精品解析：河北省保定市爱和城学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025--2026学年第一学期期中考试 九年级数学试题 注意事项：考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与的结果相同的是（　　） A. B. C. D. 2. 如果的、满足，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，一艘渔船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在处看到灯塔在渔船的北偏东方向，半小时后航行到处，看到灯塔在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔的正西方向的处，此时灯塔与渔船的距离为（ ） A. 16nmile B. 18nmile C. 8nmile D. mile 6. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 为了得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 8. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 9. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 与的值有关 10. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标 11. 在中，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____s，才能停下来． 14. 平面内，若的半径为，，则点在______．(填“内”、“上”或“外”) 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，轴，，抛物线与正方形始终有交点，则h的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，． 求证： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，E为的中点，连结，，，． （1）求的长． （2）求的值． 20. 已知二次函数． （1）求该函数与x轴的交点坐标． （2）根据图象回答：时，y的取值范围是_______． （3）根据图象回答：当时，x的取值范围是_______． 21. 共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2019年向市场提供的一种共享自行车的实物图，与的长分别为，，，的长为，点A，C，E在同一条直线上，且，如图2． （1）求的长； （2）求点E到的距离（结果精确到，参考数据：，，） 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 23. 如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园边的长为，面积为. （1）求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； （2）当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？ 24. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． （1）求水管的长度； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要升高多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第一学期期中考试 九年级数学试题 注意事项：考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与的结果相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入各选项计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由， 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、， 故选：． 2. 如果的、满足，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理的知识，掌握以上的知是解答本题的关键；本题根据特殊角的三角函数值求得，，然后根据三角形内角和定理的知识，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵、是的内角， ∴，， 由三角形内角和定理，得， 故选：D． 3. 如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质，可得；再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 如图，一艘渔船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在处看到灯塔在渔船的北偏东方向，半小时后航行到处，看到灯塔在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔的正西方向的处，此时灯塔与渔船的距离为（ ） A. 16nmile B. 18nmile C. 8nmile D. mile 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即 ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 7. 为了得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，关键是将抛物线平移转化为顶点平移． 通过比较原抛物线和目标抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移量． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ， ∴需要将顶点从平移到，即向右平移1个单位，向下平移2个单位． 故选：D． 8. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 9. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 与的值有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据解析式可求出对称轴和开口方向，进而得到离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：由题意得，函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数（为常数）的图象经过点，，且， ∴， 故选：C． 10. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口方向 B. 开口大小 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 11. 在中，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解：， （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 12. 已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由开口方向，，以及抛物线与轴的交点在轴的上方即可判断符号，即可判断①；由于抛物线与x轴有两个交点，则，即可判断②；由抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，则抛物线与x轴另一个交点，当，即可判断③；由于时，，时，，则，运用平方差公式化简判断④；当时，，则，故，即可判断⑤． 【详解】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____s，才能停下来． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求得s取得最大值时的t值即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，s取最大值， 故汽车最多要滑行，才能停下来． 故答案为：3． 14. 平面内，若的半径为，，则点在______．(填“内”、“上”或“外”) 【答案】内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小进行判断． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离， ， 故点在内． 故答案为：内． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，轴，，抛物线与正方形始终有交点，则h的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．根据题意确定正方形四个顶点坐标，再结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为2，轴，， ∴点， 将点代入得， 解得：； 将点代入得， 解得：； 对称轴为直线， 当抛物线顶点在线段上时，，解得； ∵抛物线的图象与正方形始终有交点，故的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）根据特殊三角函数值可进行求解； （2）根据零次幂及二次根式的运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，在中，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∴； （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，E为的中点，连结，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形． （1）利用正切函数的定义求得，利用勾股定理求得，据此求解即可； （2）利用勾股定理求得，再利用正弦函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：为的中点， ． 在中，， ． 20. 已知二次函数． （1）求该函数与x轴的交点坐标． （2）根据图象回答：时，y的取值范围是_______． （3）根据图象回答：当时，x的取值范围是_______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是把抛物线化为顶点式，顶点坐标，抛物线与轴的交点坐标，抛物线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）令函数值，可得，可得抛物线与轴的交点坐标； （2）先把拋物线化为顶点式可得顶点坐标，根据函数的图象得到当时，的最大值与最小值即可得到答案； （3）根据函数的图象得到当时，的取值范围为轴上方自变量的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为：， 根据图象可得当时，最小值为， 当时，， ． 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴的交点坐标为：． ∴根据图象可知，当时，的取值范围是或． 21. 共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2019年向市场提供的一种共享自行车的实物图，与的长分别为，，，的长为，点A，C，E在同一条直线上，且，如图2． （1）求的长； （2）求点E到的距离（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． （1）在中利用勾股定理求即可． （2）过点E作，在中，利用三角函数求，即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 车架档的长是． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ， ， 车座点到车架档的距离约为． 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法将二次函数化为顶点式，从而直接得出顶点的坐标； （2）联立一次函数与二次函数的解析式，求解方程组得到，两点坐标，再通过找辅助线将三角形面积拆分，进而计算出的面积． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点坐标公式为， 在二次函数中，，，， 故， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：联立两个函数表达式得： ， 即， 整理得：， 解得：，， 将，代入函数， 得，， ，． 设函数为，图像与轴交于点， 将点，代入函数得 ， 解得：， ， 令， ， 解得：， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及顶点式求二次函数顶点坐标、联立方程求交点坐标以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象的交点求法和三角形面积的拆分计算是解答本题的关键． 23. 如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园边的长为，面积为. （1）求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； （2）当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，小花园的面积最大，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用．根据题意正确求出S与x之间的函数关系式是解题关键． （1）根据题意可知，再根据矩形的面积公式计算即可得出S与x之间的函数关系式，根据，列出一元一次不等式组求解，即得出自变量取值范围； （2）将S与x之间的二次函数关系式改为顶点式，求解即可． 【小问1详解】 解：设矩形小花园边的长为，则， 根据题意有：． ∵， ∴， 解得：， ∴S与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵， ∴当时，最大，且， ∴当时，小花园的面积最大，最大面积是． 24. 如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． （1）求水管的长度； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要升高多少？ 【答案】（1）水管的长度为 （2）景观射灯与之间的水平距离为 （3）水管要升高 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的应用，此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令，即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可知，， 设抛物线的表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 令，得， ∴水管的长度为． 【小问2详解】 把代入得， 解得(舍去)， ∴景观射灯与之间的水平距离为； 【小问3详解】 设水管要升高， 则扩建后抛物线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴水管要升高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $