精品解析：上海市浦东新区新川中学2026-2027学年高一上学期期中教学质量检测数学试题

2026学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 完卷时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若集合，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 幂函数的图像经过，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】待定系数法确定幂函数解析式，进一步求函数值. 【详解】设，则，解得， ，则. 故答案为：9. 3. 满足的集合有___________个． 【答案】 【解析】 【详解】列举可得可以为，共7种可能. 4. 用反证法证明命题“可以被5整除，那么、中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是___________． 【答案】、都不能被5整除 【解析】 【详解】用反证法证明命题“可以被5整除，那么、中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是“、都不能被5整除” 5. 不等式的解集是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】将分式不等式等价转化为不等式组，求解即得. 【详解】原不等式等价于，解得, 故答案为：. 6. 已知，，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】，再根据基本不等式求解. 【详解】 又因为 由基本不等式得，当且仅当并且 所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系,求出,代入所求的不等式. 【详解】不等式的解集为, 所以的两根为, 由根与系数关系可得, 所求的不等式为 即, 所以所求的不等式的解集为. 故答案为: 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系,考查了计算能力,属于基础题. 8. 函数（且）的图象经过的定点是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数型函数过定点问题求解即得. 【详解】函数（且）中，当时，对任意的且，恒有， 所以函数（且）的图象过定点. 故答案为： 9. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 10. 已知，则_______________（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】由，利用指数式与对数式的互化及换底公式可得：，，所以，．代入即可得出． 【详解】，，又， ，． 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查指数与对数的运算法则、换底公式，考查逻辑推理能力与运算求解能力． 11. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义可得不等式对任意实数x恒成立，再根据根的判别式即可得出答案. 【详解】由题意可得不等式对任意实数x恒成立， 即不等式对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 12. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______. 【答案】 【解析】 【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得. 【详解】依题意，，所以是线段的三等分点， 而，所以， 所以， . 故答案为： 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 若,则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可． 【详解】当时，， 当时，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 14. 若，下面有六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】举反例得到③⑤错误，利用不等式性质确定①②④⑥正确，得到答案. 【详解】对①：，，，故，正确； 对②：，， ，故，正确； 对③：取，，则，，，错误； 对④：，，，故，正确； 对⑤：取，，则，，，错误； 对⑥：要证，即，即，正确； 故选：D. 15. 如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作出，进而数形结合即可判断. 【详解】解：作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图， 所以 故选：B 16. 已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ） A. p，q均为奇数，且 B. q为偶数，p为奇数，且 C. q为奇数，p为偶数，且 D. q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数. 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减， 所以0， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数， 所以选项D正确， 故选：D. 三、解答题 17. 已知集合 （1）求； （2）若全集，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式即可求得集合； （2）根据题意可得，分类讨论求得集合，进而结合条件可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 由，可得，即， 所以，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由，得. 当时，不等式无解，所以，不满足，舍去； 当时，解不等式，得， 所以，不满足，舍去； 当时，解不等式，得， 所以，由，得，解得； 综上所述：实数的取值范围为． 18. 已知幂函数经过点． （1）当时，求函数的值； （2）是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出幂函数的表达式，再代入即可求解； （2）首先得出，进一步结合函数单调性列出方程组即可求解. 【小问1详解】 设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． 【小问2详解】 存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 19. 已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． （1）若，求的值； （2）若，且，求取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出，代入化简即可得出答案； （2）由根与系数的关系求出，代入结合题意解方程即可得出答案. 【小问1详解】 当时，方程为， 则；，． 【小问2详解】 ，，∵， ∴，∴，解得． 又∵方程有两个不同的根，∴， 解得或，∴． 20. 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地， （1）写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． （2）当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【答案】（1）； （2）矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 【解析】 【分析】（1）设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为，可得种植蔬菜矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得答案； （2）利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为 21. 二次函数满足对任意的，恒成立． （1）求证：为定值； （2）若，求二次函数的表达式； （3）求的取值范围． 【答案】（1）证明：对任意的，恒成立，则， 所以，为定值. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可. （2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解. （3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，由，得，则， ，不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立，则， 解得，此时，恒成立， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，， 不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立， 则，且方程有相等的实数根，因此， 不等式， 同理，且方程有相等的实数根，因此， 从而，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 完卷时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若集合，则___________． 2. 幂函数的图像经过，则__________． 3. 满足的集合有___________个． 4. 用反证法证明命题“可以被5整除，那么、中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是___________． 5. 不等式的解集是___________. 6. 已知，，且，则的最小值是________． 7. 若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 8. 函数（且）的图象经过的定点是__________. 9. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 10. 已知，则_______________（用表示） 11. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为___________. 12. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 若,则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若，下面有六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 16. 已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ） A. p，q均为奇数，且 B. q为偶数，p为奇数，且 C. q为奇数，p为偶数，且 D. q为奇数，p为偶数，且 三、解答题 17. 已知集合 （1）求； （2）若全集，且，求实数的取值范围． 18. 已知幂函数经过点． （1）当时，求函数的值； （2）是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知方程，且，是方程的两个不同的实数根． （1）若，求的值； （2）若，且，求取值范围． 20. 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地， （1）写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． （2）当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 21. 二次函数满足对任意的，恒成立． （1）求证：为定值； （2）若，求二次函数的表达式； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $