2026-2027学年七年级上学期数学期中考试专项提优训练【苏科版】

苏科版2026-2027七年级上学期数学期中考试 专项提优训练 专项一：计算“24点” 第1-3题 专项二：程序图问题 第4-6题 专项三：含有绝对值的化简问题 第7-10题 专项四：与什么无关类问题 第11-13题 专项五：规律探究问题 第14-17题 专项六：新定义问题 第18-19题 专项七：数轴折叠问题 第20-22题 专项八：数轴动点问题 第23-26题 专项一：计算“24点” 1．小亮和同伴玩“24点”游戏．游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．小亮抽到的4张卡片上的数分别是3，，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或的算式__________________． 2．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数的加减乘除乘方混合运算（红色牌记为正，黑色牌记为负，每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我算出来了！”，则他的算式是_____．（左数第二张和第四张为红色牌，第一张和第三张为黑色牌） 3．某数学兴趣小组，在学习了有理数的运算后，利用下列卡片，开展了如下探究． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字和最大，最大值是_________； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最小，最小值是_______； (3)从中抽取4张卡片，将这4张卡片上的数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使结果为24（注：每张卡片上的数字只能用一次，如：），请你写出另一种符合要求的算式：________． 专项二：程序图问题 4．按如图所示的程序执行运算，若输入的值是15，则第1次输出的结果是18，第2次输出的结果是10，继续执行下去，则第2026次输出的结果是__________． 5．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为，则输出的结果是________． 6．按下面的程序计算： 当输入时，输出结果是，当输入时，输出结果是，如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值最多有_______个． 专项三：含有绝对值的化简问题 7．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：________，________，________； (2)化简：． 8．已知，，为有理数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)________0，________0，________0；（填“ ”，“”或“”） (2)化简：． 9．如图，数轴上、、三个点分别表示数、、，则________． 10．当时，；当时，，利用这个结论解决下列问题： 如图所示，数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c， (1)求的值； (2)化简 专项四：与什么无关类问题 11．已知，． (1)求的值； (2)若的值与无关，求的值． 12．已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． (1)当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； (2)若W的值与x无关，且，求m的值． 13．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 专项五：规律探究问题 14．观察图形变化的规律，则第2026个图形中黑色正方形的数量是（     ） A．2026 B．2027 C．3039 D．3040 15．大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，，，，按这个规律，________，分裂后，第一个奇数（即最小的奇数）是__________（用含的代数式表示）． 16．用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个“○”，第个图案中有个“○”，第个图案中有个“○”，第个图案中有个“○”，…，按此规律继续拼图案． (1)第个图案中有________个“○”； (2)用含的代数式表示第个图案中“○”的个数； (3)求第个图案中“○”的个数比第个图案中“○”的个数少多少个？ 17．【阅读材料】 如图，正方形的边落在数轴上．点表示的数为0，点表示的数为1．正方形绕着与数轴接触的顶点，顺时针或逆时针翻滚90度记为1次翻滚（顺时针绕右接触点翻滚，逆时针绕左接触点翻滚，正方形始终在数轴上方）． 【特例研究】 (1)若正方形顺时针翻滚，当点第1次落在数轴上时，正方形连续翻滚了__________次，此时点所表示的数为__________； 【类比探究】 (2)若正方形顺时针翻滚，当点第次落在数轴上时，正方形连续翻滚了__________次，此时点所表示的数为__________； 【综合应用】 (3)若正方形按顺时针连续翻滚2次，逆时针翻滚1次；再顺时针连续翻滚2次，逆时针翻滚1次；…的规律翻滚，求正方形翻滚30次后，与数轴接触的顶点是哪两个点？这两个点在数轴上所表示数分别是多少？ 专项六：新定义问题 18．探究规律，完成相关题目： 现定义一种新的运算，叫※（加乘）运算．下面是按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． (1)观察以上第一行式子，对于加乘运算，同号加乘，结果为 （填写正号或负号）； 观察以上第二行式子，对于加乘运算，异号加乘，结果为 （填写正号或负号）； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中作用一致） (3)若．请计算下式的值． 19．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“3的圈5次方”：记作，读作“的圈6次方”．一般地，把记作（），读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：_________________，_________________； (2)关于除方，下列说法正确的有______________． ①任何非零数的圈3次方都等于这个数的倒数； ②对于任何正整数，的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．同样，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如图所示： (3)仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ①写出运算过程：_____________； ②只写最后结果：_____________．（，是大于等于3的正整数） 【迁移应用】 (4)计算：． 专项八：数轴折叠问题 20．如图，折叠纸面上一数轴，使得表示数5与数的两点重合，若此时，数轴上的A、B两点也重合（点A在点B的左边），且A、B两点之间的距离为20，则A表示的数为（     ） A．10 B． C．8 D． 21．如图，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)表示 与 两数在数轴上所对应的两点间的距离； (2)如图，一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，且点，间的距离为，求点表示的数． 22．如图1，在数轴上点、、从左到右依次排列、有理数a，b，c所对应的点别为点A、B、C，已知a，b满足，，请回答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)如图，为数轴上一动点，点表示的数为，现以P为折点，将数轴向右对折，（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 专项九：数轴动点问题 23．如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 24．如图，在数轴上点表示的数是，若动点从原点出发，以个单位/秒的速度一直向左运动，同时另一动点从点出发，以个单位/秒的速度也向左运动，点到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒． (1)当时，求点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数是______； (3)当点到离点的距离为时，求点到点的距离． 25．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 26．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版2026-2027七年级上学期数学期中考试 专项提优训练 专项一：计算“24点” 第1-3题 专项二：程序图问题 第4-6题 专项三：含有绝对值的化简问题 第7-10题 专项四：与什么无关类问题 第11-13题 专项五：规律探究问题 第14-17题 专项六：新定义问题 第18-19题 专项七：数轴折叠问题 第20-22题 专项八：数轴动点问题 第23-26题 专项一：计算“24点” 1．小亮和同伴玩“24点”游戏．游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．小亮抽到的4张卡片上的数分别是3，，12，13，请帮助小亮列出一个结果为24或的算式__________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据24点游戏规则，需使用给定的4个有理数3，，12，13各一次进行混合运算，凑出结果为24或的算式． 【详解】解：如． 2．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数的加减乘除乘方混合运算（红色牌记为正，黑色牌记为负，每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我算出来了！”，则他的算式是_____．（左数第二张和第四张为红色牌，第一张和第三张为黑色牌） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：．（答案不唯一） 3．某数学兴趣小组，在学习了有理数的运算后，利用下列卡片，开展了如下探究． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字和最大，最大值是_________； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最小，最小值是_______； (3)从中抽取4张卡片，将这4张卡片上的数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使结果为24（注：每张卡片上的数字只能用一次，如：），请你写出另一种符合要求的算式：________． 【答案】(1)9 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）要使两数和最大，挑选两个较大的数相加； （2）要使乘积最小，选择一正一负，且绝对值相差最大的两个数相乘； （3）24点问题，选出4个数字，合理运用四则和乘方运算构造结果等于24的算式． 【详解】（1）解：卡片数字：，，，0，9， 从中选两个数，和最大，应选和， ． （2）解：要乘积最小，需要一个最大正数、一个最小负数相乘， 选和， ． （3）解：抽取数字， ． 专项二：程序图问题 4．按如图所示的程序执行运算，若输入的值是15，则第1次输出的结果是18，第2次输出的结果是10，继续执行下去，则第2026次输出的结果是__________． 【答案】4 【分析】根据程序图依次计算前几次的输出结果，观察数据变化规律，发现从第3次开始呈现周期性循环，利用周期性求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果：， 第2次输出的结果：， 第3次输出的结果：， 第4次输出的结果：， 第5次输出的结果：， 第6次输出的结果：， 第7次输出的结果：， …， ∵从第3次开始，输出结果以为循环节循环， ∴， ∴第2026次输出的结果是循环节中的第2个数，即4． 5．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为，则输出的结果是________． 【答案】3 【分析】把代入中，若结果小于1，则把结果重新输入计算的值， 若结果大于1，则把结果输出，据此求解即可． 【详解】解：当输入时，， 当输入时，， ∴输出的结果是3． 6．按下面的程序计算： 当输入时，输出结果是，当输入时，输出结果是，如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值最多有_______个． 【答案】4 【分析】根据输出结果是即可得，解方程即可求得第一个数，再求出输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有的答案． 【详解】解：根据题意得： 当输出结果是时，，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， ∵输入的值是正整数， ∴不符合题意，舍去. ∴满足条件的的值最多有4个． 专项三：含有绝对值的化简问题 7．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：________，________，________； (2)化简：． 【答案】(1)；；． (2)． 【分析】（1）由数轴上各点的左右顺序比较、、与的大小，再用点与点到原点的距离判断的符号； （2）用（1）得到的三个符号去掉绝对值，再合并同类项化简． 【详解】（1）解：由数轴知． 由得． 由得． 点到原点的距离大于点到原点的距离，故． （2）解：由（1）知、、． ∴，，． ∴原式． ． ． 8．已知，，为有理数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)________0，________0，________0；（填“ ”，“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据数轴上点的位置，结合有理数的加减法运算法则求解即可； （2）根据（1）所求先去绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴ （2）解：由（1）得， ∴ ． 9．如图，数轴上、、三个点分别表示数、、，则________． 【答案】 【分析】观察数轴得出 及 ，判断绝对值内式子的符号，去绝对值合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可知：，且 ∴，， ∴ ． 10．当时，；当时，，利用这个结论解决下列问题： 如图所示，数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c， (1)求的值； (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据数轴判断a，b，c的正负，再利用的结论算出结果； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号合并化简式子． 【详解】（1）解：由数轴可知， 所以． （2）解：由数轴可知，， 所以， 则 ． 专项四：与什么无关类问题 11．已知，． (1)求的值； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、代入，通过整式加减运算化简． （2）根据的值与无关，令含项的系数为，列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）由（1）得 ∵的值与无关 ∴ 解得 12．已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． (1)当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； (2)若W的值与x无关，且，求m的值． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查整式的化简和求值，掌握整式的化简的步骤是解题的关键． （1）①根据题意，化简即可求解； ②根据题意，先计算，再根据，即得，求解即可； （2）化简，根据题意，可得一次项系数和常数项都为零，计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， ①当，，时， ； 即； ② ，， ，， 则 ， ， ， 解得， 则； （2） 与x无关， ，即， ， ，即， ，即， ， ． 13．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 专项五：规律探究问题 14．观察图形变化的规律，则第2026个图形中黑色正方形的数量是（     ） A．2026 B．2027 C．3039 D．3040 【答案】C 【分析】由图可得规律为当n为奇数时，第n个图形有黑色正方形个；当n为偶数时，第n个图形有黑色正方形个，然后问题可求解． 【详解】解：从图形来看：第一个图有2个黑色正方形；第二个图有3个黑色正方形；第三个图有5个黑色正方形；第四个图有6个黑色正方形，第五个图有8个黑色正方形……； 由此可知：第n个图黑色正方形的个数规律为： 当n为奇数时：第一个图有2个黑色正方形，可以写成：； 第三个图有5个黑色正方形，可以写成：； 第五个图形有8个黑色正方形，可以写成：； ……； 第n个图形有黑色正方形个； 当n为偶数时：第二个图形有3个黑色正方形，可以写成：； 第四个图形有6个黑色正方形，可以写成：； …… 第n个图形有黑色正方形个； ∵2026是偶数， ∴第2026个图形中黑色正方形的数量为个． 15．大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，，，，按这个规律，________，分裂后，第一个奇数（即最小的奇数）是__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】观察已知的三次幂分裂为连续奇数和的示例，总结分裂的奇数个数、首项与底数m的对应规律，即可推导所求结果． 【详解】解：观察，，得规律： 1. 底数为m时，分裂为m个连续奇数的和， 2.  各次分裂的首项与m的对应关系为： 当时，首项， 当时，首项， 当时，首项， ∴ 分裂后的第一个奇数为， ∵ 当时，代入首项公式可得首项为， ∵ 连续奇数的后一项比前一项大2， ∴ 其余4个分裂的奇数依次为23、25、27、29， ∴ 16．用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个“○”，第个图案中有个“○”，第个图案中有个“○”，第个图案中有个“○”，…，按此规律继续拼图案． (1)第个图案中有________个“○”； (2)用含的代数式表示第个图案中“○”的个数； (3)求第个图案中“○”的个数比第个图案中“○”的个数少多少个？ 【答案】(1)30 (2)个 (3)个 【分析】（1）根据图形分布，求出第7个图案中的图形个数即可； （2）找出规律，列出代数式即可； （3）代数求值，然后求差即可． 【详解】（1）解：第1个图案中“○”的个数为， 第2个图案中“○”的个数为， 第3个图案中“○”的个数为， 第4个图案中“○”的个数为， …… 第7个图案中“○”的个数为． （2）解：由（1）可知：第个图案中“○”的个数为个． （3）解：第个图案中“○”的个数为（个）， 第个图案中“○”的个数为（个）， ∴（个）， ∴第个图案中“○”的个数比第个图案中“○”的个数少个． 17．【阅读材料】 如图，正方形的边落在数轴上．点表示的数为0，点表示的数为1．正方形绕着与数轴接触的顶点，顺时针或逆时针翻滚90度记为1次翻滚（顺时针绕右接触点翻滚，逆时针绕左接触点翻滚，正方形始终在数轴上方）． 【特例研究】 (1)若正方形顺时针翻滚，当点第1次落在数轴上时，正方形连续翻滚了__________次，此时点所表示的数为__________； 【类比探究】 (2)若正方形顺时针翻滚，当点第次落在数轴上时，正方形连续翻滚了__________次，此时点所表示的数为__________； 【综合应用】 (3)若正方形按顺时针连续翻滚2次，逆时针翻滚1次；再顺时针连续翻滚2次，逆时针翻滚1次；…的规律翻滚，求正方形翻滚30次后，与数轴接触的顶点是哪两个点？这两个点在数轴上所表示数分别是多少？ 【答案】(1)2；3 (2)； (3)与数轴接触的顶点是C和D，点C对应数为10，点D对应数为11 【分析】（1）初始状态下点A对应0、点B对应1，进行作图即可得出结论； （2）继续作图并观察得点D第1次落地翻滚2次、对应数3，第2次落地翻滚6次、对应数7，每新增1次落地，翻滚次数增加4，对应数值增加4．由此归纳得第n次落地时，翻滚总次数为，点D表示的数为； （3）翻滚按“2次顺时针1次逆时针”3次为一个周期，每个周期总顺时针翻滚1次，30次共包含10个周期，累计总顺时针翻滚10次，根据（2）可得，此时边接触数轴，对应点C示数为10，点D示数为11． 【详解】（1）解：由题意得，将正方形顺时针翻滚一次时，如图： 此时点为1，点为2，点D在点C上方， 将正方形顺时针翻滚两次时，如图： 此时点C为2，点D为3，点D在数轴上， ∴当点第1次落在数轴上时，正方形连续翻滚了2次，此时点所表示的数为3； （2）解：将正方形顺时针翻滚三次时，如图： 此时点D为3，点A为4，点D还在数轴上， 将正方形顺时针翻滚四次时，如图： 此时点A为4，点B为5，点D还在数轴上，正方形回到了初始状态，且点A相比初始状态增加了4， ∴当点D第2次落在数轴上时，翻滚（次），点D对应数为， ∴当点D第3次落在数轴上时，翻滚（次），点D对应数为， ∴当点D第n次落在数轴上时，正方形连续翻滚了次，此时点所表示的数为； （3）解：由题意得，翻滚规律为“2次顺时针1次逆时针”， 设每3次翻滚为一个周期， ∴每个周期的总共顺时针翻滚了（次）， ∵总共翻滚了30次， ∴总共翻滚的周期为（个）， ∴总共顺时针翻滚的次数为10次， 由（2）可得，此时为第3次点D落在数轴的情况，即接触边为， ∴点C对应数为10，点D对应数为11． 专项六：新定义问题 18．探究规律，完成相关题目： 现定义一种新的运算，叫※（加乘）运算．下面是按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． (1)观察以上第一行式子，对于加乘运算，同号加乘，结果为 （填写正号或负号）； 观察以上第二行式子，对于加乘运算，异号加乘，结果为 （填写正号或负号）； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中作用一致） (3)若．请计算下式的值． 【答案】(1)正号；负号 (2) (3) 【分析】（1）观察第一行同号的算式结果符号，直接确定同号加乘结果符号；观察第二行异号的算式结果符号，直接确定异号加乘结果符号． （2）先根据运算法则计算括号内的，再计算括号所得结果． （3）先根据新运算规则，由求出a、b的值，再将代入式子，利用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：观察；； ；； ；；；．可得对于加乘运算，同号加乘，结果为正号； 观察以上第二行式子，对于加乘运算，异号加乘，结果为负号． （2）解： ； （3）解：∵， ∴，， 解得，， ∴ ． 19．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“3的圈5次方”：记作，读作“的圈6次方”．一般地，把记作（），读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：_________________，_________________； (2)关于除方，下列说法正确的有______________． ①任何非零数的圈3次方都等于这个数的倒数； ②对于任何正整数，的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．同样，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如图所示： (3)仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ①写出运算过程：_____________； ②只写最后结果：_____________．（，是大于等于3的正整数） 【迁移应用】 (4)计算：． 【答案】(1)， (2)①④ (3)①；② (4) 【分析】（1）根据除方的定义计算即可得出结果； （2）根据除方的定义逐项分析即可得出结果； （3）①仿照题干所给的方法计算即可得出结果；②根据①得出规律即可； （4）根据除方的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，； （2）解：①，故任何非零数的圈3次方都等于这个数的倒数，故①正确； ②∵， ∴，故②错误； ③，，故③错误； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故④正确； 综上所述，正确的有①④． （3）解：①； ②； （4）解： ． 专项八：数轴折叠问题 20．如图，折叠纸面上一数轴，使得表示数5与数的两点重合，若此时，数轴上的A、B两点也重合（点A在点B的左边），且A、B两点之间的距离为20，则A表示的数为（     ） A．10 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据题意即可求出折痕点表示的数为，进一步即可求出结论． 【详解】解：∵折叠后表示数5与数的两点重合， ∴折痕点表示的数为， ∵数轴上的、两点也重合（点在点的左边），且、两点之间的距离为20 ∴点表示的数为. 21．如图，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)表示 与 两数在数轴上所对应的两点间的距离； (2)如图，一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，且点，间的距离为，求点表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，解答即可； （2）首先确定点表示的数，再计算，根据对折的意义，确定点C表示的数． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故表示x与两数在数轴上所对应的两点间的距离； （2）解：根据题意，得点，表示的数分别是，，点对应的点落在点的右边，且点，间的距离为， 故点表示的数为， 根据对折的意义，得点表示的数为， 故点表示的数为． 22．如图1，在数轴上点、、从左到右依次排列、有理数a，b，c所对应的点别为点A、B、C，已知a，b满足，，请回答下列问题： (1)填空：_______，_______，_______； (2)如图，为数轴上一动点，点表示的数为，现以P为折点，将数轴向右对折，（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)；； (2)①；②的值为或或． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性可得，再根据绝对值的定义可求得； （2）①对折后点与点重合，说明为两个数的中点，据此作答即可； ②根据题意，可知对折点在点左侧．然后分2种情况分类讨论即可，第一种情况：当点在之间；第二种情况：当点在之间． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴有理数a，b，c所对应的点别为点A、B、C，在数轴上点、、从左到右依次排列， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即； （2）解：①对折后点与点重合， ∵点表示的数为，点表示的数为，经点对折后点与点重合， ∴点表示的数为：，即； ②根据题意，可知对折点在点左侧．不妨设对折后点的对应点为，对折后点的对应点为． ∵点P在点A的右侧，现以P为折点，将数轴向右对折，点为， ∴折叠后点为， 第一种情况：当点在之间，此时折叠后动，和不动，且点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， 即， 解得； 此时不满足当点在之间，舍去； 第二种情况：当点在之间，此时折叠后动，动，不动， ①当折叠后点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， ∵点P在点A的右侧，现以P为折点，将数轴向右对折，点为， ∴折叠后点为， ∵折叠后点是的中点， ∴， ∴； ②折叠后点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， ∴， ∴； C点在折点的右侧，向右对折，C位置不变，仍然是6， ③折叠后点到点和点的距离相等时，则折叠后点是的中点， ∴， ∴； 综上所述，的值为或或． 专项九：数轴动点问题 23．如图1，已知点A，B，C在数轴上，点A在点B的左侧．根据要求，回答下列问题． (1)点A表示的数为，若点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍，则数轴上点B对应的数是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C对应的数是______． (2)点A表示的数为，设点B表示的数为m，若动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B，试求的值． (3)如图2，若数轴上有A，B，C三点，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点（点A的对应点）落在点C的右侧，且、B两点之间的距离为8，则点C表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先根据点A到原点距离求出点B表示的数，再利用点C是中点求点C表示的数； （2）先由平移算出m的值，再代入代数式，根据绝对值法则化简求值； （3）先分点在点B左侧或右侧两种情况算出点表示的数，再利用折叠后折点C是的中点求出点C． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴点A到原点O的距离为， ∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍， ∴点B到原点O的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴数轴上点B对应的数是； ∵点A表示的数为，数轴上点B对应的数是， ∴， ∵点C到点A、B的距离相等，， ∴点C对应的数是； （2）解：∵点A表示的数为，设点B表示的数为m，动点A沿数轴正方向移动了4个单位长度到达点B， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当点在点B左侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； ②当点在点B右侧时，点表示的数为，， 由折叠可知，点C为中点，， ∴点C表示的数是； 综上，C表示的数是或． 24．如图，在数轴上点表示的数是，若动点从原点出发，以个单位/秒的速度一直向左运动，同时另一动点从点出发，以个单位/秒的速度也向左运动，点到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒． (1)当时，求点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数是______； (3)当点到离点的距离为时，求点到点的距离． 【答案】(1) (2) (3)点到离点的距离为时，点到点的距离为或或22 【分析】（1）计算出点运动的路程，即可解答； （2）计算出点运动的路程，即可解答； （3）分类讨论：当点向左运动且没有到达原点时；当点到达原点后向右运动，且在点A的左侧时；当点到达原点后向右运动，且在点A的右侧时；分别求出进行解答即可． 【详解】（1）解：∵从点出发，以个单位/秒的速度也向左运动， ∴点向左运动的距离为：， ∵点表示是数为， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点表示的数为：； （2）解：动点从原点出发，以个单位/秒的速度一直向左运动， ∴， ∵， ∴， ∴点表示的数为：； （3）解： ①当点向左运动且没有到达原点时，由（1）可得：，由（2）可得，， ∵点到离点的距离为， ∴， 解得：， ∴， 此时， ∴点到点的距离为：； 当点到达原点后向右运动，且在点A的左侧时， ∵点到离点的距离为， ∴点运动的距离为：， ∴， 解得：， ∴，， ∴点到点的距离为：； 当点到达原点后向右运动，且在点A的右侧时， ∵点到离点的距离为， ∴点运动的距离为：， ∴， 解得：， ∴， ∴点到点的距离为：， 综上所述：点到离点的距离为时，点到点的距离为或或22． 25．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3)①为秒时，点追上点；②此时点、在数轴上表示的数分别为和或和 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数轴的折叠问题，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求得的值，进而根据数轴在点的右侧，，求得点表示的数，即可求得的值，即可求解； （2）先求得折叠中点表示的数为，进而根据折叠的性质得折叠后与点重合的点表示的数，即可求解； （3）①根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点追上点，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点，相距个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在点的右侧， ∴点表示的数为，则， 故答案为：，，． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴中点为 ∵点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为 故答案为：． （3）解：①依题意，秒后，点，表示的数分别为， ∴当点追上点时， 解得： ②依题意，秒后，点，表示的数分别为 当点，相距个单位长度时，或 解得：或 当时，点，表示的数分别为和 当时，点，表示的数分别为和 综上所述，点、在数轴上表示的数分别为和或和 26．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $