河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2026-2027学年高三上学期10月阶段过关测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期10月阶段过关测试（一） 数学试题 命题人：明艳 审题人：宁长青 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，的值为（    ）    A． B． C． D． 2．设，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为锐角，，，则（   ） A． B． C． D．或 4．已知函数，的部分图象如图，则 （    ） A． B． C． D． 5．已知函数（）的图象关于轴对称，则在区间上的最大值为 A． B． C． D． 6．已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 8．如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，且的最小正周期为.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列选项正确的是（    ） A．的值为1 B．的单调递增区间为 C．时，的最大值为3 D．时，的最小值为 10．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数的最小正周期为 D．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 11．已知函数，则（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为1，最小值为 D．在上单调递减，在上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式，的解集为_____________． 13．已知函数，，则函数的单调递减区间为__________． 14．已知函数在区间上单调，且满足，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知. (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分）已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 17．（15分）已知，令函数 (1)求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； (2)函数，求函数在区间内所有零点之和. 18．（17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 19．（17分）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式. (1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值； (2)对于正整数时，是否有成立？ (3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期10月阶段过关测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B C A D A C AC ABD AD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 若，则，不符合， 所以，可得. （2）由题意可得： 16．(1) (2). 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期； （2）根据，求得，再根据的面积为，求得，再利用余弦定理即可得出答案. 【详解】（1）由题意， ， 所以函数的最小正周期； （2）由得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 17．(1)； (2) 【分析】(1)利用向量点积展开后通过二倍角公式和辅助角公式化简为标准的正弦型函数，再套用正弦函数周期、单调性、值域结论直接求解； (2)将零点问题转化为在区间内有解问题，利用正弦函数的对称性求解所有解的和，再反推变量的和. 【详解】（1）由题，， 即，周期， 令，解得， 则严格增区间为， 值域. （2）令，即，设，方程在内有四个解， 设解为满足（关于对称），， 所以， 又，所以所有零点之和为. 18．(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题； （2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求对称轴即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可. 【详解】（1）由图可知， ，则，， 所以，. 所以，即 又，所以当时，， 所以. （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得：， 再向右平移个单位长度得到： ， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. （3）由，得， 由，得， 所以， 所以. 又，得， 所以. 由题可知， 得，解得， 所以存在，使得成立. 19．(1) (2)成立 (3) 函数在区间上有3个不同的零点， 即方程在区间上有3个不同的实根， 令，由知，而，则或或， 于是， 则， 而， 所以. 【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得； （2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立； （3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论. 【详解】（1）依题意， ， 因此，即，则， （2）成立. 这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式. 首先有如下两个式子： ， ， 两式相加得，， 将替换为，所以. 所以对于正整数时，有成立. （3）略 $