2025—2026学年上学期学情调研 九年级数学（华师版） 注意事项： 1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2. 请按要求把答案写在试卷或答题卡上。 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。 1. 函数 y = √(x-2) 中自变量 x 的取值范围是（ ） A. x < 2 B. x ≥ 2 C. x > 2 D. x ≥ 2 且 x ≠ 0 2. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 3. 如果 a, b, c, d 是成比例线段，符合 a/b = c/d，其中 a = 2 cm, b = 6 cm, c = 5 cm，则线段 d 的长为（ ） A. 15 cm B. 9 cm C. 8 cm D. 2.4 cm 4. 下列方程最适合用配方法求解的是（ ） A. x² - 3x = 0 B. x² - 2x - 1 = 0 C. 2(x - 1)² = 6 D. 2x² - 3x + 1 = 0 5. 9月12日，在郑州举行的2025赛季中国足球超级联赛第24轮比赛中，河南俱乐部酒祖杜康队主场2比0战胜北京国安队。小李、小亮、小东观赛时的座位如图所示。若建立适当的平面直角坐标系后，小亮的座位表示为(-1, 0)，小李的座位表示为(1, 3)，则小东的座位可以表示为（ ） A. (-1, 2) B. (2, -1) C. (3, -1) D. (1, 2) 6. 如图，在△ABC中，DE // AB，且 CD/BD = 3/2，则 CE/CA 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个程序框图，若输入 x = 72，则输出 y 的值为（ ） 输入 x (x ≥ 0) → → - → ×( + ) → 输出 y A. 9 + 5 B. 15 + 7 C. 9 - 5 D. 5 8. 不仅为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，还在如图所示的长18m、宽12m的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道。已知学生摊位区域的总面积为54m²，求人行通道的宽度。若设人行通道的宽度为 x m，则根据题意可列方程为（ ） A. (18 - x)(12 - x) = 54 B. (18 - x)(12 - 2x) = 54 C. (18 - 3x)(12 - 2x) = 54 D. (18 - 3x)(12 - 2x) = 108 9. 依据下列条件不能判断△ABC和△DEF相似的是（ ） A. ∠A = 40°, ∠B = 80°, ∠E = 80°, ∠F = 60° B. ∠A = ∠E = 45°, AB = 12 cm, AC = 15 cm, ED = 20 cm, EF = 16 cm C. AB = 1 cm, BC = 2 cm, CA = 1.5 cm, DE = 6 cm, EF = 4 cm, FD = 8 cm D. ∠A = ∠D = 45°, AB = 12 cm, AC = 15 cm, ED = 16 cm, EF = 20 cm 10. 关于 x 的方程 (x - 1)² + 2m - m² = 1 的两个根 x₁, x₂ 满足 x₁ = 2x₂ + 3，且 x₁ > x₂，则 m 的值为（ ） A. B. C. 或 D.或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程 4x² + 5x = 81 的常数项为 ______。 12. 如图，在菱形ABCD中，E, F分别是AB, AC的中点，若EF = 6，则菱形ABCD的周长为 ______。 13. 如图，以点O为位似中心且与△ABC位似的图形编号是 ______。 14. 若 + y² - 4y + 4 = 0，则 x + y 的值为 ______。 15. 《代数学》中记载，形如 x² + 10x = 39 的方程，求正数解的几何方法是："如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39 + 25 = 64，则该方程的正数解为 x = 8 -= 3。"小聪按此方法解关于x的方程 x² + 6x + m = 0 时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为 ______。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分）(1) 计算：2× ÷ 5； (2) 解方程：x(x - 5) = 6(5 - x)。 17.（9分）如图，已知在等边三角形ABC中，点D为AC上任意一点，且∠EDF = 60°，求证：△CDE ∽ △AFD。 18.（9分）已知 x₁, x₂ 是关于 x 的方程 x² - mx - 1 = 0 的两个实数根。 (1) 当关于 x 的方程的一个根是 x₁ = -2 时，求 m 的值； (2) 当 m = 1 时，求代数式 x₁² + x₂² 的值。 19.（9分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为 O(0,0), A(2,1), B(1, -2)。 (1) 以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似三角形OA₁B₁，使它与△OAB的相似比为2:1，△OAB与△OA₁B₁的面积比为 ______； (2) 画出将△OAB先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△O₂A₂B₂。 20.（9分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品。当商品售价为40元时，一月份销售256件。二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件。设二、三这两个月的月平均增长率不变。 (1) 求二、三这两个月的月平均增长率； (2) 从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 21.（9分）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园内，是1961年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有"天下第一塔"之称。某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E, G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔27m，并且开封铁塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A, F, D三点成一线，从标杆GH走3m到C处，从C处观察A点，A, H, C三点也成一线。请根据以上测量数据，帮助该实验小组求开封铁塔AB的高。 22.（10分）阅读与思考 阅读材料：像（ + 2）（- 2）= 1，· = a（a ≥ 0）… 这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式。再如（ + ）与（- ）也互为有理化因式。在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号。数学课上，老师出了一道题"已知 a = ，求 3a² - 6a - 1 的值。" 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵ a = = = = + 1， ∴ a - 1 = 。 ∴ (a - 1)² = 2。∴ a² - 2a = 1。 ∴ 3a² - 6a = 3。∴ 3a² - 6a - 1 = 2。 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）2 + 的一个有理化因式是______________； （2）化简：； （3）若 a =，求 2a² - 12a - 1 的值。 23.（10分）如图1，在正方形ABCD中，AB = 5，在AD上取一点E，使得AE = ，以AE为边作正方形AEFG，连接BE, CF。求 BE/CF 的值。 【思维探究】 (1) 小明的想法是连接AF, AC，通过证明三角形相似得出结论。根据他的想法，可以求出 BE/CF 的值是_______； 【拓展延伸】 (2) 如图2，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否仍然成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】 (3) 在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为√2时，请直接写出CF的长。 2025—2026学年上学期学情调研 九年级数学（华师版）参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 【答案】B 【解析】由二次根式有意义的条件可知，被开方数必须非负，即 x - 2 >= 0，解得 x >= 2。因此自变量 x 的取值范围是 x >= 2。 2. 【答案】D 【解析】两个等边三角形的三个角都是60度，三边对应成比例，因此一定相似。两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定相似（角度或边长比例可能不同）。 3. 【答案】A 【解析】由 a/b = c/d，代入 a=2, b=6, c=5，得 2/6 = 5/d，解得 d = 5 x 6 / 2 = 15(cm)。 4. 【答案】C 【解析】方程 2(x-1)² = 6 已经是完全平方式的形式，两边同除以2后直接开方即可求解，最适合用配方法（直接开平方法）。 5. 【答案】D 【解析】根据小亮(-1, 0)和小李(1, 3)的坐标建立平面直角坐标系，可确定原点位置和坐标轴方向。根据座位的相对位置关系，小东的座位坐标为(1, 2)。 6. 【答案】B 【解析】因为 DE // AB，由平行线分线段成比例定理，CE/EA = CD/DB = 3/2。所以 CE/CA = CE/(CE+EA) = 3/(3+2) = 3/5。 7. 【答案】A 【解析】输入 x=72，先算 = 6，再减 得 6 - ，再乘以 ( + )： (6 - )( + ) = 6×2 + 6 - - 3 = 12 + 5- 3 = 9 + 5。 8. 【答案】D 【解析】设人行通道宽度为 x m。两块相同的阴影区域（学生摊位）拼合后形成一个矩形，其长为(18-3x)m，宽为(12-2x)m。两块摊位总面积为54m²，拼合后总面积为108m²，因此方程为 (18-3x)(12-2x) = 108。 9. 【答案】D 【解析】A选项：三个角分别相等(40°,80°,60°)，AAA可判定相似；B选项：AB/EF=12/16=3/4，AC/ED=15/20=3/4，且夹角∠A=∠E=45°，SAS可判定相似；C选项：AB/EF=1/4，BC/FD=2/8=1/4，CA/DE=1.5/6=1/4，三边对应成比例，SSS可判定相似；D选项：已知∠A=∠D=45°，但AB/DE=12/16=3/4，AC/EF=15/20=3/4，这里∠A的两边是AB和AC，∠D的两边是DE和DF，而EF不是∠D的邻边，无法确定DF的长度，因此不能用SAS判定相似。 10. 【答案】D 【解析】方程整理为 x² - 2x + 2m - m² = 0。由韦达定理：x₁+x₂=2，x₁·x₂=2m-m²。代入 x₁=2x₂+3 得 (2x₂+3)+x₂=2，解得 x₂=-1/3，x₁=7/3。代入乘积：(7/3)×(-1/3) = 2m-m²，即 m²-2m-7/9=0，解得 m=-1/3 或 m=7/3。验证判别式Δ=4(m-1)²>=0恒成立，两个值均符合题意。 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 【答案】-81 【解析】将方程 4x² + 5x = 81 化为一般形式：4x² + 5x - 81 = 0，其中常数项为 -81。 12. 【答案】48 【解析】在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，由三角形中位线定理，EF = BC/2，所以 BC = 2×6 = 12。菱形ABCD四边相等，周长 = 4×12 = 48。 13. 【答案】② 【解析】位似图形的定义：以点O为位似中心，对应点的连线都经过位似中心O，且对应边互相平行（或在同一直线上），对应点到O的距离之比等于位似比。根据图形特征，编号为②的图形满足位似条件。 14. 【答案】4 【解析】将方程变形：+ (y-2)² = 0。因为>= 0 且 (y-2)² >= 0，两个非负数之和为0，则每个都等于0。所以 y-2=0，即 y=2；x-y=0，即 x=2。因此 x+y = 2+2 = 4。 15. 【答案】3 【解析】按照配方法的几何意义：x² + 6x + m = 0 即 x² + 6x = -m。构造大正方形，其边长为(x+3)，面积为(x+3)² = x²+6x+9 = -m+9。已知阴影部分面积为36，即(x+3)² = 36，解得 x+3 = 6（取正），x = 3。代入验证：3²+6×3+m=0，m=-27，-m+9=27+9=36，符合题意。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分） (1) 计算：2× ÷ 5 解： 2× ÷ 5 = 2 × 2× ÷ 5 = 4 ×÷÷ 5 = 3 ÷ 5 = = (2) 解方程：x(x-5) = 6(5-x) 解： x(x-5) = 6(5-x) x(x-5) = -6(x-5) x(x-5) + 6(x-5) = 0 (x+6)(x-5) = 0 x+6 = 0 或 x-5 = 0 x₁ = -6，x₂ = 5 17.（9分） 已知：在等边三角形ABC中，点D为AC上任意一点，∠EDF = 60°。 求证：△CDE ∽ △AFD 证明： 因为△ABC是等边三角形，所以∠A = ∠C = 60°。 在△CDE中，∠CDE + ∠CED + ∠C = 180°， 所以 ∠CDE + ∠CED = 180° - 60° = 120°。 又因为 ∠EDF = 60°， 所以 ∠CDE + ∠ADF = 180° - ∠EDF = 180° - 60° = 120°（平角定义）。 因此 ∠CED = ∠ADF。 又因为 ∠C = ∠A = 60°， 所以 △CDE ∽ △AFD（两角分别相等的两个三角形相似）。 18.（9分） 已知 x₁, x₂ 是关于 x 的方程 x² - mx - 1 = 0 的两个实数根。 (1) 当方程的一个根是 x₁ = -2 时，求 m 的值。 解： 将 x₁ = -2 代入方程 x² - mx - 1 = 0： (-2)² - m×(-2) - 1 = 0 4 + 2m - 1 = 0 2m = -3 m = -3/2 (2) 当 m = 1 时，求代数式 x₁² + x₂² 的值。 解： 当 m = 1 时，方程为 x² - x - 1 = 0。 由韦达定理：x₁ + x₂ = 1，x₁·x₂ = -1。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 1² - 2×(-1) = 1 + 2 = 3 19.（9分） 在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为 O(0,0), A(2,1), B(1,-2)。 (1) 以原点O为位似中心，在y轴右侧画△OAB的位似三角形OA₁B₁，相似比为2:1。求△OAB与△OA₁B₁的面积比。 解： 以原点O为位似中心，相似比为2:1，在y轴右侧： A₁ = 2×A = 2×(2,1) = (4,2) B₁ = 2×B = 2×(1,-2) = (2,-4) 相似三角形的面积比等于相似比的平方： S△OAB : S△OA₁B₁ = 1² : 2² = 1 : 4 答案：1:4 (2) 画出将△OAB先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△O₂A₂B₂。 解： 平移规则：向左平移2个单位 → 横坐标减2；向上平移1个单位 → 纵坐标加1。 O₂ = (0-2, 0+1) = (-2, 1) A₂ = (2-2, 1+1) = (0, 2) B₂ = (1-2, -2+1) = (-1, -1) 20.（9分） 某超市以每件25元的进价购进一批商品。售价40元时，一月销售256件。二、三月销售量持续走高，三月达到400件。设二、三月的月平均增长率为 r。 (1) 求二、三这两个月的月平均增长率。 解： 根据题意：256(1+r)² = 400 (1+r)² = 400/256 = 25/16 1+r = 5/4（取正值，因为增长率不能使销量为负） r = 5/4 - 1 = 1/4 = 25% 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%。 (2) 从四月份起降价促销，每降价1元，销售量在400件基础上增加5件。当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 解： 设降价 x 元，则售价为 (40-x) 元，每件利润为 (40-x-25) = (15-x) 元。 销售量为 (400 + 5x) 件。 总利润 = (15-x)(400+5x) = 4250 展开：6000 + 75x - 400x - 5x² = 4250 -5x² - 325x + 1750 = 0 x² + 65x - 350 = 0 (x+70)(x-5) = 0 x₁ = 5，x₂ = -70（舍去，降价不能为负） 答：当商品降价5元时，超市获利4250元。 21.（9分） 测量开封铁塔AB的高度。标杆EF和GH高均为2m，两标杆间隔27m。从EF后退2m到D处，A、F、D三点共线；从GH走3m到C处，A、H、C三点共线。求铁塔AB的高。 解： 设铁塔高 AB = h(m)，铁塔到底部第一根标杆的水平距离 BC = a(m)。 由 A、F、D 三点共线，利用相似三角形： △DEF ∽ △DAB（因为 EF // AB，都垂直于地面） EF/AB = DE/DB 2/h = 2/(a+2) 即 h = a + 2 ......① 由 A、H、C 三点共线，利用相似三角形： △GHC ∽ △ABC（因为 GH // AB，都垂直于地面） GH/AB = GC/BC 注意：从GH走3m到C处，C到G的距离为3m，C到B的距离为 a+27+3 = a+30 2/h = 3/(a+30) 即 h = 2(a+30)/3 ......② 联立①②： a + 2 = 2(a+30)/3 3(a+2) = 2(a+30) 3a + 6 = 2a + 60 a = 54 h = a + 2 = 54 + 2 = 56 答：开封铁塔AB的高为56米。 22.（10分） 阅读与思考：利用有理化因式进行二次根式运算。 (1) 2+ 的一个有理化因式是______________。 解： 2+ 的有理化因式为 2 - 。 验证：(2 + )(2 - ) = (2)² - ()² = 12 - 2 = 10，不含二次根式。 答案：2 - (2) 化简：1/( - 2) 解： 1/( - 2) = ( + 2)/[( - 2)( + 2)] = ( + 2)/(5 - 4) = + 2 (3) 若 a = 1/(3 + 2√2)，求 2a² - 12a - 1 的值。 解： 首先化简 a： a = 1/(3 + 2) = (3 - 2)/[(3 + 2)(3 - 2)] = (3 - 2)/(9 - 8) = 3 - 2 所以 a - 3 = -2 两边平方：(a - 3)² = 8 a² - 6a + 9 = 8 a² - 6a = -1 因此： 2a² - 12a - 1 = 2(a² - 6a) - 1 = 2×(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 23.（10分） 在正方形ABCD中，AB = 5，在AD上取一点E，使得 AE = √3，以AE为边作正方形AEFG，连接BE、CF。 【思维探究】(1) 求 BE/CF 的值。 解： 连接AF、AC。 在正方形ABCD中，AC是对角线，AC = 5，∠BAC = 45°。 在正方形AEFG中，AF是对角线，AF = × = ，∠EAF = 45°。 因为 E 在 AD 上，∠BAE = 90°（正方形内角）。 当正方形AEFG向外构造时，∠CAF = ∠CAD + ∠DAF = 45° + 45° = 90°。 所以 ∠BAE = ∠CAF = 90°。 又 AB/AC = 5/(5) = 1/，AE/AF = / = 1/。 所以 AB/AC = AE/AF，且夹角 ∠BAE = ∠CAF。 因此 △ABE ∽ △ACF（SAS相似）。 所以 BE/CF = AB/AC = 5/(5) = 1/ = /2。 答案：BE/CF = /2 【拓展延伸】(2) 正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否仍然成立？ 解：结论仍然成立。 证明： 无论正方形AEFG如何绕点A旋转，始终有： AB = 5，AC = 5（正方形ABCD的对角线不变） AE = ，AF = （正方形AEFG的边长和对角线不变） 所以 AB/AC = 1/，AE/AF = 1/，即 AB/AC = AE/AF。 设旋转角为 θ，则 ∠BAE = θ。 因为 AF 是正方形AEFG的对角线，∠EAF = 45° 始终不变。 AC 是正方形ABCD的对角线，∠CAD = 45° 始终不变。 所以 ∠CAF = ∠CAD + ∠DAF = 45° + ∠DAF。 而 ∠BAE = ∠BAD - ∠EAD = 90° - ∠EAD。 经过角度分析可得 ∠BAE = ∠CAF（具体角度关系取决于旋转位置，但始终相等）。 因此 △ABE ∽ △ACF（SAS），BE/CF = AB/AC = /2 始终成立。 【解决问题】(3) 在旋转过程中，当点E到直线AB的距离时，求CF的长。 解： 以A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系。 点E到直线AB的距离为，即E的纵坐标的绝对值为。 因为 AE = ，设 E = (x₀, )，则 x₀² + ()² = ()²，x₀² = 1，x₀ = ±1。 情况一：E = (1, ) BE² = (5-1)² + (0-)² = 16 + 2 = 18，BE = 3 由 BE/CF = /2，得 CF = BE × = 3 × = 6 情况二：E = (-1, ) BE² = (5+1)² + (0-)² = 36 + 2 = 38，BE = CF = BE × = × = = 2 答：CF的长为 6 或 2。 学科网（北京）股份有限公司 $