精品解析：北京市大兴区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026~2027学年度第一学期期中练习 初二数学 考生须知 1．本试卷共9页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列微信公众号的图标中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 如图，衣架做成三角形结构，可以支撑衣物，这里所用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【详解】解：衣架做成三角形结构，可以支撑衣物，这里所用的几何原理是三角形的稳定性． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】验证每组中较短两根小木棒的长度和是否大于最长根的长度，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意． B、∵， ∴长为的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意． C、∵， ∴长为的三根小木棒能组成三角形，符合题意． D、∵， ∴长为的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意． 4. 下列四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：过三角形的顶点，作对边的垂线段，这条垂线段就是三角形的一边上的高． 观察选项可知，只有A选项的垂线段是从顶点B引出的高． 5. 如图，在中，是边上的中线，的面积为3，则的面积（ ） A. 小于6 B. 等于6 C. 大于6 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在中，是边上的中线，的面积为3， ∴， 即的面积等于6． 6. 如图，，点B，C是射线，上的点，的平分线和的平分线相交于点D，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义、三角形的外角性质和内角和定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线和的平分线相交于点D， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，，，点D在上，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到，，然后利用等边对等角得到，然后结合三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴． 8. 如图，在中，，点D是的中点，点E是边上的动点（点E不与点A，C重合），过点D作交于点F．给出下面四个结论： ①； ②； ③随着点E的移动，四边形的周长保持不变； ④随着点E的移动，四边形的面积一直是的面积的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据已知条件可得均为等腰直角三角形，然后证明，再结合全等三角形的性质以及三角形的三边关系分析即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②错误； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴为定值， 而点是动点，故的长度是变化的， ∴的值是变化的，故四边形的周长不是定值，故③错误， ∴正确的有①④． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的坐标特征为横坐标保持不变，纵坐标互为相反数， ∵点的坐标为， ∴其关于x轴对称的点的横坐标与点的横坐标相同，为，纵坐标为点纵坐标的相反数， 即因此所求点的坐标为． 10. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，，相交于点O．则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】因为两车速度相同、行驶时间相同，可得，根据平行线的内错角相等性质，可得，．可证明与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，即可比较与的大小． 【详解】由题意可知，两车速度相同、行驶时间相同，因此路程相等， 即， 又∵两车沿平行路线行驶， ∴， ∴，． ∴． ∴． 11. 如图，，D，E分别是，上的点，要使，则可以补充条件__________（填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据已知的和公共角，结合全等三角形的判定方法进行分析即可解答． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，可利用“”判断； 当添加时，可利用“”判断； 当添加时，可利用“”判断． 12. 如图，点O在直线上，，点P在内部，，，垂足分别为D，E，，则________________________． 【答案】65 【解析】 【分析】因为点O在直线上，所以是平角，度数为，结合已知，可先计算出的度数．因为且，根据角平分线的判定定理，可判断是的角平分线．利用角平分线的性质，等于的一半，代入的度数即可得到结果． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴． ∵，，且， ∴是的角平分线． ∴． 13. 用一条长为的绳子围成一个等腰三角形，一边长为，则腰长为________________________． 【答案】5 【解析】 【分析】已知等腰三角形周长为，需分已知边长为腰、为底边两种情形计算，结合三角形三边关系排除无法构成三角形的结果． 【详解】解：① 若长为的边为腰, ∵等腰三角形两腰长均为， ∴底边长为， ∵此时三边长为，，，满足，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系， ∴该情况舍去； ②若长为的边为底边， ∵等腰三角形两腰长度相等， ∴腰长为， ∵此时三边长为，，，满足，，符合三角形三边关系， ∴该情况成立， 综上，该等腰三角形的腰长为． 14. 如图，点C是线段的中点，分别以点A和点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，则________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接 根据题意可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作的垂线交于点E，，则的长度为________________________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，根据垂直平分线可知，结合角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第三象限，是等边三角形，E是的中点，点F是线段上的动点，点P是y轴负半轴上的动点，当取最小值时，的长度为________________________． 【答案】15 【解析】 【分析】作点E关于y轴的对称点，连接，，当点，P，F三点共线，且时，取得最小值，然后根据所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图：作点E关于y轴的对称点，连接，， ∴， ∴， ∴当点，P，F三点共线，且时，取得最小值， ∵点A的坐标为，E是的中点， ∴， 由对称得，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据得到，然后利用证明，即可得出结论． 【详解】略 18. 如图，在中，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线可知，根据平行线可知，进而即可求解． 【详解】解：平分 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．与关于y轴对称． （1）画出，并写出的坐标                        ； （2）直接写出的面积                        ． 【答案】（1）如图，即为所求，； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变即可作出对称点，再顺次连接即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 20. 如图，，分别是的高，且，求证：． 【答案】 证明：，分别是的高， ， 在和中， ． ． 【解析】 【分析】直接利用已知得出，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，．求证：． 【答案】证明：是等边三角形， ， 又是的中点， ， ， ， 在和中， ． 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可知，然后根据平行线的性质以及角度转化可知，可证，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 22. 如图，点C在线段上，，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由全等三角形的性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：， 在和中， ， ， ． 23. 如图，在中，．小杰先以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；再分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F．连接，．小杰发现． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：，， 点A，E都在线段的垂直平分线上．（                ①               ）（填推理的依据） 直线是线段的垂直平分线． ． ． ， ．                 ②               ．（同角的余角相等） 在中，，， ．（                ③                ）（填推理的依据） ． 【答案】（1） （2）①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②；③三线合一 【解析】 【分析】（1）根据题意完成尺规作图即可； （2）先根据线段垂直平分线的逆定理可得是的垂直平分线，又根据等角的余角相等可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：， 点A，E都在线段的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据） 直线是线段的垂直平分线 （同角的余角相等） 在中，， （三线合一）（填推理的依据） ． 24. 在中，，，点D是射线上一点（点D不与点A，B重合），过点A，B分别作直线的垂线，垂足为E，F（点E，F不重合）． （1）如图，点D在延长线上，求证:； （2）点D在线段上，直接用等式表示，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明：过点，分别作直线的垂线，垂足为，， ， ． ， 在和中， ． ，． ， （2）或 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：第一种情况：过点，分别作直线的垂线，垂足为，， ， ， ， ， ，      在和中，， ， ，， ∴， ； 第二种情况：过点，分别作直线的垂线，垂足为，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ∴， ． 25. 如图，在中，，点D在的延长线上，，点E是上一点，，，作点B关于的对称点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）连接，平分交于点G，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3）． 证明如下： 如图，在上取一点P，使得，连接，，． ， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， 点关于的对称点为点， ，， ， 是等边三角形． ，， 直线垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）设，根据三角形外角可知，根据三角形内角和可知，即可求解； （3）在上取一点P，使得，连接，，，可证，可推导是等边三角形，直线垂直平分，根据三角形外角可推导，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点关于的对称点为点， ，  ， ， ， 在中， ； 【小问3详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，点，点，将点关于直线对称得到点，若点在的内部(不含边界)，则称点是“关于的关联点”()． （1）如图，在点，，中，点                        是“关于的关联点”； （2）已知点，，若线段上任意一点均为“关于的关联点”，则的取值范围是                        ； （3）已知点，，，，若存在使得正方形上的每一点既是“关于的关联点”又是“关于的关联点”，则的取值范围是                        ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由、得是等腰直角三角形，把关于直线对称得到关联点所在的角域，用坐标轴写出两条边界，把新定义化成不等式组后逐点判定； （2）把线段与关联角域比较，由竖直边界经过点、斜边界经过点这两个临界位置，写出关于的不等式组； （3）由（1）的角域规律，与的两组边界互相平行且各相差，按两数同正、同负、异号分三种情形找出公共角域，再用正方形上最靠近边界的边与顶点列出不等式组，由临界位置定出的范围． 【小问1详解】 解：由点、得． ∴是等腰直角三角形，，直线与轴成． ∵把关于直线作轴对称时，射线的对称射线是它本身，射线在轴上，且． ∴射线的对称射线与轴垂直，即过点且垂直于轴的射线(时向上，时向下)． 点关于直线的对称点落在的内部，等价于点落在这个对称所得的角域内部，称它为关联区域． ∵点的横坐标为，直线上任一点的纵坐标总比横坐标大(由角，横向与纵向走过的距离相等)． ∴关联区域的两条边界是过点的竖直直线与直线． ∴当时，关联区域在上方、竖直线右侧，点在其中等价于且． ∴当时，关联区域在下方、竖直线左侧，等价于且． ∵，此时点为． ∴关联区域由与确定，图中与它关于直线对称． ∵点满足与． ∴点是“关于的关联点”． ∵点的横坐标恰为，落在关联区域的竖直边界上． ∴点不合题意． ∵点满足，落在直线的下方． ∴点不合题意． 故答案为：，三个点及其对称点在两个角域中的位置(如图)． 【小问2详解】 解：由（1）知，当时关联区域为且，当时为且． ∵线段上的点可记为，其中． ∵当时关联区域内的点须满足，而线段上恒有． ∴时无解，只需考虑． ∵整个线段在竖直边界的右侧，最左端的点最靠近它． ∴取点得，即． ∵斜边界向右上方倾斜，线段上最靠近它的点是最右端的． ∴取点得，即． ∵当时竖直边界恰过点，当时斜边界恰过点，边界不属于关联区域． ∴， 线段与、两处临界位置(如图)． 【小问3详解】 解：正方形及其内部的点满足． 由（1）知，把换成，竖直边界由变为，即向左移动个单位． 斜边界上横坐标为的点的高度由变为，即两条斜边界互相平行且后者高出个单位． ①当时，，两个关联区域都朝右上方． ∵两个区域的公共部分在竖直线的右侧、在高度为的斜边界上方． ∴公共区域的顶点是，它始终在直线上． ∴正方形要完全落进公共区域，只须左边在竖直线右侧、右下角在斜边界上方． ∵上点的横坐标都是． ∴，即． ∵斜边界向右上方倾斜，正方形上最靠近它的点是右下角． ∴，即． ∵要存在这样的，需． ∴． ∵当时只能取到临界值，此时恰在竖直边界上、点恰在斜边界上(如图)． ∴不合题意． ②当时，，两个关联区域都朝左下方． ∵两个区域的公共部分在竖直线的左侧、在高度为的斜边界下方． ∴公共区域的顶点是，它始终在直线上． ∴正方形要完全落进公共区域，只须右边在竖直线左侧、左上角在斜边界下方． ∵上点的横坐标都是． ∴，即． ∵正方形上最靠近斜边界的点是左上角． ∴，即． ∵要存在这样的，需． ∴． ∵当时只能取到临界值，此时恰在竖直边界上、点恰在斜边界上(如图)． ∴不合题意． ③当时，而． ∵两个关联区域分别在高度为的斜边界下方、高度为的斜边界上方． ∴同一点的纵坐标不可能既小于又大于，两个区域没有公共点，此时无解． 与时参数取，都不合题意，无需讨论． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中练习 初二数学 考生须知 1．本试卷共9页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列微信公众号的图标中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，衣架做成三角形结构，可以支撑衣物，这里所用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上的中线，的面积为3，则的面积（ ） A. 小于6 B. 等于6 C. 大于6 D. 不能确定 6. 如图，，点B，C是射线，上的点，的平分线和的平分线相交于点D，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，点D在上，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点D是的中点，点E是边上的动点（点E不与点A，C重合），过点D作交于点F．给出下面四个结论： ①； ②； ③随着点E的移动，四边形的周长保持不变； ④随着点E的移动，四边形的面积一直是的面积的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________________________． 10. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，，相交于点O．则_____（填“”“”或“”）． 11. 如图，，D，E分别是，上的点，要使，则可以补充条件__________（填写一个即可）． 12. 如图，点O在直线上，，点P在内部，，，垂足分别为D，E，，则________________________． 13. 用一条长为的绳子围成一个等腰三角形，一边长为，则腰长为________________________． 14. 如图，点C是线段的中点，分别以点A和点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，则________________________． 15. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作的垂线交于点E，，则的长度为________________________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第三象限，是等边三角形，E是的中点，点F是线段上的动点，点P是y轴负半轴上的动点，当取最小值时，的长度为________________________． 三、解答题（共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：． 18. 如图，在中，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，．求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．与关于y轴对称． （1）画出，并写出的坐标                        ； （2）直接写出的面积                        ． 20. 如图，，分别是的高，且，求证：． 21. 如图，是等边三角形，D是的中点，，．求证：． 22. 如图，点C在线段上，，，，，，求的度数． 23. 如图，在中，．小杰先以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；再分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F．连接，．小杰发现． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：，， 点A，E都在线段的垂直平分线上．（                ①               ）（填推理的依据） 直线是线段的垂直平分线． ． ． ， ．                 ②               ．（同角的余角相等） 在中，，， ．（                ③                ）（填推理的依据） ． 24. 在中，，，点D是射线上一点（点D不与点A，B重合），过点A，B分别作直线的垂线，垂足为E，F（点E，F不重合）． （1）如图，点D在延长线上，求证:； （2）点D在线段上，直接用等式表示，，之间的数量关系． 25. 如图，在中，，点D在的延长线上，，点E是上一点，，，作点B关于的对称点F，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）连接，平分交于点G，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，点，点，将点关于直线对称得到点，若点在的内部(不含边界)，则称点是“关于的关联点”()． （1）如图，在点，，中，点                        是“关于的关联点”； （2）已知点，，若线段上任意一点均为“关于的关联点”，则的取值范围是                        ； （3）已知点，，，，若存在使得正方形上的每一点既是“关于的关联点”又是“关于的关联点”，则的取值范围是                        ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $