2026-2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试模拟卷01(测试内容：第1章一元二次方程---第3章圆）

（苏科2024版）九年级数学上学期 数学期中考试模拟卷01 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．将一元二次方程化成一般形式，则一次项系数和常数项的和是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 3．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 4．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（     ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 5．下列说法中正确的说法有（   ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A．1 B．2 C．3 D．4 6．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 9．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 10．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，两边分别交轴，轴于点，，四边形的面积为，轴于点．有下列结论：①；②三角形的面积为；③线段的长为；④不等式的解集是或．其中正确结论的个数是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．一元二次方程配方后得，则的值为 _____． 12．如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 13．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“＞”连接） 14．已知，则的值是___________． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 16．正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分解方程： (1)(用配方法解)； (2) 18．（8分）已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 19．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 20．如图，是的直径，四边形内接于，连接交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（8分）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． (1)设的长为，若建成的饲养室总占地面积为，求的长； (2)假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列方程中是“差根方程”的是__________；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．（12分）如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ （苏科2024版）九年级数学上学期 数学期中考试模拟卷01 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．将一元二次方程化成一般形式，则一次项系数和常数项的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将移项，得， ∴一次项系数为，常数项为， ∴一次项系数和常数项的和为． 2．已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点 C．图象关于轴对称 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，仅在每个象限内随的增大而增大，图象关于原点中心对称，不关于轴对称；故A，C，D错误； ∵， ∴图象经过点，故B正确． 3．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 4．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（     ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 5．下列说法中正确的说法有（   ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误， ③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故④正确； 故正确的是①④，只有两个， 故选：B． 6．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 7．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 8．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 9．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 10．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，两边分别交轴，轴于点，，四边形的面积为，轴于点．有下列结论：①；②三角形的面积为；③线段的长为；④不等式的解集是或．其中正确结论的个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的图象与反比例函数的图象的性质，结合题意，可计算得；根据和四边形的面积为，设点C坐标为，设点D坐标为，通过勾股定理和四边形面积解方程，即可得到k的值，从而计算得和三角形的面积，以及不等式的解集． 【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点 ∴ ∴ ∴ 结合题意，得， ∴， ∴，故①正确； 设点C坐标为，设点D坐标为，结合题意，且 ∴， ∵四边形的面积为 ∴四边形的面积 ∴ 结合题意，， 又∵，且 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，，，故③错误； ∵ ∴， ∴ ∴，故②正确； 当时，即 ∴ ∴或（舍去） 当时，即 ∴ ∴ ∴不等式的解集是或，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、勾股定理、分式、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、反比例函数、勾股定理、分式、不等式的性质，从而完成求解． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．一元二次方程配方后得，则的值为 _____． 【答案】11 【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m、n的值，再进行计算即可． 【详解】解：移项得， 配方得，即， ∴，， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 12．如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 13．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“＞”连接） 【答案】. 【分析】本题考查了反比例函数的性质，需要先判断反比例函数的单调性，再根据各点横坐标的位置来比较纵坐标的大小． 【详解】解：在反比例函数中，因为，则，即， 所以该反比例函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 已知点，的横坐标为负， 所以这两点在第三象限；点的横坐标为正，所以该点在第一象限， 因为第一象限的点的纵坐标大于第三象限的点的纵坐标， 所以，，。 在第三象限内，随的增大而减小，且，所以， 又因为，，所以． 故答案为：． 14．已知，则的值是___________． 【答案】4 【分析】设，得关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设， 得， 即， ， 或， ，， ， ． 15．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 16．正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接、，根据题意得，根据等边三角形的性质得到，，，根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理得到，再根据两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵的半径为，是上动点， ∴， ∵正的边长为，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分解方程： (1)(用配方法解)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， ∴， ∴ 解得，． （2）原方程可变形为 ，或 ∴，． 18．（8分）已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答． （2）①直接把代入，进行计算，得，故， ②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得； （2）解：①依题意，把代入， 得， 解得， ∴； ②由①得， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵中的， ∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小， ∴当时，则． 19．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 【答案】(1) 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 20．如图，是的直径，四边形内接于，连接交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)5． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系定理得，根据垂径定理的推论得，然后再根据圆周角定理的推论得出，再利用平行线的判定得证； （2）根据垂径定理得的长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理及其推论、圆周角定理的推论、勾股定理、平行线的判定等知识，熟练掌握圆的相关定理是解答此题的关键． 21．（8分）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． (1)设的长为，若建成的饲养室总占地面积为，求的长； (2)假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡？ 【答案】(1)饲养室总占地面积为时，的长为或 (2)每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡 【分析】（1）根据题意得到之间的距离，进而列方程求解即可； （2）设每天传染中1只鸡传染了只鸡，根据“经过两天传染后，共有64只鸡受到感染”列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知之间的距离为 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 答：饲养室总占地面积为时，的长为或； （2）解：设每天传染中1只鸡传染了只鸡， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 23．（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列方程中是“差根方程”的是__________；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）求出各个方程的两个实数根，再根据“差根方程”的定义逐一判断即可； （2）求出该方程的根，再根据“差根方程”的定义建立方程求解即可； （3）设，由勾股定理可得；根据“差根方程”的定义得到，则可推出，则可得到，，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 解得， ∵， ∴此方程是“差根方程”； ②∵， ∴， 解得， ∵， ∴此方程不是“差根方程”； ③∵， ∴， 解得， ∵， ∴此方程是“差根方程”； 综上所述，是“差根方程”的有①③； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵关于的方程是“差根方程”， ∴， ∴； （3）解：设， ∵是直角三角形，斜边的长为， ∴，即； ∵的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设这个“差根方程”为， 则由根与系数的关系可得， ∴， ∴这个“差根方程”为． 24．（12分）如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想． 学科网（北京）股份有限公司 $