精品解析：河北保定市第十七中学2026-2027学年九年级上学期期中学业质量监测数学试题

保定市17中教育集团 2026～2027学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．请将正确答案清晰工整地写在答题纸上． 3．答案须用黑色字迹的钢笔或签字笔书写． 卷I选择题（共36分） 一、单选题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程是“只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项A不符合题意； 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义， 选项B符合题意； 中是分式，该方程不是整式方程， 选项C不符合题意； 含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项D不符合题意． 2. 如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的对应关系：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的高和宽，即可求解. 【详解】解：根据题意，得，，. 3. 王师傅需要检查加工的零件是否符合要求（如图，所有面均为矩形即为符合要求），下列方法中正确的是（ ） A. 测量各个面的两条对角线，是否相等 B. 测量各个面的两条对角线，是否互相平分 C. 测量各个面的三个角，是否都是直角 D. 测量各个面的两条对角线，是否互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定解答即可． 【详解】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量零件各个面的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形，则C选项符合题意． 4. 下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】选项A：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项B：∵，不成比例，故本选项符合题意； 选项C：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项D：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 因此，不能构成成比例线段的是B． 故选B． 5. 数学中的黄金分割比（约为）在作曲领域也被广泛认可．在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮或者是音程、节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处．如果要创作一首共小节的乐曲，根据黄金分割比，高潮安排在第（ ）小节处比较合适 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割比，用乐曲的小节总数乘以黄金分割比，即为高潮处． 【详解】解：． ∵四个选项中与最接近的是， ∴高潮安排在第小节处比较合适． 6. 如图，直线，已知（ ） A. 3 B. 12 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 8. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】解：， ， ， A、， ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意． 9. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 10. 如图在矩形中，，先以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，再以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，则方程的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法解方程求出方程的正根为，利用勾股定理求出的长，结合作图方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的正根为； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴，，， ∴方程的一个正根是线段的长． 11. 如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出，然后求出，根据菱形邻角互补求出，再求出点到的距离以及点到的距离；然后根据阴影部分的面积，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，设交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵菱形和菱形的边长分别为4和6， ∴， 解得， 则， ∵四边形和四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， =． 12. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 是斜边的中线， ， ， ，， ．故③正确； ∵ ∴， 若成立， ， ， ，， ， ， 在中，有， ， ， 显然， 假设不成立， ，故④错误， 故正确的有①②③． 卷Ⅱ非选择题（共84分） 二、填空题（每空2分，共14分） 13. 阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】本题主要考查平行投影的概念，解题关键是熟练掌握平行投影与中心投影的概念区别，根据平行投影的定义进行判断即可，平行投影是指由平行光线所形成的投影． 【详解】解：阳光发出的光线可以看成是平行光线，像这样的平行光线所形成的投影叫做平行投影，阳光照射下体育馆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 14. 若，且，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；根据比例关系，将分子用分母表示，然后利用分母和求解即可． 【详解】解：由，可得，，， 则， 代入，得； 故答案为6． 15. 已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求代数式因式分解，再利用根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：一元二次方程的两个根是和， ，， 16. 当________时，代数式有最小值． 【答案】 【解析】 【分析】通过配方法将代数式转化为完全平方式与常数的和的形式，利用平方的非负性确定代数式取最小值时对应的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为． 17. 如图，在梯形中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18. 小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，那么方程左边的一定会有因式 因此， 展开右边得到． 所以，整理后得到，． 如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小刘的方法，则的值为________． 【答案】 3 【解析】 【分析】类比题干给出的一元二次方程的因式分解探究思路，将三次多项式表示为首项系数与三个含根的一次因式的乘积，通过对比展开式的常数项建立等式，求解三个根的乘积． 【详解】解：∵是一元三次方程的三个根 ∴ 将右边的乘积展开，可得 ∵两个相等的多项式对应次数项的系数完全相同 ∴常数项满足 等式两边同时除以，可得． 19. 在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在点的下方和点在点的上方两种情况，求解即可． 【详解】解：当点在点的下方， 如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ，， 又， ， ， ∴ ， ， ， 在中，； 当点在点的上方， 如图所示，过作于， 同理可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【分析】（1）直接开平方法； （2）移项后因式分解法； （3）十字相乘法因式分解； （4）判别式法（公式法），属于一元二次方程基础解方程训练． 【小问1详解】 解： 或 解得：，． 【小问2详解】 解： 或 解得：，． 【小问3详解】 解： 或 解得：，． 【小问4详解】 解： ，． 21. 在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． （3）在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】（1）如图：点P的位置即为所求； ． （2）如图：即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 图略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 22. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入a，b，c列不等式求解范围． （2）利用韦达定理写出两根之和、两根之积，把已知等式变形，整体代入，解出，再结合（1）的范围取舍． 【小问1详解】 解： 方程有两个不相等的实数根 即 解得 ． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得： ，． 已知， 变形得． 把，代入： 开平方得： 当时，； 当时，． 由（1）得， 不符合条件，舍去． ． 23. 如图，四边形是菱形，于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）已知菱形的周长为，面积为，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明； （2）先由菱形的周长求出，再由菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，最后算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 菱形的周长为， ， ， ， 菱形的面积， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 24. 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． （1）_____________； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用三角形相似即可求值； （2）根据题意可证，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 根据反射定律可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，，，，， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度为． 25. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 26. 解决问题 （1）【问题发现】如图1，在中，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】在（1）的条件下，当正方形旋转到三点共线的时候，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）解：不变． 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出，再由正方形的性质得到，最后再由，即可求解； （2）先利用勾股定理得出，，再证明，即可得到，最后利用相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况计算，当点在线段上时，如图2，先利用正方形的性质得到，再由勾股定理得到，即可求出，最后利用（2）得出的结论，即可求解；当点在线段的延长线上时，同前一种情况一样即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在线段的延长线上时，如下图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当正方形旋转到三点共线的时候，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定市17中教育集团 2026～2027学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．请将正确答案清晰工整地写在答题纸上． 3．答案须用黑色字迹的钢笔或签字笔书写． 卷I选择题（共36分） 一、单选题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（ ） A. B. C. D. 3. 王师傅需要检查加工的零件是否符合要求（如图，所有面均为矩形即为符合要求），下列方法中正确的是（ ） A. 测量各个面的两条对角线，是否相等 B. 测量各个面的两条对角线，是否互相平分 C. 测量各个面的三个角，是否都是直角 D. 测量各个面的两条对角线，是否互相垂直 4. 下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 数学中的黄金分割比（约为）在作曲领域也被广泛认可．在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮或者是音程、节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处．如果要创作一首共小节的乐曲，根据黄金分割比，高潮安排在第（ ）小节处比较合适 A. B. C. D. 6. 如图，直线，已知（ ） A. 3 B. 12 C. 6 D. 9 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 10. 如图在矩形中，，先以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，再以点为圆心，以边为半径作弧交对角线于点，则方程的一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 11. 如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 卷Ⅱ非选择题（共84分） 二、填空题（每空2分，共14分） 13. 阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 14. 若，且，则__________. 15. 已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 16. 当________时，代数式有最小值． 17. 如图，在梯形中，，，，则________． 18. 小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，那么方程左边的一定会有因式 因此， 展开右边得到． 所以，整理后得到，． 如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小刘的方法，则的值为________． 19. 在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 21. 在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． （3）在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 22. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数k的值． 23. 如图，四边形是菱形，于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）已知菱形的周长为，面积为，求的长． 24. 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． （1）_____________； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 25. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 26. 解决问题 （1）【问题发现】如图1，在中，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】在（1）的条件下，当正方形旋转到三点共线的时候，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $