上海市华东师范大学附属东昌中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试卷

华东师范大学附属东昌中学 2026学年度第一学期期中考试高一数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，每题答对得3分，满分36分) 1.已知集合A={x∈N|x2≤1}，请用列举法表示该集合A= 2.幂函数y=x2的定义域为 3.不等式x-2<3的解集为 4.函数y=a4r-1(a>0,a≠1)恒过定点 5./t无(t>0)的有理数指数幂形式为tm,则m= 6.已知a=1og53,则1og345=,(用a表示) 7.用反证法证明命题：“若x2-y≤1，则c≤1且y≥-1”时，应假设 8.已知正数，y满足x+2y=3,则2+1的最小值为 9.若关于x的不等式x-a+|x-4纠≥5的解集为R,则实数a的取值范围是 10.已知2要g4-21-0,Vw标gy=1,则V公y 11.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2r-2,若满足对于任意x∈R,f(x)<0和 9(x)<0至少有一个成立，则实数m的取值范围是 12.E知ae名，架合A={1(-)g-e-v4-网=0}记S为A中所有元 素之和.若A中至少存在一个x0满足xoQ,则S的最大值与最小值之和为 二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，答对得3分，满分12分） 13.“ac<0”是“一元二次方程ax2+bc+c=0有实根”的（). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.已知a=0.50.3,b=0.3-2,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是（) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 2026高一数学期中第1页/共4页 15.在创建全国文明城区的活动中，督导组对城区的评选设计了α，b,c,d四项多元评价指标，并通 过经验公式S=名+来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某城区在自 查过程中各项指标显示为0<c<d<b<α，则下阶段要把其中的一个指标增加一个单位，而 使得S的值增加最多，那么该指标应为(). A.a B.b C.c D.d 16.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，若F同时满足①0∈F,②若A,B∈F, 则A门B∈F且AUB∈F,那么称F是U的一个环，下列说法中错误的是(). A.若U={1,2,3,4,5,6},则F={0,{1,3,5},{2,4,6},U}是U的一个环 B.若U={a,b,c},则存在U的一个环F,F含有8个元素 C.若U=Z,则存在U的一个环F,F含有4个元素且{2}，{3,5}∈F D.若U=R,则存在U的一个环F,F含有7个元素且[0,3,2,4∈F 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，满分52分） m+2 17.(8分)已知指数函数y= 2m-1/ 的图像过点(1,3). (1)求实数m的值； (2)若函数y=b与函数y= m+2\ 2m-1 的图像关于y轴对称，求函数y=b在区间[-1,0] 上的最大值与最小值 18.(0分)设全集为，集合A=2-5证+4≥0，B={1十120} C={x|a<x≤3a+1,a∈R} (1)求A∩B;(2)若BUC=B,求实数a的取值范围. 2026高一数学期中第2页/共4页 19.(10分)培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N.已知向水中每投放1个单位的物 质N,则t(t∈0,24)小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L,y与t的函数关系可 近似地表示为 16 4一 t+4 0≤t≤12， 6-4 12<t≤24. 根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2ol/L时，物质N才能有效发挥作用， (1)若在水中首次投放1个单位的物质N,计算物质N能持续有效发挥作用的时间长； (2)若t=0时在水中首次投放1个单位的物质N,t=16时再投放1个单位的物质N,试判 断当t∈[16,24时，水中含有物质W的浓度是否始终不超过3ol/L,并说明理由. 20.(12分)已知关于x的函数f(x)=(a2-1)x2-2(a+1)x+1. (1)若方程f(x)=0的两实根互为倒数，求实数a的值； (2)若a=2,求不等式(3x-2)f(1)>(x+1)f)的解集； (3)若不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 2026高一数学期中第3页/共4页 21.(12分)在数学中，对于任意一个正实数x,其以a(a>0,a卡1)为底的对数loga都可以唯 一地表示为一个整数与一个非负纯小数（即大于等于0且小于1的小数）的和.我们规定：这 个整数部分称为x的首数，记作Ia(x);这个非负纯小数部分称为x的尾数，记作Da(x) (1)若I1o(x)=Ie(10),D1o(x)=D1o(e),其中e为自然对数的底数，求正实数x的值； a(四=2，求正实数x的取值范围： (2)若D 对任意的实数>L,关于力的方程，=0在区间O,)上没有 2026高一数学期中第4页/共4页华东师范大学附属东昌中学 2026学年度第一学期期中考试高一数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，每题答对得3分，满分36分) 1.已知集合A={x∈N|x2≤1}，请用列举法表示该集合A= 2.幂函数y=x2的定义域为 3.不等式x-2<3的解集为 4.函数y=a4r-1(a>0,a≠1)恒过定点 5./t无(t>0)的有理数指数幂形式为tm,则m= 6.已知a=1og53,则1og345=,(用a表示) 7.用反证法证明命题：“若x2-y≤1，则c≤1且y≥-1”时，应假设 8.已知正数，y满足x+2y=3,则2+1的最小值为 9.若关于x的不等式x-a+|x-4纠≥5的解集为R,则实数a的取值范围是 10.已知2要g4-21-0,Vw标gy=1,则V公y 11.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2r-2,若满足对于任意x∈R,f(x)<0和 9(x)<0至少有一个成立，则实数m的取值范围是 12.E知ae名，架合A={1(-)g-e-v4-网=0}记S为A中所有元 素之和.若A中至少存在一个x0满足xoQ,则S的最大值与最小值之和为 二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，答对得3分，满分12分） 13.“ac<0”是“一元二次方程ax2+bc+c=0有实根”的（). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.已知a=0.50.3,b=0.3-2,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是（) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 2026高一数学期中第1页/共8页 15.在创建全国文明城区的活动中，督导组对城区的评选设计了α，b,c,d四项多元评价指标，并通 过经验公式S=名+来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某城区在自 查过程中各项指标显示为0<c<d<b<α，则下阶段要把其中的一个指标增加一个单位，而 使得S的值增加最多，那么该指标应为(). A.a B.b C.c D.d 16.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，若F同时满足①0∈F,②若A,B∈F, 则A门B∈F且AUB∈F,那么称F是U的一个环，下列说法中错误的是(). A.若U={1,2,3,4,5,6},则F={0,{1,3,5},{2,4,6},U}是U的一个环 B.若U={a,b,c},则存在U的一个环F,F含有8个元素 C.若U=Z,则存在U的一个环F,F含有4个元素且{2}，{3,5}∈F D.若U=R,则存在U的一个环F,F含有7个元素且[0,3,2,4∈F 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，满分52分） m+2 17.(8分)已知指数函数y= 2m-1/ 的图像过点(1,3). (1)求实数m的值； (2)若函数y=b与函数y= m+2\ 2m-1 的图像关于y轴对称，求函数y=b在区间[-1,0] 上的最大值与最小值 18.(0分)设全集为，集合A=2-5证+4≥0，B={1十120} C={x|a<x≤3a+1,a∈R} (1)求A∩B;(2)若BUC=B,求实数a的取值范围. 2026高一数学期中第2页/共8页 19.(10分)培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N.已知向水中每投放1个单位的物 质N,则t(t∈0,24)小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L,y与t的函数关系可 近似地表示为 16 4一 t+4 0≤t≤12， 6-4 12<t≤24. 根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2ol/L时，物质N才能有效发挥作用， (1)若在水中首次投放1个单位的物质N,计算物质N能持续有效发挥作用的时间长； (2)若t=0时在水中首次投放1个单位的物质N,t=16时再投放1个单位的物质N,试判 断当t∈[16,24时，水中含有物质W的浓度是否始终不超过3ol/L,并说明理由. 20.(12分)已知关于x的函数f(x)=(a2-1)x2-2(a+1)x+1. (1)若方程f(x)=0的两实根互为倒数，求实数a的值； (2)若a=2,求不等式(3x-2)f(1)>(x+1)f)的解集； (3)若不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 2026高一数学期中第3页/共8页 21.(12分)在数学中，对于任意一个正实数x,其以a(a>0,a卡1)为底的对数loga都可以唯 一地表示为一个整数与一个非负纯小数（即大于等于0且小于1的小数）的和.我们规定：这 个整数部分称为x的首数，记作Ia(x);这个非负纯小数部分称为x的尾数，记作Da(x) (1)若I1o(x)=Ie(10),D1o(x)=D1o(e),其中e为自然对数的底数，求正实数x的值； a(四=2，求正实数x的取值范围： (2)若D 证正对任意的实数>1，关于2的方程，三0在区间0，)上设有 2026高一数学期中第4页/共8页 参考答案与解析 答案速查 1 {0,1} 2 (-00,0)U(0,+o) 9 (-1,5) 4 (绿，1) 5 6 2+a 7 x>1或y<-1 8 9 (-∞，-1U[9,+∞) 10 品 11 （-4,0) 12 9+V2+log23 3 13 A 14B 15C 0 一、填空题 【答案】1.{0,1} 【解析】由x2≤1得-1≤x≤1。又x∈N,所以x=0,1,故A={0,1}。 【答案】2.(-∞，0)U(0,+∞) 【解析】4=2三2，分母不能为0，故x≠0，定义域为（一0,0）U(0,+0。 【答案】3.(-1,5) 【解析】由x-2<3得-3<x-2<3,即-1<x<5,所以解集为(-1,5)。 【答案】4.(，1) 【解析】令指数4红-1=0，得2=是，此时y=a0=1,故函数图像恒过定点(1。 【答案】5. 【解折17=)-()-信，散m5 4 【答案】6.2+日 解标]1og45=1059×5og39+10352十og3=2+' 。 【答案】7.>1或y<-1 【解析】反证法需否定结论。“c≤1且y≥-1”的否定是“x>1或y<-1”,故应假设 x>1或y<-1。 【答案】8. 【解析】由x+2y=3,得 2+号+2 (2+)-(4++)≥3(4+2网- 等号当g，即上2y时成立，结合十23得23，y》故最小值为8 3 【答案】9.(-0∞，-1U[9,+o) 【解析】由绝对值不等式，x-al+x-4≥I(x-a)-(x-4)川=a-4,且当x介于a与4 之间时取到等号。不等式解集为R,等价于a-4≥5，解得a≤-1或a≥9。 2026高一数学期中第5页/共8页 【答案】10.易 解桥由28,420及og,40子得2+12物之，故g4,D 设u=1og5y。因V1ogyV5网≥0，而乘积为-1，故u<0。又 1ogvV6网=ogw5w)=(1+)； u+1 方程化为√2u u=-1。两边平方得u+=1,即u2+u-2=0,解得u=1(合去) 2 1 或u=-2,所以=52= 259 1 11 93 于是V元-y=V6-25=V400-20 【答案】11.（-4,0) 【解析】g(x)<0→2x<2→x<1。题意即对任意x≥1，都有f(x)<0。 若m=0,则f(x)三0，不合题意；若m>0,抛物线开口向上，当x充分大时f(x)>0,不 合题意。 若m<0,f(c)=m(x-2m)(ac+m+3)开口向下，两根为2m<0与-m-3。要使x≥1 时恒有f(x)<0,只需较大的根小于1。由于2m<0<1恒成立，故只需-m-3<1,解得 m>-4。 综上，m∈（-4,0)。 【答案】12.号+V2+log23 【解析】由a∈Z且log2a、V4-a有意义，得1≤a≤4，即a=1,2,3,4。 a=1:A={0,2,V3,S=2+V3;a=2:A={缘，1，V2,S=号+V2; a=3:A={1,1og23}(1重复)，S=1+log23;a=4:A={0,,2},元素全为有理数，不 合题意。 由2+V3≈3.732，号+V2≈3.747,1+log23≈2.585，知Smax=号+V2,Smim=1+log23, 故最大值与最小值之和为 +(1+0+03. 二、选择题 【答案】13.A 【解析】当ac<0时，△=b2-4ac>0,方程有两个不等实根，充分性成立；反之，方程有实 根只需△≥0，不能推出ac<0(如a=1,b=3,c=2),必要性不成立。故选A。 【答案】14.B 【解析】a=0.50.3∈(0,1)，b=0.32=(9)2>1,c=log20.3<0,所以b>a>c。故选B。 2026高一数学期中第6页/共8页 【答案】15.C 【解析】各指标分别增加1个单位时，S的增量为 4- Ad=-c d2 <d<b<a得>>0，而△<0，△1<0，故增加c使S增加最多 【答案】16.D 【解析】A中F对并、差封闭，是环；B中U的幂集有23=8个元素，是环；C中F= {②，{2}，{3,5}，{2,3,5}有4个元素且对并、差封闭，是环； D中由[0,3、2,4生成的环包含⑦、[0,2)、[2,3、(3,4、0,3、[2,4、[0,4、[0,2)U(3,4共 8个元素，不可能恰有7个。故选D。 三、解答题 【答案】17.(1)m=1;(2)最大值3，最小值1 解标（①）由题意十一3，解得m=1,此时底数为3，符合指数函数的要求 ②)两函数图像关于y辅对称，极=是子函数) 1 1 3 在【-1,0]上单调递减，所 2m-1 以当x=-1时取最大值3，当x=0时取最小值1。 【答案】18.(1)[-1,1U[4,7);(2)(-∞，-]U[7,+∞) 【解析】由x2-5x+4≥0得x≤1或x≥4，故A=(←0,1U4,+):由-7 x+1之0得 x<-1或x≥7，故B=(-o∞，-1)U[7,+∞)，CRB=【-1,7)。 (1)A0CRB=[-1,1U[4,7)。 (2)BUC=B←→CCB,其中C=(a,3a+1. 当a≥3a+1,即a≤-2时，C=2,满足CCB 当a>号时，C≠8，由于a>号>-1，C不可能包含于(-心，-1，故只能有a之7 综上，a∈（-0，-]U[7,+∞)。 【答案】19.(1)12小时；(2)始终不超过3mol/L,t=20时达到3mol/L 【解析】(1)首次投放后，要求y≥2。 16 当0≤t≤12时，4- ≥2，得t≥4；当12<t≤24时，6-4之2，得t≤16. t+4 故有效时间为4≤t≤16，共16-4=12小时。 (2)当t∈[16,24时，第一次投放的浓度为6-4；第二次投放后经过t-16∈0,8]小时，浓 度为 16 16 4-t-10+4=4-t-2 总浓度 c0=6-+4-22-0-1 令u=t-12∈[4,12]，则 c07(任9)s72y行亚743 2026高一数学期中第7页/共8页 等号当=16，即u=8,t=20时成立。 所以当t∈[16,24时，水中物质N的浓度始终不超过3mol/L,且在t=20时达到3mol/L。 【答案】20.(1)a=V2;(2)(,号)U(号，多)；(3)a≤-1 1 【解析】()设两实根为1,2，由互为倒数得1购=1。由韦达定理12=2一1，故 a2-1=1,即a=士V2。 又△=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)>0,需a>-1,所以a=V2。 (2)a=2时，f(1)=(4-1)-2×3+1=-2。不等式为 (3x-2)-2>(x+1)2, 1 即2成>c+2且x才3x关- 等价于Br-2P<(亿+19，即2x-34红-1)<0，解得}<1<多 别除：子解架为（存）U(仔) 2 (3)当a=-1时，f(x)=1>0恒成立；当a=1时，f(x)=-4x+1不恒为正。 a2-1>0, 当a2-1≠0时，需 解得a<-1。 △=8(a+1)<0, 综上，a≤-1。 【答案】21.(1)x=100e;(2){a立，a};(3)证明见解析 【解析】(1)因为loge10=ln10∈(2,3)，所以1e(10)=2;又0<log1oe<1,所以 D1o(e)=l1og10e。 于是 logiox=I10(x)+D10(x)=2+l0g1oe log10(100e), 故x=100e。 (2)设Ia(c)=n,D(c)=d。由 =2知d>0,且lm=2d<2,故n∈{-1,0,1}。n=0 时d=0,不合题意 若n=1,则d=2,loga= 2,x-a是； 1 1 若m=1,则d=21o8.2=2x=a方. 故xe{a克，a}。 (3)设n=I2(t),d=D2(t)。因t>1,故n≥0,0≤d<1 0 若n=0(即1<t<2),方程化为c-a=1(c≠，即0=1，无解。 若n≥1（即t≥2），对x∈(0,1)： 当r<d时，左边一a<0,右边>0，无解： 当>d(含d0时，0<r-d<1,左边”。>a之1，可右边n<1,无据 当x=d时，左边无意义。 综上，方程在区间(0,1)上没有实数解。 2026高一数学期中第8页/共8页