河南信阳高级中学等校2026-2027学年高三上学期11月学情诊断数学试题

2026年11月高三年级学情诊断数学答案 ▣ ▣互薄 动弱 (满分：150分；考试时间：120分钟) 讲诊 一、单项选择题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 可影题断 1~5 DBCCA 6~8 BDA 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分） 9.ABD 10.ACD 11.BC 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分) 12.（21 13.16 14. 32W2 45 四、解答题（本题共有5个小题，共77分) 15.(13分) (1)如图，设AC,BD交于点O,连接PO, P 因为正方形ABCD中，AC⊥BD, 因为△PAC为等腰三角形，所以PO⊥AC, 因为POOBD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD. (2)方法一：PD+DC2=PC2,PD2+DA2=PA, 所以PD⊥DC,PD⊥DA,且DA∩DC=D,故PD⊥平面ABCD 以D为原点，DA,DC,DP为x,y,z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1) AP=（-2,0,1),AB=(0,2,0), 答案第1页（共7页） 设平面PAB的法向量为i=(x,y,),则 AP.ii=-2x+Z=0 AB.i=2v=0 令x=1,则y=0,==2,所以i=(1,0,2), 又因为AC⊥平面PBD, 所以平面PBD的法向量可取AC=(-2,2,0), 设二面角A-PB-D的大小为B, AC.n 则cos6=cosAC, -210 AC网 V5x2W210· 由图可知，二面角为锐二面角，所以二面角A-P8-D的余弦值为0 10 方法二：（等体积法）由PD+DA=PA,PD+DC2=PC2,得PD⊥DA,PD⊥DC,故PD⊥平面ABCD. 由正方形边长为2，得DB=22;又PB2=PD+DB2=9,故PB=3. PE+8-B,所以a分2x5=5:同理8e1x25-5。 四面体P-ABD的体积r=×S×PD=××2×2x1=? 3 32 31 股二面角A-PB-D为6，则点D到平面PAB的距离43沙3x3 x32W5 SPaBV55 点D到直线PB的距离么=2S_22 PB 3 2W5 由垂直于棱PB的截面关系，sinO= h 5 3v10 h2√210 由图可知0为锐角，故cos0=√1-sin0= 3V10 3 V10 10 10 所以二面角A-PB-D的余弦值为0 10 16.(15分) （1)因为a+a+2=2an+1,所以a+2-a+1=a+h-an, 所以{a}是等差数列， 设{a}的公差为d,由4=4+4d,4=1,45=9,得d=2, 所以a.=1+2(n-1)=2n-1. @肉为经1山，点高1 421-1 答案第2页（共7页） 所以+1=+2=21小： 2n+1 2n-1 (2n-1 因为4=1，所以，9，十1=2， 2×1-1 所以数列+1 a 是首项为2，公比为2的等比数列. (3)由(2)知，6+1=2°， 2n-1 所以b.=(2n-1)(2”-1)=(2n-1)2”-(2-1), S.=(2×1-1)2+(2×2-1)22+.+(2n-1)2”-(1+3++2n-1), 令S=(2×1-1)2+(2x2-1)2++(2n-1)2”, 则2S=(2×1-1)22+(2×2-1)2+…+(2n-1)2, 两式相减得-S=2+2+2++2+1-(21-1)2*1 -2440-2）-2m-12.-6+6-2m2g, 1-2 所以S=(2n-3)2+1+6, 又因为1+3++(2-0=1+2n-)-i, 2 所以Sn=(2n-3)2++6-m2. 17.(15分) 1)由题可得CT⊥MN,当a=时， 4 在Rt△CMT中：MT=10tanF-10, 4 在rC7中：7=1oc昏到10店142v, 1+3 所以MN=10+10(2-V5)103-5). 2）n-I0ma,-10amgc 所以MN=10tana+l0tan(G-) =10tano+10× 5-ma-105xmal0<u<3, 1+3 tan a 1+√3tana 令1=l+5 tanaic4),则tama-f月 答案第3页（共7页） 3t 的写立即1=2时取等， 当且仅当=4 所以aN-10N520<a<孕.步行道AN伤长度的最小值为205 1+√3 tana 3 18.(17分) (1)因为RE=4V2,所以2c=4V2→c=2√2， 又因为该椭圆的离心率为6，所以二-5。a=25→b:-12-8=4, 3 a 3 所以椭圆的方程为二+上=1； 124 (2)当直线的斜率为零时，此时方程为y=0,此时x=25, 显然此时AB=4V3,不符合题意， 故设直线的方程为x=y-2√2，与椭圆方程联立，得 →(+3)y2-4W2myw-4=0, x=wy-2√2 因为△=(-42m+16(+3)>0, -4 所巴设AB5四则有y+=+3奶F+37 由AB到=2W5→v1+m1-为=25→V1+mV+为)2-4=2W3→ (-4v2m+16(m2+3 1+m =2B→m2=1→m=士1， (m2+3) 所以直线l的方程为x-y+2√2=0，或x+y+22=0: (3)由(2)可知：乃+y= yg,所以x+5=m-25+m%-2N5=15 m2+3 2+3 -6√22V2m 因此M的坐标为 2+3’m2+3 设故设直线4的方程为x=y+2√2，与椭圆方程联立，得 x y 2+41→(0r+3)y+4W2四-4=0， x=1y+2V2 答案第4页（共7页） 因为△=(-4W2)+16(2+3)0, 所以设C(西，).D(),则有5+y=45 n2+3, 5+=0y+22+0%+2V5=122 n2+3’ 6N2-22n 所以N的坐标为 n2+3’n+3' 因为1上的斜车采积为行 所以品专-3，因此x的华标为 2√2m22√2m m2+3’m2+3 显然边MN与横轴平行， 12√2m22m2,6N2 4 因此9.aw方m+3m+3m+3 3 即9ws2V5 3 即叫向时，取等号，即当m=5时取等号， 所以△ON面积的最大值25 M F2 B 19.(17分) 了o-,设me)g)，, 则me上e-(*e1-r1 -r (e)2 e 令g()-士-1，则g')-<0,放g()在0+)单调道减，且0=0， 当x∈(0,1)时，g(x)>0,m(x)>0,m(x)单调递增，即f'(x)单调递增： 当x∈(1，+o)时，g(x)<0,m'(x)<0,m(x)单调递减，即'(x)单调递减： 综上，f"(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+∞)： 答案第5页（共7页） (2)设{是曲线y=f(x)在点A(a,f(a)处的切线， 所以切线l的方程为y-(a)='(a)c-a),即y=f'(a)x-a)+f(a), 构造差值函数F(x)=f(x)-「f((x-④+f孔]，只需证x≠a时F(x)>0, Fx)=f()f'a),由(1)知f"(e)在(0,1)单调递增，结合0<a<上<1， e x∈(0，a)时，f'(x)<f(a),F(x)<0,F(x)单调递减： x∈(a,1)时，f"(x)>f'(a),F'(x)>0,F(x)单调递增， x∈[1，+w)时，nx+1≥1>0，故f(x)>0, 0<a<,故r'la)=ina*1nD ea =0故f)>'a.所以P()>0,故P国单调遥指， -e 即x∈(0，a)时，F(x)单调递减；x∈(a,+o)时，F(x)单调递增， 因此F(x)在x=a处取最小值F(a=0,故对任意x≠a,F(x)>0,即除切点外曲线恒在直线l上方. 3》①对切线4，令y=0得0=了a(x-a+1a),解得5-a=fa f'(a） 1 直线614，斜率为于a方程为y-f@=于a-a,令y=0得为-a=faf'"o), 因-o-j-得r@r0-aj, 由f(a@≠0得[f(a)]>0,故(x-a(x-a<0. (ii)由H(a,0),得MH=s-a4,=-d, 由(i)知x1-a与5-a异号，故MN=-x=-a+x2-4, 由(i)知1-a= f(a) "T(d)'x-a=f(a)J'a), 所以MNH=k-alk2-afa], w得千a MH-NH [s(a) [f'(a] 1+[f'a] 令1=[fa,由0<a<且了e)在(0单调递增，得fae(0.故te0,+o), 答案第6页（共7页） 设8)= 0P+1+2+中2由基本不等式+之2，得0=，s t t+2+24 当且仅当1=1时取最大值子：当：→0或1)1时，g0>0, 综上，W的取值范国为0， 1 MN 答案第7页（共7页）2026年11月高三年级学情诊断 数学试题 说明：本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1.已知复数：=(1+i)i,则= A.1 B.2 C.2W2 D.√5 2.设集合M={1,2,3},N={2,3,4},则M∩N= A.1,2} B.{2,3} C.{3,4 D.{1,4 3,双曲线yx nn =1〔m心>0)过点(N5.2),其两条渐近线的夹角为行，则双曲线的方程为 y2 x2 A.531 B. 231 C.x2 y-1 =1 D.35 J 39 5 4.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.现将石 片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2/s,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次打水 漂”，每次打水漂的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84/S,则至少需要“打水漂的次数为 (参考数据：取ln0.7=-0.357,ln0.93=-0.073) A.4 B.5 C.6 D.7 5.己知函数f()= In (mx+v4x2+1 则“=2”是“∫(x)为奇函数的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知蒂离流f四=(2mi-加-1小(meR)的定义城为(-a,0叭u0o.a=fn,b=fco c=fm),则a,6,c大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 第1页（共4页） 7.为打破美国芯片卡脖子”问题，某企业研发的A,B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元.现准备投 入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润片（亿元）与投入资金x（亿元)满足乃=：生产的B芯 片毛利润y,(亿元)与投入资金x(亿元)满足=“.对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投 入4亿元时，毛利润为2亿元.现在企业计划投入30亿元生产A,B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B 芯片的毛利润-研发投入资金，若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为 A.12亿元 B.15亿元 C.18亿元 D.23.75亿元 -x2-2x+2,x≤0， 8.已知函数f(x)= 1og2x,x>0, 且关于x的方程∫(x)-a=0有4个实数解x,,为，x4,若 <西<5<，则品的取值范围为 aX XA 1 A.0, 3 c.| D.o 二、多选题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分。错选不得分，选对但不全的得部分分) 9.记Sn为数列{a}的前n项和，己知nSn-（n+1)Sn=n+1),S2=8,则 A.4=3 B.S =n2+2n 4是等差数列 D.Sn-8取最小值时n=3 n 10.抛物线E:y=2px(卫>0)的焦点为F,直线：y=k(x-2)过点F且与抛物线E交于A,B两点，其中点A在 第一象限，则 A.p=4 B当=5时国=号 C.若点P的坐标为3,2W2),则△APF周长的最小值为8 D.当AF=3BF时，k=√5 11.某功率放大器的输出幅度值y=f(x)与输入幅度值x满足模型：f(x)=x(x-a)(x-b),其中参数a,b由 功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是 A.若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为2时，输出幅度值也为2 B.若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有α=b C.若a=√5，b=-√5，输出曲线y=f(x)与系统安全运行边界+以=2有6个交点 D、若a=b=2,且当输入幅度值在[0，叫内时，输出幅度值不超过m,则<m<3 第2页（共4页） 三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分） 12.函数才()=log(-x+x+6的单调递减区间为 13.己知点M在抛物线y2=8x上，点2(5,4)，点N在圆C:(x-2+y2=1上，当M@+取得最小值时， CM.CO- 14.己知正方形ABCD的边长为2，点E,F分别在边AD,AB上（不含端点），且4AE=3AF,将△AEF沿 直线EF翻折为△A'EF,则多面体A'BCDEF体积的最大值为 四、解答题（本题共有5个小题，共77分） 15.(13分) 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=PC=√5，PD=1. D (I)证明：AC⊥平面PBD; (2)求二面角A-PB-D的余弦值. 16.(15分) 设数列{a},{bn}满足an+a+2=2a1, b=2边+1，且4=4=1,4=9. At an (1)求数列{a}的通项公式： (2)求证：数列 b+1是等比数列： (3)求数列b}的前n项和Sn 第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在某小区内有一形状为正三角形ABC的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头， 该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆在△ABC内部的扇形 CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M,N分别在线段CA,CB上， 并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT=. ①)当a=时，求步行道MN的长度： 4 (2)试用表示该步行道MN的长度，并求出该步行道N的长度的最小值. 18.(17分) 知猫圆2芳O0b>0的离心率为R.R是E的左，右焦点，且RRE2.直线过点 与E交于A,B两点 (1)求E的方程： (2)若AB=2N3,求的方程： (③)若直线过点E与E交于C,D两点，且4,6的斜率乘积为M,N分别是线段AB,CD的中点，求△ON面 积的最大值， 19.(17分) 已知函数fy)的定义域是(0，+o),且导函数f(x)血+1，设4是曲线y=f(y)在点A(a,f(@)处的切 e* 线.其中0<a<1,且f(am≠0. e (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：除切点A以外，曲线y=∫(x)在直线的上方； (3)过点A作直线⊥4，设，3与x轴交点分别为M(x1,0),N(6,0),过点A作x轴垂线，垂足为H. (i)证明：(-a)(5-a)<0; ()M历往花。 第4页（共4页）