精品解析：北京市东城区北京汇文中学2026-2027学年度第一学期期中考试八年级数学学科

北京汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期期中考试初二年级数学学科 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 小汇手里有，两根长度不同的木棒，且，．他要在以下四根木棒中选取一根与，首尾顺次相接，其中能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设第三根木棒长为， ∵，， ∴，即， ∴能组成三角形的是． 3. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据内角度数比计算出最大内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴可设三个内角分别为，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得：， ∴最大内角为， ∵， 即三个内角都为锐角， ∴这个三角形是锐角三角形． 4. 如图，在中，，和互补，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用等边对等角得到，然后证明，得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵和互补 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 5. 已知点的坐标是，点先关于轴对称，然后再关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：点先关于轴对称得，再关于轴对称得． 6. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】 【分析】分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 7. 如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， 整理得． 8. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取，利用全等三角形的判定和性质，可得，，当时，的长度最小，此时的长度最小，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，进行解答，即可． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的长度最小，此时的长度最小， ∵，， ∴． ∴． 10. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，点在线段上，则下列关于结论的判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：． 结论Ⅱ： 结论Ⅲ：阴影部分的面积和的面积相等． A. 结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B. 只有结论Ⅰ不对 C. 只有结论Ⅱ不对 D. 只有结论Ⅲ不对 【答案】A 【解析】 【分析】证明，得到，即可判断结论Ⅰ；然后利用对顶角相等可得，再利用三角形的内角和定理可得，即可判断结论Ⅱ；最后根据三角形的面积公式可以判断结论Ⅲ． 【详解】解：如图， ∵和均为等腰直角三角形 ∴，， ∵ ∴，即 ∴ ∴，故结论Ⅰ正确； ∵ ∴ ∴，故结论Ⅱ正确； 阴影部分的面积的面积的面积的面积的面积，故结论Ⅲ正确； 结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对． 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 如图，是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴添加，可以利用证明； 添加，可以利用证明； 添加，可以利用证明； ∴这个条件可以是或或（答案不唯一）． 13. 在中，为边上的高，，，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在的内部，在的外部，分别求得的度数． 【详解】解：∵为边上的高， ∴，即， ∵， ∴， ①如图，当在的内部时， ∴； ②如图，当在的外部时， ∴． 综上所述，或． 14. 如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将，代入求出即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴． 15. 如图是的角平分线，点是的中点，连接，若，则和面积之间的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角平分线上的点到角两边距离相等，设点D到边、的距离均为h，即可得出与之间的数量关系，再结合中线确定，问题随之得解． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边距离相等， ∴设点D到边、的距离均为h， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 16. 点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿，折叠，点落在处，点落在处，使得，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠得，，然后结合平行线的性质求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴． 17. 三角形的重心为三条中线的交点．重心具有两条性质： ①设三角形的顶点坐标为，，，则重心坐标为； ②重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． （1）如图1，的顶点坐标分别为，，，则其重心的坐标为______； （2）如图2，点为的重心，且，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据重心坐标公式求解即可； （2）根据重心的性质，结合等高的三角形面积比等于底边之比求解即可． 【详解】解：（1）重心的坐标为，即； （2）∵点N是的重心， ，， ，， ，， ，． ， ， ， ， 则，， 阴影部分的面积为． 18. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的有______（填序号）． ①；②是等边三角形；③垂直平分；④． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线交于一点可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出即可判定①正确；通过证明即可判定②正确；，为的角平分线，得到垂直平分，可判定③正确；利用三角形的面积公式计算得出结论即可判定④是否正确． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵三角形的三条角平分线相交于一点， ∴为的角平分线， ∴， ∵以为边向两侧作等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，为的角平分线， ∴垂直平分，故③正确； ∵，，， ∵为的角平分线， ∴到的距离相等，， 设到的距离为， ∴， ∴ ，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题（共64分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴， ∴  . 21. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： 第1步 第2步 第3步 小颖的解法： 第1步 第2步 第3步 任务： （1）经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是________；而另一位同学的解答是从第________步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是________． （2）按照做错同学的思路，写出正确的解答过程： （3）若且，求． 【答案】（1）小彬；1；时，没有变号 （2）解： （3） 【解析】 【分析】（1）按照分解因式的正确步骤对计算过程进行逐步检查即可； （2）根据平方差公式正确写出完整的解答过程即可； （3）结合（1）可得，从而得到或，即可求解． 【小问1详解】 解：小彬的解答正确； 小颖的解法从第1步出错，出错的原因是时，没有变号． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 结合（1）得∶ ， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，． 22. 如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】首先得到，然后证明，得到，即可推出． 【详解】略 23. 如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． （1）过点画直线的垂线，垂足为点； （2）比较大小：____________，理由是：______________； （3）线段，则点到直线的距离为_______________． 【答案】（1）见解析 （2），垂线段最短 （3） 【解析】 【分析】（1）结合全等三角形的判定和性质作图即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）根据等面积法计算即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是直线的垂线； 【小问2详解】 解：，理由是：垂线段最短； 【小问3详解】 解：设点到直线的距离为h， ∵， ∴， 解得：． 24. 两个长和宽均为正整数的长方形A、B，其中长方形A的宽是a，长方形A的长比长方形A的宽多6，长方形B的长比长方形A的长少3，长方形B的宽比长方形B的长少2，两个长方形的面积分别为、（）． （1）请你判断与的大小，并证明： （2）若满足条件的整数有且只有6个，求的值． 【答案】（1）解：，证明如下： ∵ 长方形A的宽为，长为， ∴ ， ∵ 长方形B的长比A的长少3， ∴ 长方形B的长为， ∵ 长方形B的宽比B的长少2， ∴ 长方形B的宽为， ∴ ， ∴ ， ∵ 且为正整数， ∴ ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】（1）用含a的式子分别表示出两个长方形的长和宽，进而表示出与，作差，即可比较大小； （2）先化简，再根据整数n的个数建立关于a的不等式，结合a为正整数求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵ 且为正整数， ∴ ， ∴，且为正整数， ∵满足条件的整数有且只有6个， ∴这6个整数为2026，2027，2028，2029，2030，2031， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴． 25. 如图，在中，平分交于，过点作平行于的直线交于点． （1）判断的形状，并证明； （2）点在线段上，点在射线上（不与点、重合），连接，的角平分线与相交于点． ①若，，求的度数． ②直接写出与的数量关系． 【答案】（1）解：是等腰三角形， 证明：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质得到，利用等角对等边得到即可判断； （2）①根据题意作出图形，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解； ②设，，表示出，然后分两种情况讨论，分别根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ②∵，平分 ∴设， ∴ 如图，当点D在线段上时， ∴， ∴ ∴； 如图，当点D在射线上时， ∴， ∴； 综上所述，与的数量关系为或． 26. 定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以26是“完美数”； （1）已知（是整数，是常数），要使对于任意整数，的值均为“完美数”，试写出符合条件的一个值_________； （2）证明两个“完美数”之积仍是“完美数”． 【答案】（1）5（答案不唯一） （2）证明：设两个“完美数”分别为，（均为非负整数）， 又，均为非负整数， 符合“完美数”的定义，即两个“完美数”之积仍是“完美数”． 【解析】 【分析】（1）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k． （2）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明． 【小问1详解】 解：对配方得： ， 由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可， 取，得， 此时，符合要求， 因此是一个符合条件的值，答案不唯一． 【小问2详解】 略 27. 如图，是等腰直角三角形，，，延长至，使，延长至，使，连接，．点在线段上，且点到和所在直线的距离相等，延长、交于点，延长交于点． （1）请你依据题意，补全图形； （2）试判断线段与线段所在直线的位置关系，并证明； （3）若，，求的长． 【答案】（1）如图， （2）解：线段与线段所在直线垂直，证明如下： 根据题意得，， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴线段与线段所在直线垂直； （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题干描述补全图形即可； （2）证明，得到，推出，得到，即可求解； （3）首先得到，由角平分线的判定定理得到，然后结合平行线的性质得到，利用等角对等边得到，然后结合全等三角形的性质得到，然后等量代换即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴ ∵点到和所在直线的距离相等 ∴平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴． 28. 在平面直角坐标系中，直线为二、四象限的角平分线．图形关于轴的对称图形称为图形的一次反射图，记作图形：图形关于直线的对称图形称为图形的二次反射图，记作图形，例如，点的一次反射点为，二次反射点为，根据定义，回答以下问题： （1）①的一次反射点为 ，二次反射点为 ． ②点在第一象限时，点、、中可以是点的二次反射点的是 ． （2）若点在第三象限，点，分别是的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数； （3）已知点，若线段的二次反射图形与直线没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】（1）①，，② （2）或者 （3），或者 【解析】 【分析】（1）①根据一、二次反射的定义作答即可；②第一象限的点的横、纵坐标均为正，经过一、二次反射之后，横纵坐标的数值和符号发生变化，据此判断即可作答； （2）分情况讨论：第一种情况：如图，连接，交x轴于点X，与第二、四象限的角平分线交于点Y，结合两次反射的对称特点作答即可；第二种情况：如图，连接，交x轴于点X，与第二、四象限的角平分线交于点Y，同第一种情况的方法即可作答； （3）先求出点，的两次反射后点的坐标，根据线段与直线没有公共点，可知线段的左端点的横坐标大于4，或者右端点的横坐标小于4，据此即可作答． 【小问1详解】 解：两个点关于轴的对称时，它们的横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于二、四象限的角平分线对称时，点的横纵坐标先互换，再将横纵坐标的符号全变，即①的一次反射点为，二次反射点为； ②第一象限的点的横、纵坐标均为正，经过一次反射之后，横坐标不变，纵坐标互为相反数，此时点的横坐标为正，纵坐标为负，经过二次反射（关于二、四象限的角平分线对称）后，点的横纵坐标先互换，再将横纵坐标的符号全变，即此时点的横坐标为正，纵坐标为负， 即一次反射符号变化：；二次反射符号变化：第一步横纵坐标互换：，第二步符号全变：， 故点、、中，满足条件的点有； 【小问2详解】 分情况讨论： 第一种情况：如图，连接，交x轴于点X，与第二、四象限的角平分线交于点Y， 根据题意有：， ∵为等边三角形， ∴， ∵点，关于第二、四象限的角平分线对称， ∴， ∴， ∵点，关于x轴对称， ∴，即射线与轴所夹锐角的度数为， ∴射线与轴所夹锐角的度数为， 第二种情况：如图，连接，交x轴于点X，与第二、四象限的角平分线交于点Y， 同第一种情况的方法可得：射线与轴所夹锐角的度数为， 综上：射线与轴所夹锐角的度数为或者； 【小问3详解】 根据（1）有：一次反射符号变化：； 二次反射符号变化：第一步横纵坐标互换：，第二步符号全变：， 即：，一次反射：，二次反射：第一步横纵坐标互换：，第二步符号全变：； ，一次反射：，二次反射：第一步横纵坐标互换：，第二步符号全变：； 显然：，即点在点的左侧， ∵线段的二次反射图形与直线没有公共点， ∴，或者， ∴，或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期期中考试初二年级数学学科 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小汇手里有，两根长度不同的木棒，且，．他要在以下四根木棒中选取一根与，首尾顺次相接，其中能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 4. 如图，在中，，和互补，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点的坐标是，点先关于轴对称，然后再关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A.   B.   C.   D.   7. 如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 9. 如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，点在线段上，则下列关于结论的判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：． 结论Ⅱ： 结论Ⅲ：阴影部分的面积和的面积相等． A. 结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B. 只有结论Ⅰ不对 C. 只有结论Ⅱ不对 D. 只有结论Ⅲ不对 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是________．（添加一个即可） 13. 在中，为边上的高，，，则___________． 14. 如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 15. 如图是的角平分线，点是的中点，连接，若，则和面积之间的数量关系是________． 16. 点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿，折叠，点落在处，点落在处，使得，若，则___________． 17. 三角形的重心为三条中线的交点．重心具有两条性质： ①设三角形的顶点坐标为，，，则重心坐标为； ②重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． （1）如图1，的顶点坐标分别为，，，则其重心的坐标为______； （2）如图2，点为的重心，且，，，则图中阴影部分的面积为________． 18. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的有______（填序号）． ①；②是等边三角形；③垂直平分；④． 三、解答题（共64分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 已知 ，求代数式 的值． 21. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： 第1步 第2步 第3步 小颖的解法： 第1步 第2步 第3步 任务： （1）经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是________；而另一位同学的解答是从第________步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是________． （2）按照做错同学的思路，写出正确的解答过程： （3）若且，求． 22. 如图，，，．求证：． 23. 如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． （1）过点画直线的垂线，垂足为点； （2）比较大小：____________，理由是：______________； （3）线段，则点到直线的距离为_______________． 24. 两个长和宽均为正整数的长方形A、B，其中长方形A的宽是a，长方形A的长比长方形A的宽多6，长方形B的长比长方形A的长少3，长方形B的宽比长方形B的长少2，两个长方形的面积分别为、（）． （1）请你判断与的大小，并证明： （2）若满足条件的整数有且只有6个，求的值． 25. 如图，在中，平分交于，过点作平行于的直线交于点． （1）判断的形状，并证明； （2）点在线段上，点在射线上（不与点、重合），连接，的角平分线与相交于点． ①若，，求的度数． ②直接写出与的数量关系． 26. 定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以26是“完美数”； （1）已知（是整数，是常数），要使对于任意整数，的值均为“完美数”，试写出符合条件的一个值_________； （2）证明两个“完美数”之积仍是“完美数”． 27. 如图，是等腰直角三角形，，，延长至，使，延长至，使，连接，．点在线段上，且点到和所在直线的距离相等，延长、交于点，延长交于点． （1）请你依据题意，补全图形； （2）试判断线段与线段所在直线的位置关系，并证明； （3）若，，求的长． 28. 在平面直角坐标系中，直线为二、四象限的角平分线．图形关于轴的对称图形称为图形的一次反射图，记作图形：图形关于直线的对称图形称为图形的二次反射图，记作图形，例如，点的一次反射点为，二次反射点为，根据定义，回答以下问题： （1）①的一次反射点为 ，二次反射点为 ． ②点在第一象限时，点、、中可以是点的二次反射点的是 ． （2）若点在第三象限，点，分别是的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数； （3）已知点，若线段的二次反射图形与直线没有公共点，则的取值范围为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $