河南省南阳市邓州市第一高级中学校2026-2027学年高三上学期11月阶段调研检测数学试题

高三数学调研卷 一.选择题（共8小题） 1.设集合A=xx=3+1,EZ,B={x比=3+2，EZ,U为整数集，则CU(AUB)=（) A.=3k,KEZ B.xx=3k-1,kEZ C.xx=3k-2,kEZ D. 2.下列导数运算正确的是（) )'=c0s6 A.(sin6 B.(cosx)_xsinx+cosx C.(22+1)'=22x+12 0,设函数∫)的导函数为了，且()=+3y2)+,则f”(2) 3.在平面直角坐标系中，角α与角β的顶点均与坐标原点重合，始边均与x轴的非负半轴重合，终边 关于直线y=x对称.若角的终边经过点P(-√5,1)，则c0sB=（) A.5 B.V⑤ c.6 6 D.-6 6 6 6 4.若日，已2，可)是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组《x, ,),使得a=xy2+z,我们把有序实数组《x,,）叫做基底[日，©2，©)下向 量a的斜坐标.设向量p在基底a,b,c}下的斜坐标为（-1,2,3)，则向量p在基底 a-b+c,a-b,a+c}下的斜坐标为() A.(2,-4,-1)B.（-2,-4,1)C.（-2,4,1)D.(2,-4,1) 5.已知函数f(x)=3+x-2,g(x)=log3x+x-2的零点分别为m,n,则m+n=（) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数fx)定义域为R,且(x)=2+2,若对任意的1<1<2<2，都有 f(x1)-f(x22>-5 X1-X2 成立，则实数a的取值范围是() A.[0,+∞) B.[-是4o)c.(-o)D.[-号，oo) 高三数学卷 第1页 7.现有8个小队，分别编号为1,2，…，8，记编号为n的小队的人数为，已知，2，B,4, s,6成等差数列，5,6，山，s成等比数列，若=96，s=4,则这8个小队的总人数为（) A.254 B.286 C.312 D.348 8.已知定义在R上的函数f(x),当x>1时，f（x)>f(2-x),则不等式(2x+2)+f(-2x)- f(x-1)-f(3-x)>0的解集为() A(-o0,号U3,+o0) B.(分3) c.(3 D.(-o0,-3)U号，+o0) 二.多选题（共3小题） 多选)9.对于函数t(x)=tan(2x+),则( A了(x)的最小正周期为元 B.了()的图象关于x=兀对称 8 C.了在(0，公)上单调递端 D.f()的图象关于点(3 8,0)对称 (多选)I0.已知定义在R上的单调函数f(x)满足：对任意x,yER,都有f(x)+f(y)=f(x+y) +3且了(0)+f(2)=9.则以下结论正确的是（) A.函数f(x)在R上单调递增 B.当x<0时，f(x)>6 C.函数g(x)=f（x)-3是奇函数D.若，bE（1,+∞)，则f(1ogb)+f(1ogba)≥3f(0) (多选)11.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折 起，折叠后点A的对应点为A1,使得平面ADE⊥平面BCDE,连接A1B,A1C,则下列说法正确 的是() A.点B到平面A1CD的距离为因 B.三棱锥E-A1CD的体积为3 C.BC与AD所成角的余弦值为1 D.直线4B与平面41CD所成角的正弦值为Y6 三.填空题（共3小题） 12.已知函数y=心4+7(>0，且≠1)的图象恒过定点P,且点P在幂函数y=∫(x)的图象上， 共2页 则f(x)= 13.已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD面积为 14.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形一一 八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面 F E 积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P G 是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界）任一点，则AP·EF的取值范 围是. 四.解答题（共5小题） 5.已知函数(x)i(0x+0)(A>0,0>0,<中<)的部分图象如图所示， 函数∫(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为-√3. (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f（x)的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数了《)在区间[于，副上的值域为，2，求实数m的取值范围。 16.已知数列{n}中，=1，=2，且u+2=2u+1+3,设数列Dm=+1十u. (1)求证：数列b}是等比数列，并求数列b}的通项公式： (2）若数列，3的前n项和为S数列{sS 的前n项和为T,求证：T< 4 高三数学卷 第2页 17.△1BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,btand+btanB=-V3e。 cosA (1)求角B; (2)若D是AC边上的一点，且CD=2,BD=AD=6,求tanA. 18.已知函数f(x)=(叶1)x2-e+1,a<-1. (I)求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (Ⅱ)求证：当x<0时，f（x)>-1: (Ⅲ)求f(x)的零点个数. 19.如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，L41⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形， AB1=1,点P为线段AC上的动点，棱台的体积为 3 (1)求AA1的长： (2)若CC1∥平面PB1D1,请确定点P的位置： (3)求平面PB1D1与平面BCCB1的夹角的余弦值的最大值. 共2页 高三数学调研卷参考答案 一. 选择题（共8小题） 题号 3 5 7 8 答案 A D C D B B D D 二 多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABD 一.选择题（共8小题） 1.【答案】A【解答】解：，A={xx=3k+1,EZ,B=xx=3+2,kEZ,'.AUB={xx=3k+1或 x=3k+2,kEZ,又U为整数集，.CU(AUB)=xx=3k,kEZ.故选：A. 2.【答案】D【解答】解：（n工)，=0，A错误；对于选项B,因为 6 osx)'_（c0sx)'x-c03x(x)=xsinx,c0sx,故选项B错误：(22+l)y=2X22+l2 =22+22,C错误，对于选项D,因为f(x)=x2+3(2)+ic,则f'(x)=2x+3f'(2)+1, 故(2)=4+3(2)+号，放f(2)=骨，故选项D正确 3.【答案】C【解答】解：因为角的终边经过点P(-√5,1)，且角a与角β的终边关于直线y=x对 称， 所以角B的终边必经过点Q(1,V5),所以由任意角的三角函数的定义可得： c0sB:,1=V6 V1+56 4.【答案】D【解答】解：设向量p在基底a-b+c,a-b,a+C)下的斜坐标为(x,,z), p=x(a-B+c)ty(a-b)+z(a+c)=(xtytz)a+(-x-y)b+(x+z)c,Xp--a+2b+3c, x+y+z=-1 [x=2 所以 -xy=2,解得y=-4,即p=2(a-b+c)-4(a-b)+(a+c), x+z=3 z=1 高三数学调研卷答案 第1页 所以向量p在基底a-b+c,a-b,a+c)下的斜坐标为(2，-4,1).故 =3 选：D 5.【答案】B【解答】解：由题意3"=2-x,10g3x=2-x.因为函数f(x)=3+x -2,g(x)=l0g3x+x-2的零点分别为m,n,所以m,n即函数 y-logx y=2-x y1=3×,y2=10g3x图象与直线y=2-x的交点A,B的横坐标，如图所示.因为函数 y1=3×,y2=10名3x是一对反函数，图象关于直线y=x对称，所以点A,B也关于直线y=x对 称， y=2- 由 “解得 x=1 ,则点A,B关于点(1,1)对称，故m+n=2×1=2.故选：B. y=x y=1 6.【答案】B【解答】解：因为1<1<2<2，所以灼-2<0，又因为 (x1)-(x22>-5, x1-x2 即f(x1)-f(x2)<-5(a-x2),即f(x1)+5x1<f(x2)+52,令g(x)=f(x)+5x=2+5+2, 则g（n)<g（2),所以g(x)在(1,2)上单调递增，当=0时，g(x)=5x+2,满足题意； (a>0 (a<0 当a0时，则有5或5>之2解得>0或-≤<0，综上，≥5 2a 2a 4 7.【答案】D【解答】解：根据题意，s,6,,⑧成等比数列，且⑧=4， 不妨设s=4,6=4,7=4,又由，②，B,4,5,6成等差数列，设其公差为d, 则有=a6a1a5a1,即4t96=4t0,变形可得：5-4-24=0，即(2) 5 4 (5+6t+12)=0,解可得=2，则5=32,6=16,7=8，故升s=8+4=12,又由M,2,3, 4,5,6成等差数列，M=96,则M++5+4+5+6=（96+16）X6=336,故这8个小队的总 2 人数为336+12=348. 8.【答案】D【解答】令g(x)=f(x)+f(2-x),则g'(x)=(x)-(2-x), 因为当x>1时，f(x)>f(2-x),即(x)-(2-x)>0,所以当x>1时，g'(x) >0, 所以函数g(x)在（1，+∞)上单调递增，又因为g(2-x)=f(2-x)+f(2-(2-x)=f（2 共4页 -x)+f(x)=g(x),所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称.则不等式f(2x+2)+f(-2x) -f(-1)-f(3-x)>0转化为：f(2x+2)+f(-2x)>f(x-1)+f(3-x),即g（2+2)> g(x-1), 因为g(x)的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞)上单调递增，所以2x+2-1>x-1-1,即 2x+1>x-2,两边平方整理得：3248x-3>0,解得：x<-3或x>.故选：D. 3 二.多选题（共3小题) 9.【答案】AD【解答】解，对于选项，函数f(x)-tan(2x+T)的最小正周期为 ，故选项 确：对于选项B,正切函数)=t心没有对称轴，因此了x)的图象不关于x三又对称，故 项B错误； 对于选项C,当xE(0,T)时，2x∈（冬，3买），正切函数)tm在，3买)上 、4 4 4 4 不单词，因此函数x在(0，T)上不单调，故透项C错误：对于选项D,由主()-tan元=0， 8 得/()的图象关于点(，0)对称，故选项刀正确。放选：AD. 10.【答案】ACD【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A,对任意x,JyER,都有f(x)+f(y) =f(+y)+3,令x=y=0,有2f(0)=∫(0)+3，解可得f(0)=3,又由f(0)+f(2)=9, 则了(2)=6，又由∫(x)是单调函数，则了(x)一定是增函数，A正确：对于B,由A的结论，了 (2)=6且f(x)为增函数，故当x<2时，f(x)<6,B错误：对于C,对任意x,ER,都有f (x)+f(y)=∫(x+y)+3,变形可得f(x)-3+f(y)-3=∫(+y)-3,令y=-x,有f(x) -3+f(-x)-3=f(0)-3=0,由于g(x)=f(x)-3,则g(x)+g(-x)=0,而g(x) 的定义域为R,故函数g(x)为奇函数，C正确；对于D,f(1ogab)+f(Iog)=了(Iogb+logb) +3,由于4，E(1,+∞，则102+l0ga=185+182≥2，又由了()是增函数，且f(2)=6, 1ga 1gb 故f(1ogab)+f(10ga)=f(10ga+l0gba)+3≥f(2)+3=6,D正确.故选：ACD. 11.【答案】ABD【解答】解：因为菱形ABCD中，E为AB的中点，所以DE⊥AB, 即将△ADE沿DE折起后，EB⊥ED,EA1⊥ED, 又平面AIDE⊥平面BCDE,平面A1DE∩平面BCDE=DE,BEC平面BCDE, 所以BE⊥平面A1DE,则EB,ED,EA1两两垂直， 高三数学调研卷答案 第2页 以E为坐标原点，EB,ED,EA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系E-z, 则A1(0,0,1),B(1,0,0),C(2,√3,0)，D(0,√3,0)， A1B=(1,0,-1),BC=(1,V3,0),A1D=(0,√3，-1)，DC=(2,0,0), nAD=V3y-z=0, 对于A,设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则 a0-2x-0, 取=，得n=0,1,V3),所以点B到平面CD的距离为BC:nl 2，故A正确， 对于B:因为VgA,cD=VA-8m=}X5 SahcnXAuE--号×号×2xV3x1=Y9 2 ，放8正确； 对于C,BC与A1D所成角的余弦值为|c0s(BC,A1D)|= BC.AD BC|·A1D| 对于D,设直线A1B与平面A1CD所成的角为日，则 sine=Icos(n,A B)= nAB ,A4士，故D正确.故选：ABD, 三.填空题（共3小题） 12.【答案】x2在此处键入公式。.【解答】解：函数y=心4+7（>0，且≠1)的图象恒过定点 P, 当x-4=0,即x=4时，y=P47=8,P(4,8),点P在幂函数y=∫(x)=x的图象上， 3 4=8,解得a=,则了)=X.故答案为：X2 释答】解：连结BD,可得四边形ABCD的面积为S=SMABD+SACRD=-AB·ADsin4+BCCD: :四边形ABCD内接于圆，A什C=180°，可得sin4=sinC.S=上AB4Dsin4+1BC~CDsinC=- 21 2 1(4B4D+BCCD)sin4=】(2×4+6×4)sinA=16sin4.…()在△4BD中，由余弦定理可 BD2=AB2+AD2-24BADcosA=22+42-2X2X4cosA=20-16cosA, 同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC-=62+42-2X6X4cosC=52-48cosC, ∴.20-16c0sA=52-48c0sC结合c0sC=c0S（180°-A)=-c0sA,得64c0sA=-32,解得c0sA 共4页 .Ae(0°，180°)，∴.A=120°，代入(*)式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8V3 14.【答案】[-16-8√2,8√2].【解答】解：如图，根据向量数量积的几何意义， ·丽等于P在丽上的投影与F的数量积，在正八边形中，每个内角为 (8-2)X180°=135°，又4FLEF,CD1EF,GHLEF,即A在F上投影为 8 F,当P在CD上时，设CD与EF交点为N,则△END为等腰直角三角形，由正八边形的边长为 4,可得N=E+EW=4+2N2,则AP,F最小为FN~EF=-4×(4+2√2)=-16-8V2:当P在GH 上时，设GH与EF交点为M,M那=2√2，同理可得P·EF最大为Fi~丽=4×2V2=82,所 以P·EF的取值范围是[-16-8V2,8√2]. 四.解答题（共5小题） 1【解答】解：1)14X哈-（沿）]=T,可袋0=2，可如(-沿)a,有 6 sin(-5+0)-1,又由2罗<晋4<受，有召 三一一，可得中二3’义田图 可知(0)=3，有sin(-受)=一5，可得A=2,放函数了《x)的解析式为 f(x)2gin(2) -5分 （2)令2x于T+受（化E2,可得x织设（化E2),可得高数/)的图象的对称 212 制方程为x受设(2)，令2召kπ(kE2,可特-石（E2, 212 26 可得函数了（的图象的对称中心的坐标为(T+江，0）(kEZ):一-9分 26 (8)当xE安，时时，<2x哥<2如冬，有2sin1,若适数)在区间贤，时 上的值域为[1,2]， 由正孩数的图象和作质可知空<2子<，可将沿<K沿， 3 6 故实数m的取值范围为[5汇，7匹]一一一13分 12’12 高三数学调研卷答案 第3页 16.【解答】证明：（1)，+2=2+1+3，∴.+2++1=3u+1+3,又b=+1十u..b+1=3bu, 1=+2=1+2=3,∴数列{b}是等比数列，首项为3，公比为3，∴.b=3”.---7分 8数列则的前n菜为-3g-》-36-业.是。 3n 3-1 2 88(g0-1Dg-1）号 ,数列.8的前n项和为=（1-1+ 3n-13t1-1 2`3-132-132-1 1 1 --15分 33-1 I7.【解答】解：(I）由btand+btanB-V3c,可得bsinA sin3c,又由正弦定理得 cosA cosA cosB cosA sinBsinA+sin2BV3sirC,整理得sinB(cosBsinA+sinBcosA)=V3 sinCcosB,可得 COsA cosB COsA sinBsinC=√3 sinCcosB,因为Ce(0,π)，可得sinC>0,所以sinB=V√3cosB,即tanB=W3, π 又因为BE(0,π)，所以B= 3:7分 (2)在△BCD中，由正弦定理得，BD sin∠BCD sinCBD,因为BD=AD=6,且B=兀， .CD 3，可得 ∠cD否∠A又t因为sinG=sin(aB)=sin(a受)，所以A 2 sin(A+ )ein- 整理得V3cosA-2sinA,所以tanA=3 -15分 2 18.【解答】解：(I)将x=0代入f(x)可得f(0)=0,又f(x)=2(+1)x-e', f(0)=-1所以切线方程为y-0=-1X（x-0),即y=-x;-----4分 （Ⅱ)证明：当x<0时，f(x)>-1,即证明当x<0时，2（叶1)x-e>-1, 令g(x)=2(叶1)x-e+1,x<0,则g(x)=2(叶1)-e', 因为<-1，有叶1<0，所以当x<0时，g'(x)<0,g(x)在（-∞，0)上单调递减， 所以当x<0时，g(x)>g(0)=0,也即f(x)>-1:- ----11分 (Ⅲ)f(x)=2（叶1)x-e',令h(x)=f（x),再求导得(x)=2(叶1)-e, 因为<-1，有2（叶1）<0，且e>0,故'(x)<0,即h(x)=f(x)在R上单调递减， 又因为x→-∞时，f(x)→∞，f(0)=-1且f(x)单调递减， 共4页 可知f(x)在（-∞，0)上有且仅有一个零点x=t,其中t<0, x<t时，f(x)>0,f(x)单调递增，x>t时，(x)<0,f(x)单调递减， 又因为f(0)=0,则f(t)>0,且x→-∞时，f(x)→-∞，x→+∞时，f(x)→-∞，所以f (x)有2个零点，综上，f(x)的零点个数为2. --17分 19.【解答】解：(1)底面ABCD是边长为2的正方形，A1B1=1, 故底面A1B1CD1是边长为1的正方形，所以底面A1B1CD1的面积为12=1，底面ABCD的面积为 2桌 22=4,因为AA1⊥底面ABCD,所以AA1为棱台ABCD-A1B1CD1的高， 所以棱台的体积为 +41区4)A1兰，解特4h=2 -5分 3 (2)因为AA1⊥底面ABCD,AB,ADc平面ABCD,所以LA1⊥AB,LA1⊥AD, 又AD⊥AB,故A41,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,A41所在直线分别为x,y, z轴，建立空间直角坐标系：由(1)知，A41=2, 则C(2,2,0),C(1,1,2),B1(1,0,2),D1(0,1,2), 设P（m,m,0),0≤m≤2， 则 CC1=(-1,-1,2),B1D1=(1,1,0) B1P=(m,,0)-(1,0,2)=(m-1,m,-2),设平面PB1D1的法向量为7=(x,y,z), aB1D=(x,y,z)(-1,1,0)=-xy=0 则 n~B1P=(x,y,z)·(m-1,m,-2)=(m-1)x+my-2z=0 令x=1,则y=,z=2m-1,所以n=(1,1,2如1)， 2 2 因为C01∥平面P81D,所以cCn=(←1，-1,2)(1,1,21)=-1-1+2m-1=0, 解此时 3 ,所以点P的位置为靠近C的4等分点. -11分 AC 2 4 (3)CC1=(-1,-1,2),B1C=(1,2,-2), 设平面BCCB1的法向量为n1=(x1,y1,z1), 高三数学调研卷答案 第4页共 则 0C=(x1y1z1)(-1,-1,2)=-x1y12z1-0, n1B1C=(x1,y1,z1)(1,2,-2)=x1+2y1-2z1=0 令=1，则y1021所以可1=(1,0)，由(2)知，平面B0的法向量为 i=(1,1,2如1)，设平面PB1D1与平面BCCB1的夹角为0， 2 lil 则o0=<i,>Fa5a-1)2+ 2m+3 令2m+3=[3,7刀]， t 1 1 则c0s日= 8u*441524月 因为片，做当片即号时，c0s9 1 一一取得最大值， t 6 所以cos的最大值为 53 =正，所以平面PB1D1与平面BCGB1的夹角的余弦值的最大值 1 5 --17分 4页