精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2026-2027学年高一上学期11月期中学业阶段性评价考试数学试题

哈尔滨市第九中学校2026—2027学年度上学期 期中学业阶段性评价考试高一数学试卷 （考试时间：120分钟　满分：150分　共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，若函数在[2，+∞)上是增函数.则a的取值有可能是（ ） A. 0 B. - C. D. 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是增函数，记，若，则. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分．） 12. 已知函数，，则的值为__________. 13. 写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为___________． 四、解答题（本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，且． （1）当时，求，． （2）若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数的值域． （2）判断的奇偶性，并证明． （3）用定义法证明是定义域内的减函数． 17. 对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. （1）求的值； （2）证明：函数为R上的增函数； （3）若，求关于的不等式的解集. 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数（）． （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第九中学校2026—2027学年度上学期 期中学业阶段性评价考试高一数学试卷 （考试时间：120分钟　满分：150分　共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合与集合的公共元素为. . 2. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】设集合，可得 ， ①若成立，即，则必有，故， ②若成立，即，取，满足，但不满足，故， 由充分、必要条件定义：是的必要不充分条件. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】已知，因此，， 所以  ，当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为8. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由题意得：得：且，定义域为. 故选：C. 5. 设，，，它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将，，化为，，，再根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题可知，，， 因为，又幂函数在上单调递增，则， 所以. 6. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义计算即可得出结论． 【详解】解：∵函数为奇函数， ∴， ∴，即， 化简得，则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求参数，属于基础题． 7. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 8. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 10. 函数，若函数在[2，+∞)上是增函数.则a的取值有可能是（ ） A. 0 B. - C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分和时两种类型讨论，利用一次函数二次函数的性质，求解函数在区间内为增函数的条件. 【详解】解：当时，，在R上是增函数，符合题意； 当时，∵函数在上是增函数， ，解得， 则有时，函数在上是增函数. 故选：ACD 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是增函数，记，若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D. 【详解】对于A，对于，则， 所以， 则函数是“倒函数”，故A正确； 对于B，取，则， 所以， 此时在R上为“倒函数”，但，故B错误； 对于C，当时，则，所以，故C正确； 对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以 ， 所以函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数， 当时，即，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分．） 12. 已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数，，所以， 故. 13. 写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则 ， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，该题为分段函数模型.可求出函数，根据各段的值域，可知，代入解析式，即可求出. 【详解】设此户居民本月的用水量为，水费为元. 当时，则； 当时，则； 当时，则. 综上所述，， 由前面可知，，则有，解得. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，，且． （1）当时，求，． （2）若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入得到集合，由补集和并集的定义求得答案； （2）由命题得到集合关系，建立不等式组求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时， 又，所以 【小问2详解】 由命题：“，”是真命题，得 且，需同时满足， 得. 16. 已知函数． （1）求函数的值域． （2）判断的奇偶性，并证明． （3）用定义法证明是定义域内的减函数． 【答案】（1） （2）是奇函数． 由题可知，的定义域为，关于原点对称． ，所以，即； （3）任取，令，则， 因为，所以，所以，故是定义域内的减函数． 【解析】 【分析】（1）求解指数型分式函数的值域，可从指数函数本身的取值范围出发，通过不等式同向传递逐步推导整体表达式的取值区间； （2）判断函数奇偶性分两步完成：先检验定义域是否关于原点对称，再通过代数变形验证的恒等关系； （3）定义法证明单调性的核心是作差、变形、判号，对于指数型函数可直接利用指数函数的单调性确定差值的正负符号. 【小问1详解】 ∵，∴，，∴， 的值域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. （1）求的值； （2）证明：函数为R上的增函数； （3）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 或（舍），即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）通过，讨论即可求解； （2），，，，，讨论求解即可； （3）分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为，则，解得， 综上所述. 【小问2详解】 ，即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又时，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数（）． （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）和； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，代入，，求出方程的解即可；（2）由题可得恒有两个不等实根，即恒成立，再转化为关于的二次函数恒大于，即，列式求出的范围即可；（3）令，先由韦达定理结合条件建立的关系式，用表示出；再换元，令，转化为对勾函数，利用函数的性质求出的取值范围，最后验证判别式保证有两个不相等的实数根. 【小问1详解】 当，时，，令，即， 解得或．所以函数的不动点为和； 【小问2详解】 因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理为，所以恒成立， 即对于任意，恒成立， 令，则，即，解得； 【小问3详解】 令，得，，是该方程的两个不等实根， 由韦达定理得，，， 则，所以，解得， 设，由得，且，则， 设，任取，则， 因为，，，所以在上单调递增， 又，，所以，即， 检验：此时，即，又，所以， 方程有两个不等实根，符合题意，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $