期中培优：反比例函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年人教版九年级数学上册专项训练 期中培优：反比例函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 反比例函数中的特殊四边形存在性问题 考点一 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 特殊三角形存在性问题解题技巧 （1）图像上的点设为 ，用一个字母表示横、纵坐标，减少未知量。 （2）等腰三角形按哪两条边相等（顶角顶点位置）分三类讨论，不重不漏。 （3）直角三角形按直角顶点的位置分类，用勾股定理或两直线斜率乘积为 列方程。 （4）用两点间距离公式表示各边，注意坐标带正负、距离取绝对值。 （5）解出后检验点是否满足 ，且不与已知点重合。 （6）注意点所在的象限，舍去位置不符的解。 例1．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得； 综上：点坐标为或或． 例2．（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及函数表达式求解、函数值大小比较以及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用函数性质、联立方程求交点，以及分类讨论等腰三角形的情况． （1）先由一次函数与轴交点求，得一次函数表达式，再代入点纵坐标求其坐标，进而求反比例函数值． （2）联立一次函数与反比例函数方程求交点，结合图象确定时的取值范围． （3）设点坐标，求长度，分三种情况，用距离公式求解点坐标． 【详解】（1）解：求反比例函数的表达式： 因为一次函数与轴正半轴交于，且， 所以， 将代入，得，故一次函数表达式为， 点在上，且纵坐标为3，代入得，解得， 所以． 将代入反比例函数，得， 所以反比例函数表达式为； （2）解：当时，的取值范围： 联立 ，代入得，整理为，因式分解得，解得，即交点． 结合图象可知，当时，的取值范围是或； （3）解：设，由， ， 分三种情况讨论： （1）当时： ，解得或，此时或； （2）当时： ， 解得舍去，因与原点重合无法构成三角形）， 此时． （3）当时： ，解得， 此时． 综上，点的坐标为或． 例3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-；一次函数的解析式为y=-x+2； (2)S△AOB=9； (3)存在．P点坐标为（-3，0）、（-，0）． 【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y=-；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=-x+2； （2）先依据一次函数求得点C的坐标，进而得到△AOB 的面积； （3）过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，可得P1点的坐标为（-3，0）；再证明Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，利用相似比计算出P1P2的长度，进而得到OP2的长度，可得P2点的坐标为（-，0），于是得到满足条件的P点坐标． 【详解】（1）解：将A（-3，4）代入y=，得m=-3×4=-12， ∴反比例函数的解析式为y=-； 将B（6，n）代入y=-，得6n=-12， 解得n=-2， ∴B（6，-2）， 将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得 ， 解得， ∴所求的一次函数的解析式为y=-x+2； （2）解：当y=0时，-x+2=0， 解得：x=3， ∴C（3，0）， ∴S△AOC=×3×4=6，S△BOC=×3×2=3， ∴S△AOB=6+3=9； （3）解：存在． 过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图， ∴∠AP1C=90°， ∵A点坐标为（-3，4）， ∴P1点的坐标为（-3，0）； ∵∠P2AC=90°， ∴∠P2AP1+∠P1AC=90°，而∠AP2P1+∠P2AP1=90°， ∴∠AP2P1=∠P1AC， ∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1， ∴，即， ∴P1P2=， ∴OP2=3+=， ∴P2点的坐标为（-，0）， ∴满足条件的P点坐标为（-3，0）、（-，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度． 变式1．（25-26九年级上·四川资阳·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）和点B，且OA=，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q． (1)求正比例函数与反比例函数的表达式； (2)当点Q是PC的中点时，求C点的坐标； (3)是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)正比例函数解析式为；反比例函数的解析式为 (2) (3)存在， 【分析】（1）先求出正比例函数解析式，再利用A点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）先设出C点坐标，再分别表示出P点与Q点坐标，最后代入解析式中求解即可； （3）先确定直角顶点，再构造直角三角形，可以利用全等三角形的判定与性质求出G点坐标，即可求解． 【详解】（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为：； ∵OA=， ∴， ∵＞0， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）设 ∴， ∵点Q是PC的中点， ∴， ∴， ∵点C是x轴正半轴上一点， ∴， ∴， ∴C点的坐标为． （3）存在，； 如图，分别过A点作x轴的垂线，过B点作y轴的垂线，两垂线交于点F，AF与x轴交于点E，BF与y轴交于点M，再过A点作AG⊥AB，与x轴交于G点， ∵ ∴， ∴OE=MF=1，AE=EF=2，BM=1， ∴BF=2，AF=4， ∴BF=AE， ∵∠OAG=90°，∠AFB=90°，∠AEG=90°， ∴∠BAE+∠EAG=∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠EAG=∠ABF， 由∠AEG=∠F=90°， ∴△AEG≌△BFA（ASA）， ∴EG=AF=4， ∴OG=5， ∴， 当C点位于G点处时，△ABC是直角三角形， ∴存在，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，并且能够通过作辅助线构造直角三角形． 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 变式3．（25-26九年级上·湖南郴州·开学考试）已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． (1)求k和m的值． (2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． (3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）由A点坐标可求得k的值，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值； （2）结合图象可知所求不等式即为直线在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A、B坐标可求得答案； （3）可设C点坐标为，由A、B两点坐标，则可表示出的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得到关于x的方程，可得结论． 【详解】（1）解：∵双曲线过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象过点B， ∴； （2）解：当时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围， ∵， ∴当且时，自变量的取值范围为； （3）解：存在． 设C点坐标为， ∴，，， ∵为等腰直角三角形， ∴或三种情况， ①当时，则有，即，解得， 但此时，即，故不符合题意； ②当时，则有，即，解得或， 当时，，即，故符合题意； 当时，，即，故不符合题意； ∴； ③当时，则有，即，解得， 此时，即，故不符合题意； 综上可知存在满足条件的点C，其坐标为． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象点的坐标特征、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想、数形结合思想及分类讨论思想等知识 考点二 反比例函数中的特殊四边形存在性问题 特殊四边形存在性问题解题技巧 （1）平行四边形利用对角线中点重合（中点公式），或对边平行且相等的坐标关系求解。 （2）按已知顶点情况分类讨论第四个顶点，顶点顺序不同对应不同图形。 （3）矩形、菱形、正方形在平行四边形基础上，再增加垂直或等长条件。 （4）动点在反比例图像上必须满足 ，与图形条件联立。 （5）解出后逐一验证边、角和点的位置，确认四边形成立。 （6）梯形类问题利用一组对边平行（斜率相等）处理，注意排除平行四边形情形。 例1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 例2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是12，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、三角形面积公式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）设，求出直线与轴交点，利用面积为与面积和，结合面积公式列方程求解，确定坐标 ； （3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数解析式可得， ∴， 将，代入一次函数解析式可得， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2） 对于一次函数， 令得， 即直线与轴交点， 根据题意： 解得：， 坐标为或 （3）解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， 设点， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 例3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点A，且与l关于直线对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． (3)已知直线与反比例函数的图象交于点另一点B，P在在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标． 【答案】(1) (2)7 (3)所有符合条件点P的坐标为，，． 【分析】（1）根据，，算出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数，即可解答． （2）根据题意求出直线的解析式，结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积，算出直线、直线与坐标轴的交点坐标即可解答． （3）分三种情况讨论，即以、、为对角线三种情况，再根据中点公式即可解答． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点， 把代入，得：， ， 将代入反比例函数，得：， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：根据直线，可得直线与x轴的交点为， 直线经过点A，且与l关于直线对称， 直线与x轴的交点为， 设直线， 将，代入解析式得：， 解得， 直线， 直线与y轴的交点坐标为， 结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积， ． （3）解：直线与反比例函数的图象交于点另一点B， 可列方程， 解得：或， ， 设， ①当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时， 根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同， 根据中点公式，可得方程，解得， ； ②当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时， 根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同， 根据中点公式，可得方程，解得， ； ③当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时， 根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同， 根据中点公式，可得方程，解得， ； 综上所述，所有符合条件点P的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合的综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数以及一次函数，平行四边形的性质，熟知该性质是解题的关键． 变式1．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式 (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时,的取值范围; (4)已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标. 【答案】(1)； (2)8 (3)或 (4)点的坐标为或或 【分析】（1）将代入可得m，将和代入可求出一次函数的解析式； （2）设直线与轴相交于点，根据即可求的面积； （3）观察函数图象，利用数形结合思想即可求解； （4）分三种情况，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解． 【详解】（1）解：，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式是． ， 解得， ， 一次函数与反比例函数的图象交于、两点． ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：设直线与轴相交于点， 令，得， 的坐标是， ， ． （3）解：观察函数图象可知，当时，直线在图象的上方， 另外，当时，直线在第二象限，在第三象限，因此直线在图象的上方， 综上可知，当时，x的取值范围为：或； （4）解：当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示， ,， ，即， 点D的横坐标为，纵坐标为， 点D的坐标为； 当平行四边形中，为边时，如下图所示， ,， ，即， 点D的横坐标为，纵坐标为， 点D的坐标为； 当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示， ,， ，即， 点D的横坐标为，纵坐标为， 点D的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查求反比例函数解析式、求一次函数解析式、根据图象求不等式的解集、平行四边形的性质等，第4问有一定难度，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论，避免漏解． 变式2．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)或或或． 【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式； （2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到； （3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解． 【详解】（1）解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ； （2）解：由同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， ， ； （3）解：当时，如图， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 当点在第二象限时，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ， 综上：或或或． 【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将点代入，求出点坐标，再将点A坐标代入，求出，然后联立两个函数解析式即可求解交点B坐标； （2）先求出，然后求出直线，过点轴交于点，求出点坐标，最后由求解即可； （3）设，由以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，得到为等腰三角形，然后分三种情况讨论等腰三角形，求出点坐标，再由坐标平移法求解点． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点 将点代入，则 ∴， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数解析式为：， ∵一次函数与反比例函数交于点和点B． ∴ ∴ 解得（舍）或 ∴； （2）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； 设直线：， ∴代入点得，， 解得， ∴直线， 过点轴交于点， 当，， ∴ ∴； （3）解：设 ∵以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ①时， 解得，， ∴，， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当时， ， 解得， ∴， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向左平移个单位，向下平移1个单位得到点， ∴向左平移个单位，向下平移1个单位得到点； 当时， ， 整理得，，此时，方程无实数根， 故不存在点使得， 综上：在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，与面积的综合问题，菱形的性质，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版九年级数学上册专项训练 期中培优：反比例函数中的特殊三角形、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 反比例函数中的特殊四边形存在性问题 考点一 反比例函数中的特殊三角形存在性问题 特殊三角形存在性问题解题技巧 （1）图像上的点设为 ，用一个字母表示横、纵坐标，减少未知量。 （2）等腰三角形按哪两条边相等（顶角顶点位置）分三类讨论，不重不漏。 （3）直角三角形按直角顶点的位置分类，用勾股定理或两直线斜率乘积为 列方程。 （4）用两点间距离公式表示各边，注意坐标带正负、距离取绝对值。 （5）解出后检验点是否满足 ，且不与已知点重合。 （6）注意点所在的象限，舍去位置不符的解。 例1．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 例2．（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 例3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·四川资阳·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（，）（＞0）和点B，且OA=，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q． (1)求正比例函数与反比例函数的表达式； (2)当点Q是PC的中点时，求C点的坐标； (3)是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由． 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·湖南郴州·开学考试）已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． (1)求k和m的值． (2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． (3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 反比例函数中的特殊四边形存在性问题 特殊四边形存在性问题解题技巧 （1）平行四边形利用对角线中点重合（中点公式），或对边平行且相等的坐标关系求解。 （2）按已知顶点情况分类讨论第四个顶点，顶点顺序不同对应不同图形。 （3）矩形、菱形、正方形在平行四边形基础上，再增加垂直或等长条件。 （4）动点在反比例图像上必须满足 ，与图形条件联立。 （5）解出后逐一验证边、角和点的位置，确认四边形成立。 （6）梯形类问题利用一组对边平行（斜率相等）处理，注意排除平行四边形情形。 例1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是12，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标． 例3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点A，且与l关于直线对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． (3)已知直线与反比例函数的图象交于点另一点B，P在在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标． 变式1．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式 (2)求的面积． (3)根据图象直接写出时,的取值范围; (4)已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标. 变式2．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $